《精修版人教A版數(shù)學選修44：第1講2極坐標系【教學參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精修版人教A版數(shù)學選修44：第1講2極坐標系【教學參考】（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二極坐標系 課標解讀 1.理解極坐標系的概念． 2．能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別． 3．掌握極坐標和直角坐標的互化關系式，能進行極坐標和直角坐標的互化. 1．極坐標系的概念 (1)極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系． (2)極坐標：設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫

2、做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 2．點與極坐標的關系 一般地，極坐標(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點，特別地，極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R)． 如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點外，平面內的點可用惟一的極坐標(ρ，θ)表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是惟一確定的． 圖1－2－1 3．極坐標與直角坐標的互化 (1)互化背景：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩

3、種坐標系中取相同的長度單位，如圖1－2－1所示． (2)互化公式：設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如表： 點M 直角坐標(x，y) 極坐標(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 1．極坐標系與平面直角坐標系有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 【提示】　極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系，而極坐標系則不可．但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系，用來研究平面內點與距離等有關問題． 2．由極坐標的意義

4、可判斷平面上點的極坐標惟一嗎？ 【提示】　平面上點的極坐標不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的點(除去極點)與極坐標(ρ，θ)可建立一一對應關系． 3．聯(lián)系點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶是什么？ 【提示】　任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關系式是聯(lián)系點的極坐標與直角坐標的互化公式的紐帶． 事實上，若ρ>0，則sin θ＝，cos θ＝， 所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0). 確定極坐標系中點的坐標 　設點A(2，)，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(限定ρ

5、>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】　欲寫出點的極坐標，首先應確定ρ和θ的值． 【自主解答】　如圖所示，關于極軸的對稱點為B(2，－)． 關于直線l的對稱點為C(2，π)． 關于極點O的對稱點為D(2，－π)． 四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上． 1．點的極坐標不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標是惟一確定的． 2．寫點的極坐標要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能顛倒順序． 　(2013漯河質檢)在極坐標系中與點A(3，－)關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是(　　) A．(3，π)　　　　　　B．(3，)

6、 C．(3，π) D．(3，π) 【解析】　與點A(3，－)關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標可以表示為(3,2kπ＋)(k∈Z)． 【答案】　B 將點的極坐標化為直角坐標 　寫出下列各點的直角坐標，并判斷所表示的點在第幾象限． (1)(2，)；(2)(2，π)；(3)(2，－)；(4)(2，－2)． 【思路探究】　點的極坐標(ρ，θ)―→―→點的直角坐標(x，y)―→判定點所在象限． 【自主解答】　(1)由題意知x＝2cos＝2(－)＝－1，y＝2sin＝2(－)＝－. ∴點(2，)的直角坐標為(－1，－)，是第三象限內的點． (2)x＝2cos π＝－1，y＝2si

7、n π＝， ∴點(2，π)的直角坐標為(－1，)，是第二象限內的點． (3)x＝2cos(－)＝1，y＝2sin(－)＝－， ∴點(2，－)的直角坐標為(1，－)，是第四象限內的點． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴點(2，－2)的直角坐標為(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限內的點． 1．點的極坐標與直角坐標的互化公式的三個前提條件：①極點與直角坐標系的原點重合；②極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合；③兩種坐標系的長度單位相同． 2．將點的極坐標(ρ，θ)化為點的直角坐標(x，y)時，運用到求角θ的正弦值和余

8、弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關鍵． 　分別把下列點的極坐標化為直角坐標： (1)(2，)；(2)(3，)；(3)(π，π)． 【解】　(1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝1. ∴點的極坐標(2，)化為直角坐標為(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0， y＝ρsin θ＝3sin＝3. ∴點的極坐標(3，)化為直角坐標為(0,3)． (3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0. ∴點的極坐標(π，π)化為直角坐標為(－π，0). 將點的直角坐標化為極

9、坐標 　分別把下列點的直角坐標化為極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(，－)；(3)(，)． 【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ時，要注意點所在的象限． 【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(－2,2)在第二象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(－2,2)化為極坐標為(4，π)． (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(，－)在第四象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(，－)化為極坐標為(2，)． (3)∵ρ＝＝＝，tan θ＝＝1，θ

10、∈[0,2π)． 由于點(，)在第一象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(，)化為極坐標為(，)． 1．將直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)進行求解，先求極徑，再求極角． 2．在[0,2π)范圍內，由tan θ＝(x≠0)求θ時，要根據直角坐標的符號特征判斷出點所在的象限．如果允許θ∈R，再根據終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可． 　(1)例3中，如果限定ρ>0，θ∈R，分別求各點的極坐標； (2)如果點的直角坐標(x，y)滿足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情況下轉化為點的極坐標時，試探究θ的

11、取值范圍． 【解】　(1)根據與角α終邊相同的角為α＋2kπ(k∈Z)知，點的直角坐標化為極坐標(ρ>0，θ∈R)分別如下： (－2,2)的極坐標為(4，＋2kπ)(k∈Z)． (，－)的極坐標為(2，π＋2kπ)(k∈Z)，(，)的極坐標為(，＋2kπ)(k∈Z)． (2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0. 所以(x，y)可能在第二象限或第四象限． 把直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R時，θ的取值范圍為(＋2kπ，π＋2kπ)∪(＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z). 極坐標與直角坐標的綜合應用 　在極坐標系中，如果A(2，)，B(2，)為等邊

12、三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標(ρ>0,0≤θ<2π)． 【思路探究】　解答本題可以先利用極坐標化為直角坐標，再根據等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標，進而求出點C的極坐標． 【自主解答】　對于點A(2，)有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，則A(，)． 對于B(2，π)有ρ＝2，θ＝π， ∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－. ∴B(－，－)． 設C點的坐標為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4. ∴有 解之得或 ∴C點的坐標為(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝

13、π或θ＝π. 故點C的極坐標為(2，π)或(2，π)． 1．本例綜合考查了點的極坐標與直角坐標的互化公式以及等邊三角形的意義和性質．結合幾何圖形可知，點C的坐標有兩解，設出點的坐標尋求等量關系建立方程組求解是關鍵． 2．若設出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，請讀者完成． 　本例中，如果點的極坐標仍為A(2，)，B(2，)，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標． 【解】　對于點A(2，)，直角坐標為(，)，點B(2，)的直角坐標為(－，－)， 設點C的直角坐標為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|， ∴＝0， 即(x－，y－)(x＋

14、，y＋)＝0， ∴x2＋y2＝4.?、? 又|A|2＝|B|2，于是(x－)2＋(y－)2 ＝(x＋)2＋(y＋)2， ∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝. ∴或 ∴點C的直角坐標為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或， ∴點C的極坐標為(2，)或(2，)． (教材第12頁習題1.2，第5題) 已知點的直角坐標分別為(3，)，(0，－)，(，0)，(－2，－2)，求它們的極坐標． 　(2013大連質檢)已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標為________． 【命題意圖】　主要考查

15、直角坐標與極坐標的互化． 【解析】　∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2. ∴x＝－2，且y＝－2. ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝π. 因此點P的極坐標為(2，π)． 【答案】　(2，π) 1．極坐標系中，點M(1,0)關于極點的對稱點為(　　) A．(1,0)　　　　　　B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π) 【解析】　∵(ρ，θ)關于極點的對稱點為(ρ，π＋θ)， ∴M(1,0)關于極點的對稱點為(1，π)． 【答案】　C 2．點A的極坐標是(2，)，則點A的直角坐標為(　　) A．(－1，

16、－) B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝－， y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1. 【答案】　C 3．點M的直角坐標為(0，)，則點M的極坐標可以為(　　) A．(，0) B．(0，) C．(，) D．(，－) 【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝， ∴M的極坐標為(，)． 【答案】　C 4．將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時點M的極坐標為________，它關于極軸的對稱點的極坐標為________(ρ>0，θ∈[0,2π))． 【解析】　ρ＝|

17、OM|＝2，與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝，∴M(2，)， ∴M關于極軸的對稱點為(2，)． 【答案】　(2，)　(2，) (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列各點中與(2，)不表示極坐標系中同一個點的是(　　) A．(2，－π)　　　　　　B．(2，π) C．(2，π) D．(2，π) 【解析】　與極坐標(2，)相同的點可以表示為(2，＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，π)不適合． 【答案】　C 2．將點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(　　) A．(π，0) B．(π，2π)

18、 C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(π，0)． 【答案】　A 3．在極坐標系中，已知A(2，)、B(6，－)，則OA、OB的夾角為(　　) A. B．0 C. D. 【解析】　如圖所示，夾角為. 【答案】　C 4．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是(　　) A．(2，－) B．(2，) C．(1，－) D．(2，－) 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足t

19、an θ＝＝－， ∵點(1，－)在第四象限，所以θ＝－. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．平面直角坐標系中，若點P(3，)經過伸縮變換后的點為Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點P(3，)經過伸縮變換后的點為Q(6，)，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于6|sin |＝3. 【答案】　3 6．極坐標系中，點A的極坐標是(3，)，則 (1)點A關于極軸的對稱點的極坐標是________； (2)點A關于極點的對稱點的極坐標是________； (3)點A關于過極點且垂直于極軸的直線的

20、對稱點的極坐標是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點A(3，)關于極軸的對稱點的極坐標為(3，)；點A關于極點的對稱點的極坐標為(3，)；點A關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標為(3，)． 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知點P的直角坐標按伸縮變換變換為點P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π時，求點P的極坐標． 【解】　設點P的直角坐標為(x，y)，由題意得解得 ∴點P的直角坐標為(3，－)， ρ＝＝2，tan θ＝， ∵0≤θ<2π，點P在第四象限， ∴θ

21、＝， ∴點P的極坐標為(2，)． 8．(1)已知點的極坐標分別為A(3，－)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它們的直角坐標． (2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B(0，－)，C(－2，－2)，求它們的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A(，－)，B(－1，)，C(－，0)，D(0，－4) (2)根據ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A(2，)，B(，)，C(4，)． 9．在極坐標系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A(2，)，B(2，π)，C(2，)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積

22、． 【解】　(1)如圖所示，由A(2，)，B(2，π)，C(2，)得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝. ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝22＝2. ∴S△ABC＝(2)2＝3(面積單位)． 教師備選 10．某大學校園的部分平面示意圖如圖： 用點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當?shù)臉O坐標系，寫出除點B外各點的極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點為(0,0))． 【解】　以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點的極坐標分別為O(0,0)，A(300，0)，C(600，)，D(300，)，E(300，)，F(xiàn)(300，π)，G(150，π)． 最新精品資料