《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講1參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程第1課時(shí)【教學(xué)參考】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講1參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程第1課時(shí)【教學(xué)參考】（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 第二講 　參數(shù)方程 　數(shù)學(xué) 一曲線的參數(shù)方程 第1課時(shí)　參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程 課標(biāo)解讀 1.了解曲線的參數(shù)方程的概念與特點(diǎn)． 2．理解圓的參數(shù)方程的形式和特點(diǎn)． 3．運(yùn)用圓的參數(shù)方程解決最大值、最小值問題. 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：①，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)

2、t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系的方程叫做普通方程． 圖2－1－1 2．圓的參數(shù)方程 (1)如圖2－1－1所示，設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置M0開始出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)M(x，y)，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是θ， 則(θ為參數(shù))，這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程． (2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ為參數(shù)) 　曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實(shí)際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ有什么實(shí)際意義？ 【提示】　聯(lián)系x、y的參數(shù)t

3、(θ，φ，…)可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無實(shí)際意義的任意實(shí)數(shù)．圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過的角度. 參數(shù)方程的概念 　已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(－3,4)在曲線C上． (1)求常數(shù)a的值； (2)判斷點(diǎn)P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？ 【思路探究】　(1)將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代入?yún)?shù)方程中的x，y，消去參數(shù)t，求a即可； (2)要判斷點(diǎn)是否在曲線上，只要將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的普通方程檢驗(yàn)即可，若點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，則點(diǎn)在曲線上，否則，點(diǎn)不在曲線上． 【自主

4、解答】　(1)將M(－3,4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程得消去參數(shù)t，得a＝1. (2)由上述可得，曲線C的參數(shù)方程是 把點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3，－1)代入方程組，得到這個(gè)方程組無解，因此點(diǎn)Q不在曲線C上． 　點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系 滿足某種約束條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成曲線，點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在曲線上、點(diǎn)不在曲線上． (1)對(duì)于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上，則點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點(diǎn)N(x2，y2)不在曲線上，則點(diǎn)N(x2，y2

5、)的坐標(biāo)不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0. (2)對(duì)于曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上， 則對(duì)應(yīng)的參數(shù)t有解，否則參數(shù)t不存在． 　(2013周口質(zhì)檢)已知曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)，0≤θ<2π)． 判斷點(diǎn)A(2,0)，B(－，)是否在曲線C上？ 若在曲線上，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值． 【解】　把點(diǎn)A(2,0)的坐標(biāo)代入 得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0， 因此點(diǎn)A(2,0)在曲線C上，對(duì)應(yīng)參數(shù)θ＝0，同理，把B(－，)代入?yún)?shù)方程，得 ∴ 又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以點(diǎn)B(－，)

6、在曲線C上，對(duì)應(yīng)θ＝π. 圓的參數(shù)方程及應(yīng)用 　設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【思路探究】　化參數(shù)方程為普通方程，根據(jù)圓心到直線l的距離與半徑大小作出判定． 【自主解答】　由 得(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓， 則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝＝<3， 所以直線與圓相交．所以過圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個(gè)交點(diǎn)滿足題意， 又3－d<，故滿足題意的點(diǎn)有2個(gè)． 【答案】　B

7、 1．本題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)；數(shù)形結(jié)合，判定直線與圓的位置關(guān)系． 2．參數(shù)方程表示怎樣的曲線，一般是通過消參，得到普通方程來判斷．特別要注意變量的取值范圍． 　已知直線y＝x與曲線(α為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，求弦長(zhǎng)|AB|. 【解】　由得 ∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，半徑r＝2， 則圓心(1,2)到直線y＝x的距離d＝＝. ∴|AB|＝2＝2 ＝. 　如圖2－1－2，已知點(diǎn)P是圓x2＋y2＝16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(12,0)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡． 圖2－1－2 【思路探究】　引入?yún)?shù)→化為參數(shù)

8、方程→ 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y) 求動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程→確定軌跡 【自主解答】　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)， ∵圓x2＋y2＝16的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴設(shè)點(diǎn)P(4cos θ，4sin θ)， 由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 x＝，且y＝， ∴點(diǎn)M的軌跡方程為 因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)(6,0)為圓心，以2為半徑的圓． 1．引入?yún)?shù)，把圓的普通方程化為參數(shù)方程，其實(shí)質(zhì)就是三角換元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1. 2．圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示圓心為(x0，y0)，半徑為r的圓． 　已知點(diǎn)M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若4x＋3y－a≤0恒成立，

9、求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解】　由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又點(diǎn)M在圓上， ∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ， 因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝確定) ∴4x＋3y的最大值為1. 若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞). 求曲線的參數(shù)方程 　已知邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)B在x軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程． 【思路探究】　先畫出圖形，選取角為參數(shù)，

10、建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的三角函數(shù)即可． 【自主解答】　如圖，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，∠ABO＝θ，過點(diǎn)C作x軸的垂線段CM，垂足為M. 則∠CBM＝π－θ， ∴ 即 (θ為參數(shù)，0≤θ≤)為所求． 　求曲線的參數(shù)方程的方法步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件的點(diǎn)M的集合； (3)用坐標(biāo)表示集合，列出方程； (4)化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式； (5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(此步驟可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的點(diǎn)是否都表示曲線上的點(diǎn)，要注意那些特殊的點(diǎn))． 　若本例中的等邊三角形變化為等腰直角三角

11、形，AC為斜邊，腰為a，其余條件不變，如何求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程？ 【解】　法一　如圖，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，∠ABO＝θ，過點(diǎn)C作x軸的垂線段CM，垂足為M. 則∠CBM＝－θ， ∴ 即(θ為參數(shù)，0≤θ≤)為所求． 法二　如圖，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|OB|＝t,0≤t≤a. 過點(diǎn)C作x軸的垂線段CM，垂足為M，則Rt△ABO≌Rt△BCM. ∴|OA|＝，|BM|＝，|MC|＝t， ∴(t為參數(shù)，0≤t≤a)為所求． (教材第26頁習(xí)題2.1第3題) 已知M是正三角形ABC的外接圓上的任意一點(diǎn)，求證： |MA|2＋|MB|2＋|MC|2為定

12、值． 　(2013鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圓心為P(x，y)，求2x－y的取值范圍． 【命題意圖】　本題主要考查參數(shù)方程的概念及轉(zhuǎn)化思想和分析解決問題的能力． 【解】　由題設(shè)得(θ為參數(shù)，θ∈R)． 于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝sin(θ＋φ)，(φ由tan φ＝－確定)所以－≤2x－y≤. 所以2x－y的取值范圍是[－，]. 1．下列方程：(1)(m為參數(shù))(2)(m，n為參數(shù))(3)(4)x＋y＝0中，參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D

13、．4 【解析】　由參數(shù)方程的概念知是參數(shù)方程，故選A. 【答案】　A 2．曲線與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(2,0) 【解析】　設(shè)與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2， ∴曲線與x軸的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)． 【答案】　C 3．參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的曲線是(　　) A．兩條直線 B．一條射線 C．兩條射線 D．雙曲線 【解析】　當(dāng)t>0時(shí)是一條射線；當(dāng)t<0時(shí)，也是一條射線，故選C. 【答案】　C 4．已知(t為參數(shù))，若y＝1，則x＝________.

14、 【解析】　當(dāng)y＝1時(shí)，t2＝1，∴t＝1， 當(dāng)t＝1時(shí)，x＝2；當(dāng)t＝－1時(shí)，x＝0. ∴x的值為2或0. 【答案】　2或0 (時(shí)間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．參數(shù)方程(t為參數(shù))的曲線必過點(diǎn)(　　) A．(1,2)　　　　　　B．(－2,1) C．(2,3) D．(0,1) 【解析】　代入檢驗(yàn)知曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,3)． 【答案】　C 2．已知O為原點(diǎn)，參數(shù)方程(θ為參數(shù))上的任意一點(diǎn)為A，則OA＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　OA＝＝＝1，故選A. 【答案】　A 3．圓的圓心坐標(biāo)是(　　)

15、 A．(0,2) B．(2,0) C．(0，－2) D．(－2,0) 【解析】　∵x＝2cos θ，y－2＝2sin θ，∴x2＋(y－2)2＝4， ∴圓心坐標(biāo)是(0,2)，故選A. 【答案】　A 4．圓心在點(diǎn)(－1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(　　) A.(0≤θ<2π) B.(0≤θ<2π) C.(0≤θ<π) D.(0≤θ<2π) 【解析】　圓心在點(diǎn)C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π))．故圓心在點(diǎn)(－1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(0≤θ<2π)． 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．若點(diǎn)(－3，－3)在參數(shù)方

16、程(θ為參數(shù))的曲線上，則θ＝________. 【解析】　將點(diǎn)(－3，－3)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程 (θ為參數(shù))得 解得θ＝＋2kπ，k∈Z. 【答案】?。?kπ，k∈Z 6．(2013陜西高考)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________． 圖2－1－3 【解析】　將x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝，∴圓的直徑為1.設(shè)P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝1cos θcos θ＝cos2θ， y＝|OP|sin θ＝1cos θsin θ＝sin θcos θ， ∴圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))．

17、 【答案】　(θ為參數(shù)) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)，試判斷點(diǎn)A(1,3)，B(0，)是否在曲線C上． 【解】　將A(1,3)的坐標(biāo)代入 得即 由0≤θ<2π得θ＝π. 將B(0，)的坐標(biāo)代入 得即這樣的角θ不存在． 所以點(diǎn)A在曲線C上，點(diǎn)B不在曲線C上． 8．已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0. (1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程； (2)若點(diǎn)P(x，y)在該圓上，求x＋y的最大值和最小值． 【解】　(1)由ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0得 ρ2－4ρ

18、cos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x2＋y2－4x－4y＋6＝0為所求， 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－2)2＋(y－2)2＝2， 令x－2＝cos α，y－2＝sin α， 得圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)由(1)知， x＋y＝4＋(cos α＋sin α) ＝4＋2sin(α＋)， 又－1≤sin(α＋)≤1. 故x＋y的最大值為6，最小值為2. 9．已知圓系方程為x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0，且為已知常數(shù)，φ為參數(shù)) (1)求圓心的軌跡方程； (2)證明圓心軌跡與動(dòng)圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為定值． 【解】　(1)由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

19、 (x－acos φ)2＋(y－asin φ)2＝a2(a>0)． 設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)， 則(φ為參數(shù))， 消參數(shù)得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2. (2)由方程 得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0， 圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝為定值． ∴弦長(zhǎng)l＝2＝a(定值)． 教師備選 10．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)C(4,4)，點(diǎn)A在圓O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移動(dòng)，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸．求矩形ABCD面積S的最小值與最大值，以及相應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)． 【解】　由于點(diǎn)A在

20、圓O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移動(dòng)， 所以設(shè)點(diǎn)A(3cos θ，3sin θ)，且θ∈[0，]． S＝|AB||AD| ＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(sin θ＋cos θ)＋9sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)， 則sin θcos θ＝，且t∈[1，]． ∴S＝t2－12t＋ ＝(t－)2＋(1≤t≤)． ∴當(dāng)t＝sin θ＋cos θ＝時(shí)，Smin＝， 此時(shí)sin θcos θ＝， 所以sin θ、cos θ是方程z2－z＋＝0， 即18z2－24z＋7＝0的兩根， 解得z＝. ∴ 或 當(dāng)t＝sin θ＋cos θ＝1時(shí)，Smax＝4， 此時(shí)sin θcos θ＝0， 所以sin θ＝0，cos θ＝1 或sin θ＝1，cos θ＝0. ∴或 綜上所述，Smin＝，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2＋，2－)或(2－，2＋)；Smax＝4，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)或(0,3)． 最新精品資料