《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講3直線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講3直線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 三直線的參數(shù)方程 課標(biāo)解讀 1.掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義． 2.能用直線的參數(shù)方程解決簡單問題. 　直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α(α≠)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線l上任一點M(x，y)到點M0(x0，y0)的距離，即|t|＝||. 1．若直線l的傾斜角α＝0，則直線l的參數(shù)方程是什么？ 【提示】　參數(shù)方程為(t為參數(shù)) 2．如何理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義？ 【提示】　過定點M0(x0

2、，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x，y)為終點的有向線段的長度，即|t|＝||. ①當(dāng)t＞0時，的方向向上； ②當(dāng)t＜0時，的方向向下； ③當(dāng)t＝0時，點M與點M0重合. 直線的參數(shù)方程 　已知直線l：(t為參數(shù))． (1)求直線l的傾斜角； (2)若點M(－3，0)在直線l上，求t，并說明t的幾何意義． 【思路探究】　將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得傾斜角，利用參數(shù)的幾何意義求得t. 【自主解答】　(1)由于直線l： (t為參數(shù))表示過點M0(－，2)且斜率為tan 的直線， 故直線l的傾

3、斜角α＝. (2)由(1)知，直線l的單位方向向量 e＝(cos，sin)＝(，)． ∵M0(－，2)，M(－3，0)， ∴＝(－2，－2)＝－4(，)＝－4e， ∴點M對應(yīng)的參數(shù)t＝－4， 幾何意義為||＝4，且與e方向相反(即點M在直線l上點M0的左下方)． 1．一條直線可以由定點M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α＜π)惟一確定，直線上的動點M(x，y)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 2．直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過定點M0(x0，y0)，斜率為的直線的參數(shù)方程是(a、b為常數(shù)，t為參數(shù))． 　設(shè)直線l過點P(－

4、3,3)，且傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)此直線與曲線C：(θ為參數(shù))交于A，B兩點，求|PA|·|PB|. 【解】　(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) (2)把曲線C的參數(shù)方程中參數(shù)θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，得 4(－3－t)2＋(3＋t)2－16＝0. 即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0. 由t的幾何意義，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. 直線參數(shù)方程的簡單應(yīng)用 　已知直線的參數(shù)方

5、程為(t為參數(shù))，則該直線被圓x2＋y2＝9截得的弦長是多少？ 【思路探究】　考慮參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義，所以首先要把原參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 再把此式代入圓的方程，整理得到一個關(guān)于t的一元二次方程，弦長即為方程兩根之差的絕對值． 【自主解答】　將參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 (t′為參數(shù)) 代入圓方程x2＋y2＝9， 得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9， 整理，有t′2＋8t′－4＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，t′1＋t′2＝－， t′1·t′2＝－4. 根據(jù)參數(shù)t′的幾何意義． |t′1－t2′|＝＝. 故直線被圓截得的

6、弦長為. 1．在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下，直線上兩點之間的距離可用|t1－t2|來求．本題易錯的地方是：將題目所給參數(shù)方程直接代入圓的方程求解，忽視了參數(shù)t的幾何意義． 2．根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2|； (2)定點M0是弦M1M2的中點?t1＋t2＝0； (3)設(shè)弦M1M2中點為M，則點M對應(yīng)的參數(shù)值tM＝(由此可求|M2M|及中點坐標(biāo))． 　若將條件改為“直線l經(jīng)過點A(1,2)，傾斜角為，圓x2＋y2＝9不變”，試求： (1)直線l的參數(shù)方程； (

7、2)直線l和圓x2＋y2＝9的兩個交點到點A的距離之積． 【解】　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)將代入x2＋y2＝9，得 t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4. 由參數(shù)t的幾何意義，得直線l和圓x2＋y2＝9的兩個交點到點A的距離之積為|t1t2|＝4. 參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合問題 　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|P

8、A|＋|PB|. 【思路探究】　(1)利用公式可求． (2)可考慮將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，求交點A、B的坐標(biāo)，也可考慮利用t的幾何意義求解． 【自主解答】　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2ρsin θ. ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5. (2)法一　直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 與圓C：x2＋(y－)2＝5聯(lián)立，消去y，得x2－3x＋2＝0， 解之得或 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)． 又點P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 法二　將l的參數(shù)方程代入x2＋(y－)2＝5，得(3－t)2＋(t)2＝5， 即

9、t2－3t＋4＝0，(*) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0. 故可設(shè)t1，t2是(*)式的兩個實根． ∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4. ∴t1>0，t2>0. 又直線l過點P(3，)， ∴由t的幾何意義，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3. 1．第(2)問中，法二主要運用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，簡化了計算． 2．本題將所給的方程化為考生所熟悉的普通方程，然后去解決問題，這是考生在解決參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程相互交織問題時的一個重要的思路． 　(2012·課標(biāo)全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為

10、極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標(biāo)為(2，)． (1)求點A，B，C，D的直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1上任意一點，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 【解】　(1)由已知可得A(2cos ，2sin )， B(2cos (＋)，2sin(＋))， C(2cos (＋π)，2sin(＋π))， D(2cos (＋)，2sin(＋))， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|

11、PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，則S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范圍是[32,52]． (教材第39頁習(xí)題2.3第1題) 設(shè)直線l經(jīng)過點M0(1,5)、傾斜角為. (1)求直線l的參數(shù)方程； (2)求直線l和直線x－y－2＝0的交點到點M0的距離． 　(2013·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

12、若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為________． 【命題意圖】　考查參數(shù)方程的理解、兩直線的位置關(guān)系．將參數(shù)方程消去參數(shù)后得到平面直角坐標(biāo)系下的方程是考查轉(zhuǎn)化與化歸的能力，由平面直角坐標(biāo)系下的方程及兩直線平行得到a的值是考查運算求解能力． 【解析】　由消去參數(shù)s，得x＝2y＋1. 由消去參數(shù)t，得2x＝ay＋a. ∵l1∥l2， ∴＝，∴a＝4. 【答案】　4 1．直線(t為參數(shù))的傾斜角α等于(　　) A．30°　　　　　　　B．60° C．－45° D．135° 【解析】　由直線的參數(shù)方程知

13、傾斜角α等于60°，故選B. 【答案】　B 2．直線(α為參數(shù)，0≤a＜π)必過點(　　) A．(1，－2)　　　　　B．(－1,2) C．(－2,1) D．(2，－1) 【解析】　直線表示過點(1，－2)的直線． 【答案】　A 3．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 【解析】　消去參數(shù)t，得方程x＋y－1＝0， ∴直線l的斜率k＝－1. 【答案】　B 4．(2013·濮陽模擬)若直線(t為參數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 【解析】　將化為y＝－x＋，

14、∴斜率k1＝－， 顯然k＝0時，直線4x＋ky＝1與上述直線不垂直． ∴k≠0，從而直線4x＋ky＝1的斜率k2＝－. 依題意k1k2＝－1，即－×(－)＝－1， ∴k＝－6. 【答案】　－6 (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列可以作為直線2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是(　　) A.(t為參數(shù)) B.(t為參數(shù)) C.(t為參數(shù)) D.(t為參數(shù)) 【解析】　題目所給的直線的斜率為2，選項A中直線斜率為1，選項D中直線斜率為，所以可排除選項A、D.而選項B中直線的普通方程為2x－y＋3＝0，故選C. 【答案】　C

15、2．(2013·許昌模擬)極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　) A．直線、直線　　　　　　B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線 【解析】　∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝， ∴ρ＝cos θ所表示的圖形是圓． 由(t為參數(shù))消參得：x＋y＝1，表示直線． 【答案】　D 3．原點到直線(t為參數(shù))的距離為(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 【解析】　消去t，得3x－4y－15＝0， ∴原點到直線3x－4y－15＝0的距離 d＝＝3. 【答案】　C 4．

16、直線，(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點，則AB的中點坐標(biāo)為(　　) A．(3，－3) B．(－，3) C．(，－3) D．(3，－) 【解析】　將x＝1＋，y＝－3＋t代入圓方程， 得(1＋)2＋(－3＋t)2＝16， ∴t2－8t＋12＝0，則t1＝2，t2＝6， 因此AB的中點M對應(yīng)參數(shù)t＝＝4， ∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－， 故AB中點M的坐標(biāo)為(3，－)． 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右

17、頂點，則常數(shù)a的值為________． 【解析】　直線l：消去參數(shù)t后得y＝x－a. 橢圓C：消去參數(shù)φ后得＋＝1. 又橢圓C的右頂點為(3,0)，代入y＝x－a得a＝3. 【答案】　3 6．(2012·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(θ為參數(shù)，0≤θ≤)和(t為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為________． 【解析】　曲線C1和C2的普通方程分別為 (0≤x≤，0≤y≤) 聯(lián)立①②解得 ∴C1與C2的交點坐標(biāo)為(2,1)． 【答案】　(2,1) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．化直線l的參數(shù)方程，(t為參

18、數(shù))為普通方程，并求傾斜角，說明|t|的幾何意義． 【解】　由消去參數(shù)t，得 直線l的普通方程為x－y＋3＋1＝0. 故k＝＝tan α，即α＝. 因此直線l的傾斜角為. 又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2， ∴|t|＝. 故|t|是t對應(yīng)點M到定點M0(－3,1)的向量的模的一半． 8．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長． 【解】　由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ. ∴直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0， 即(x－2

19、)2＋y2＝4. 直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)) 化為普通方程為x－y－1＝0. 曲線C的圓心(2,0)到直線l的距離為＝， 所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長為2 ＝. 9．(2013·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標(biāo)． 【解】　因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方程為2x－y－2＝0. 同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x. 聯(lián)立方程組解得公共點的坐標(biāo)為(2,2)，(，－1)． 教師

20、備選 10．(2012·沈陽模擬)已知直線l的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝，以極點為原點，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點M(－1,0)，直線l與曲線C交于A、B兩點． (1)求直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程； (2)線段MA，MB長度分別記為|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值． 【解】　(1)直線l：，(t為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0，所以極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)＝－1， 曲線C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲線的普通方程為y＝x2. (2)將，(t為參數(shù)) 代入y＝x2得t2－3t＋2＝0， ∴t1t2＝2，∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2. 最新精品資料