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1、 考點16 不等式 1.（20xx·安徽高考文科·Ｔ8）設(shè)x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=x+y的最大值是（ ） （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力. 【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數(shù)的最大值點計算目標函數(shù)的最大值 【規(guī)范解答】選C．約束條件表示的可行域是一個三角形區(qū)域，3個頂點分別 是，目標函數(shù)在取最大值6，故C正確． 【方法技巧】解決線性規(guī)劃問題，首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即

2、幾條直線圍成的區(qū)域），則區(qū)域中的某個端點使目標函數(shù)取得最值． 2.（20xx·福建高考文科·Ｔ5）若，且，則的最小值等于（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)9 【命題立意】本題考查利用線性規(guī)劃的方法求最值． 【思路點撥】先畫出不等式組表示的線性區(qū)域，再作出直線，平移，當其截距越小，的值越?。? 【規(guī)范解答】選B．不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影所示： 作，平移至點位置時，取得最小值，即． 【方法技巧】本題可以采用多種解法，有些解法一反常規(guī)， 顛覆視覺． 方法一（特殊點法）：因為直線兩兩相交分別

3、交于，當時，； 當時，；當時，； 所以當時，． 方法二（反代入法）：，把代入得： 所以有最小值3． 方法三（向量法）：設(shè)，則 方向上的投影，所以當在位置時取得最小值，所以當時，為最小值． 3.（20xx·浙江高考文科·Ｔ7）若實數(shù)x,y滿足不等式組，則x+y的最大值為（ ） （A）9 （B） （C）1 （D） 【命題立意】本題主要考查了平面區(qū)域的二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想， 屬中檔題． 【思路點撥】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用圖象求的最大值． 【規(guī)范解答】選A．

4、令，則，表示過可行 域內(nèi)點斜率為-1的直線在軸上的截距．由圖可知當向上平移 使它過點時，． 【方法技巧】（1）畫可行域時：“直線定界、特殊點定域”． （2）尋找目標函數(shù)的最值時，應(yīng)先指明它的幾何意義，這樣才能找到相應(yīng)的最值． 4.（20xx·天津高考文科·Ｔ2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z=4x+2y的最大值 為（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【命題立意】考查線性規(guī)劃的意義，求目標函數(shù)的最值問題以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【思路點撥】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，畫圖分析求得最值． 【規(guī)范解答

5、】選B．在同一個坐標系中，畫出直線的圖象，作出可行域可知 直線平行移動到直線的交點（2，1）處，目標函數(shù)z=4x+2y取得最大值10. 【方法技巧】 線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是找準最優(yōu)點，畫圖失誤或求點失誤是常見的失誤點，解決最優(yōu)解問題可將各個邊界點代入驗證，然后尋找合適點． 5.（20xx·山東高考理科·Ｔ10）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ） （A）3，－11 （B）－3, －11 （C）11, －3 （D）11,3 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、考查了考生的推理論證能力和

6、運算求解能力. 【思路點撥】先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，再求解. 【規(guī)范解答】選A ．畫出平面區(qū)域如圖所示：可知當平移到點（5，3）時，目標函數(shù)取得最大值3；當平移到點（3，5）時，目標函數(shù)取得最小值-11，故選A. 6.（20xx·浙江高考理科·Ｔ7）若實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9， 則實數(shù)（ ） （A） （B） （C）1 （D）2 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想． 【思路點撥】畫出平面區(qū)域，利用的最大值為9，確定區(qū)域的邊界． 【規(guī)范解答】選C．令，則，表示斜率為-1的直

7、線在軸上的截距． 當最大值為9時，過點A，因此過點A，所以． 【方法技巧】畫平面區(qū)域時“直線定界、特殊點定域”． 7.（20xx·北京高考理科·Ｔ7）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a 的取值范圍是（ ） （A）(1,3] (B)[2,3] (C) (1,2] (D)[ 3, ) 【命題立意】本題考查平面區(qū)域，指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識． 【思路點撥】畫出平面區(qū)域D，再觀察的圖象． 【規(guī)范解答】選A．區(qū)域D如圖所示，其中．當恰過點A時，． 因此當時，的圖象上存在區(qū)域D上的點

8、． 【方法技巧】畫區(qū)域D時可采用“直線定界、特殊點定域”的方法． 8.（20xx·江蘇高考·Ｔ１2）設(shè)x,y為實數(shù)，滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是 ． 【命題立意】本題考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想． 【思路點撥】 【規(guī)范解答】，，， 的最大值是27． 【答案】27 9.（20xx·浙江高考文科·Ｔ16） 某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至

9、少達7 000萬元，則x的最小值為 ． 【命題立意】本題主要考查了用一元二次不等式解決實際問題的能力，屬中檔題． 【思路點撥】把一到十月份的銷售額求和，列出不等式，求解． 【規(guī)范解答】七月份：，八月份：．所以一至十月份的銷售總額為： ，解得（舍）或， ． 【答案】20 10.（20xx·浙江高考文科·Ｔ15）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 ． 【命題立意】本題主要考查了用基本不等式解決最值問題的能力 ，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬中檔題． 【思路點撥】本題可利用基本不等式構(gòu)造出關(guān)于的不等式，解出的最小值． 【規(guī)范解答】

10、運用基本不等式，，令，可得，注意到t＞0，解得t≥,故xy的最小值為18． 【答案】18 【方法技巧】基本不等式有兩個常用變形：（1）當和為定值時，積有最大值，即．（2）當積為定值時，和有最小值，即． 11.（20xx·山東高考文科·Ｔ１4）已知R+，且滿足，則xy的最大值為 . 【命題立意】本題考查均值定理，考查考生運用基本不等式運算求解能力. 【規(guī)范解答】R+，且，由基本不等式有，解得， 當且僅當，即時，等號成立，所以xy的最大值為3. 【答案】3 12.（20xx·山東高考理科·Ｔ14）若對任意，恒成立，則的取值范圍

11、是 ． 【命題立意】本題考查了利用基本不等式求最值及不等式恒成立問題以及參數(shù)問題的求解，考查了考生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力． 【思路點撥】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題. 【規(guī)范解答】因為，所以（當且僅當時取等號），所以有 ，即的最大值為，故 . 【答案】 【方法技巧】1．不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問題來解： 恒成立； 恒成立． 2．高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決. 13.（20xx·安徽高考文科·Ｔ15）若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立

12、的是 (寫出所有正確命題的編號)． ①； ②； ③ ； ④； ⑤． 【命題立意】本題主要考查均值定理，考查考生變形轉(zhuǎn)化的能力． 【思路點撥】可以利用特值排除，結(jié)合均值定理變形轉(zhuǎn)化求解． 【規(guī)范解答】令，排除②，④； 由，命題①正確； 由，命題③正確； 由，命題⑤正確． 【答案】①③⑤ 14.（20xx·陜西高考文科·Ｔ１4）設(shè)x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的最大值為 . 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識， 畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何意義是 解答好本題的關(guān)鍵，屬中檔題．

13、【思路點撥】作出可行域作出直線3x－y＝0 平移3x-y=0結(jié)論 【規(guī)范解答】作出可行域 當目標函數(shù)z＝3x－y過點A時，z取到最大值5. 【答案】５ 15.（20xx·北京高考文科·Ｔ11）若點P（m，3）到直線的距離為4，且點P在不等式 ＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m= ． 【命題立意】本題考查了點到直線的距離與線性規(guī)劃的知識． 【思路點撥】先利用點到直線的距離求出，再把所得點P的坐標代入到不等式中去驗證． 【規(guī)范解答】點P（m，3）到直線的距離為4，解得或m=．又因為點P在不等式＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以． 【答案】-3 【方法

14、技巧】判斷點是否在某平面區(qū)域內(nèi)，只需把點的坐標代入到不等式(組)中看是否成立即可． 16.（20xx·安徽高考理科·Ｔ13）設(shè)滿足約束條件 若目標函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________． 【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題和均值定理，考查考生的作圖、運算求解能力． 【思路點撥】由約束條件畫可行域 確定目標函數(shù)的最大值點計算的值 利用均值定理計算的最小值 【規(guī)范解答】 已知滿足約束條件，其可行域是一個四邊形，4個頂點的坐標分別是 ，易得目標函數(shù)在點處取最大值8， 所以，即，，當且僅當時，等號成立． 所以的最小值為4． 【答案】4 【方法技巧】

15、線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域），則目標函數(shù)的最大或最小值在區(qū)域的端點或邊界處取得． 17.（20xx·遼寧高考理科·Ｔ14）已知且，則的取值范圍 是_______（答案用區(qū)間表示）． 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃問題． 【思路點撥】 寫出答案 利用性質(zhì)求出范圍 作出可行域 【規(guī)范解答】作出可行域（如圖）， 將目標函數(shù)z=2x-3y變形為，它表示與平行，截距是的一組平行直線，當它經(jīng)過點A時，截距最大，此是z取得最小值；當經(jīng)過點B時，截距最小，此時z最大．由 由 ∴z=2x－３y的取值范圍是（3，8）．

16、【答案】（3，8） 【方法技巧】本題還可設(shè)，利用不等式求解．注意：不要先分別求， 的范圍再求的范圍，這樣會將范圍擴大，導(dǎo)致結(jié)果錯誤． 18.（20xx·陜西高考理科·Ｔ１4）鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表： b(萬噸) （百萬元） A 50% 1 3 B 70% 0．5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用 為_　　_ (百萬元)． 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識的應(yīng)用，畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何

17、意義是解答好本題的關(guān)鍵．屬中檔題． 【思路點撥】設(shè)購買鐵礦石A，B分別為萬噸線性約束條件最優(yōu)解結(jié)論． 【規(guī)范解答】設(shè)購買鐵礦石A，B分別為萬噸，購買鐵礦石的費用為z（百萬元），則 ，目標函數(shù)，， 畫出可行域可知，當目標函數(shù)過點P（1，2）時，z取到最小值15. 【答案】15 19.（20xx·廣東高考文科·Ｔ19）某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素．一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，

18、42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素. 如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐? 【命題立意】本題為應(yīng)用題，考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學(xué)模型的方法. 【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】設(shè)為該兒童分別預(yù)定個單位的午餐和晚餐，共需元，則 . 作出可行域如圖： 所以，當時，花費最少，為 （元）. 答：應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定4個午餐和3個晚餐. 【方法技巧】線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，應(yīng)從目標函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，

19、這樣思路更清晰. 20.（20xx·廣東高考理科·Ｔ19） 某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C.一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C. 如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？ 【命題立意】本題為應(yīng)用題，考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學(xué)模型的方法. 【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】設(shè)為該兒童分別預(yù)定個單位的午餐和晚餐，共需元，則. 作出可行域如圖： 所以，當時，花費最少，為(元). 答：應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定4個午餐和3個晚餐. 【方法技巧】線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，應(yīng)從目標函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，這樣思路更清晰.