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1、 考點28 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型 1.（20xx遼寧高考理科Ｔ3）兩個實習生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和， 兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（ ） （A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率. 【思路點撥】恰有一個一等品，包含兩類情況. 【規(guī)范解答】選B.所求概率為. 【方法技巧】1.要準確理解恰有一個的含義. 2.事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)

2、 3.本題也可用對立事件的概率來解決.所求概率p=. 2.（20xx北京高考文科Ｔ3）從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是（ ） （A） (B) （C） (D) 【命題立意】本題考查古典概型，熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決本題的關(guān)鍵. 【思路點撥】先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出事件“”包含的基本事件數(shù)， 從而. 【規(guī)范解答】選D.，包含的基本事件總數(shù).事件“”為，包含的基本事件數(shù)為.其概率. 【方法技巧】列古典概型的基本事件空間常用的方

3、法有：（1）列舉法；（2）坐標網(wǎng)格法；（3）樹狀圖等. 3.（20xx湖南高考文科Ｔ11）在區(qū)間[-1,2]上隨即取一個數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為 . 【命題立意】以非常簡單的區(qū)間立意，運算不復雜，但能切中考查幾何概型的要害. 【思路點撥】一元幾何概型→長度之比. 【規(guī)范解答】[-1，2]的長度為3，[0,1]的長度為1，所以概率是. 【方法技巧】一元幾何概型→長度之比，二元幾何概型→面積之比，三元幾何概型→體積之比. 4．（20xx福建高考理科Ｔ13）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.

4、假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于 . 【命題立意】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解. 【思路點撥】 分析題意可得：該選手第一個問題可以答對也可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，進而求解“相互獨立事件同時發(fā)生的概率”. 【規(guī)范解答】依題意得：該選手第一個問題可以答對也可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，所以其概率. 【答案】0.128 5. （20xx天津高考理科Ｔ１1）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下

5、圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 . 【命題立意】本題考查了統(tǒng)計中的平均數(shù)、莖葉圖的基礎(chǔ)知識，考查了學生的識圖能力. 【思路點撥】計算10個數(shù)的平均數(shù). 【規(guī)范解答】選甲日加工零件的平均數(shù)為： ，同理可得乙日加工零件的平均數(shù)為23. 【答案】24 23 6.（20xx安徽高考理科Ｔ15）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取

6、出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號）. ①； ②； ③事件與事件相互獨立； ④是兩兩互斥的事件； ⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關(guān). 【命題立意】本題主要考查概率的綜合問題，考查考生對事件關(guān)系的理解和條件概率的認知水平． 【思路點撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨立的概念，條件概率及把事件B的概率轉(zhuǎn)化為可辨析此題. 【規(guī)范解答】顯然是兩兩互斥的事件， 有，，， 而 ， 且，，有. 可以判定②④正確，而①③⑤錯誤. 【答案】②④ 7. （20xx遼寧高考文科Ｔ13）三張卡片上分別寫上字母E，

7、E,B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為　　　　　　　　　　. 【命題立意】本題考查了古典概型，考查了計數(shù)原理，和排列組合. 【思路點撥】 所有可能的基本事件總數(shù) 滿足條件的基本事件數(shù) 求概率 【規(guī)范解答】將三張卡片排成一行，共有(種) 可能的結(jié)果，恰好排成英文單詞BEE的可能結(jié)果有（種）.所以所求概率為p=. 【答案】 8. （20xx江蘇高考Ｔ3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_ __. 【命題立意】本題考查古典概型的概率求法. 【思路點撥】先求出從盒子中隨機地摸出兩只球的所有方法數(shù)，再

8、求出所摸兩只球顏色不同的方法數(shù)，最后代入公式計算即可. 【規(guī)范解答】從盒子中隨機地摸出兩只球，共有種情況，而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況，故所求的概率為 【答案】 9. （20xx浙江高考文科Ｔ17）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點，在A，P，M，C中任取一點記為E，在B，Q，N，D中任取一點記為F，設G為滿足向量的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為 . 【命題立意】本題主要考查了平面向量與古典概型的綜合運用，屬中檔題. 【思路點撥】利用向量加法的平行四邊

9、形法則逐個驗證是否在四邊形ABCD外. 【規(guī)范解答】由題意知，G點共有16種取法，而只有E為P、M中一點，F(xiàn)為Q、N中一點時，落在平行四邊形內(nèi)（含邊界），故符合要求的G只有4個，因此概率為. 【答案】 【方法技巧】（1）求古典概型的概率一般先求出基本事件空間所包含的基本事件總數(shù)n，再求出事件A所包含的基本事件數(shù)m，其概率為.（2）求向量加法時如果兩個向量同一起點那么用平行四邊形法則，如果首尾相連一般用三角形法則. 10．（20xx湖南高考理科Ｔ4）在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，則的概率為 【命題立意】以非常簡單的區(qū)間和不等式的解集立意，運算不復雜，但能切中考查幾何概型的要害.

10、 【思路點撥】一元幾何概型→長度之比. 【規(guī)范解答】[-1，2]的長度為3，|x|≤1的解集為[-1,1]的長度為2，所以概率是. 【答案】 【方法技巧】一元幾何概型→長度之比，二元幾何概型→面積之比，三元幾何概型→體積之比. 11.（20xx山東高考文科Ｔ１9）一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別 為1，2，3，4. （1）從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率. （2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球， 該球的編號為n，求的概率. 【命題立意】本小題主要考查古典概型、對立事件的概率計算，考查考生分

11、析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】采用列舉法列出一切可能的結(jié)果組成的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式進行計算， 第（2）問可利用對立事件的概率計算. 【規(guī)范解答】（1）從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個. 因此所求事件的概率. （2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為，其一切可能的結(jié)果有 共16個, 又滿足的事件的概率為. 故滿足的事件的概率為. 12. （20xx安徽高考文科Ｔ10）甲從正方形四個

12、頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查古典概型的概率問題，考查考生分析問題的能力. 【思路點撥】試驗為古典概型試驗的基本事件個數(shù)所求事件包含的基本事件個數(shù) 計算概率 【規(guī)范解答】選C，正方形四個頂點可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個等可能的基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對角線），包括10個基本事件，所以概率等于 . 【方法技巧】對于古典概型的概率問題，關(guān)

13、鍵是明確試驗的基本事件數(shù)，然后明確所求事件包含的基本事件數(shù)，進而求解概率. 13. （20xx福建高考文科Ｔ１8）設平面向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}. （I）請列出有序數(shù)組（ m，n ）的所有可能結(jié)果； （II）記“使得（-）成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率. 【命題立意】本題考查概率、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，應用意識，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、或然與必然思想. 【思路點撥】第一步用枚舉法寫出數(shù)組的所有可能；第二步用向量的內(nèi)積得到m，n的關(guān)系式，進而得到事件A包含的基本事件，利用古典概型公式

14、即可求. 【規(guī)范解答】( I ) 有序數(shù)組的所有可能結(jié)果為： 共16個； （II）由得，即故事件所包含的基本事件為，共兩個.有基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率. 【方法技巧】有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，越來越常見利用枚舉法的求解方法，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序的數(shù)組（m，n），坐標的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不要當成同一種.因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易. 14.（20xx天津高考文科Ｔ18） 有編號為,,…，的10個零件，測量其直徑（單位：c

15、m），得到下面數(shù)據(jù)： 其中直徑在區(qū)間[1.48，1.52]內(nèi)的零件為一等品. （Ⅰ）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率； （Ⅱ）從一等品零件中，隨機抽取2個. （?。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y(jié)果； （ⅱ）求這2個零件直徑相等的概率. 【命題立意】本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力. 【思路點撥】利用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 【規(guī)范解答】（Ⅰ）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機

16、抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）==. （Ⅱ）（i）一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的 所以P(B) =. 15. （20xx湖南高考文科Ｔ17）為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人） (1)求x,y ; (2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率. 【命題立意】以實際生活為背景，考查抽取樣本的認識，進而考查求事件的概率. 【思路點撥】分層抽樣也叫做按比例抽樣.求事件的概率關(guān)鍵是弄明白基本事件以及目標事件包多少個基本事

17、件. 【規(guī)范解答】 (1) 由題意可得, ,所以 (2) 記從高校B抽取的2人為b1,b2,從高校C中抽取的3人為c1 ,c2 ,c3 ,則從高校B,C抽取的5人中選2人做專題發(fā)言的基本事件有 (b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3)(b2,c1) (b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共10種. 設選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共3種.因此P(X)= . 故選中的2人都來自高校C的概率是. 【方法技巧】1、分層抽樣的依據(jù)是：比=樣本容量/總體，再用比去乘以每一層的個

18、體數(shù)，即可得到這層要取的個體數(shù). 2、概率問題的解題步驟：首先思考實驗的個數(shù)、實驗關(guān)系和實驗結(jié)果，然后思考目標事件如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進行運算. 16．（20xx湖南高考理科Ｔ4）如圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖 （1）求直方圖中x的值. （2）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學期望. 【命題立意】以實際生活為背景，考查頻率分布直方圖的認識，進而考查分布列和期望等統(tǒng)計知識. 【思路點撥】頻率分布直方圖→矩形的面積表示頻率反映概率；隨機抽取3

19、位居民（看作有放回的抽樣）是三個獨立重復實驗→計算概率時遵循貝努力概型. 【規(guī)范解答】（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. （2）由題意知，X～B(3，0.1). 因此P(x=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的數(shù)學期望為EX=30.1=0.3. 【方法技巧】1.統(tǒng)計的常用圖：條形圖，徑葉圖；直方圖，折線圖等.要學會識圖. 2.概率問題的解題步驟：首先思考實驗的個數(shù)、實驗關(guān)系和實驗結(jié)果，然后思考目標時間如何用基本事件表示出來，最后利用互斥事件進行運算. 3.在求期望和方差時注意使用公式.