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最新精選優(yōu)質數(shù)學資料
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【成才之路】高中數(shù)學 1.3全稱量詞與存在量詞練習 北師大版選修1-1
一、選擇題
1.下列命題中,全稱命題的個數(shù)為( )
①平行四邊形的對角線互相平分;②梯形有兩邊平行;
③存在一個菱形,它的四條邊不相等.
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析]?、佗谑侨Q命題,③是特稱命題.
2.命題“任意x>1,log2x<0”的否定是( )
A.任意x>1,log2x≥0 B.任意x≤1,log2x>0
C.存在x>1,log2x≥0 D.存在x≤1,log2x>0
2、[答案] C
[解析] 全稱命題的否定是特稱命題,故選C.
3.給出下列四個命題,其中為真命題的是( )
A.任意x∈R,x2+3<0 B.任意x∈N,x2≥1
C.存在x∈Z,使x5<1 D.存在x∈Q,x2=3
[答案] C
[解析] 由于任意x∈R,都有x2≥0,因而有x2+3≥3,
所以命題“任意x∈R,x2+3<0”為假命題;
由于0∈N,當x=0時,x2≥1不成立,
所以命題“任意x∈N,x2≥1”是假命題;
由于-1∈Z,當x=-1時,x5<1,
所以命題“存在x∈Z,使x5<1”為真命題;
由于使x2=3成立的數(shù)只有
3、77;,而它們都不是有理數(shù),
因此沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以命題“存在x∈Q,x2=3”是假命題.故選C.
4.下列特稱命題中真命題的個數(shù)是( )
①存在x∈R,x≤0;②至少有一個整數(shù),它既不是合數(shù),也不是素數(shù);③存在x∈{x|x是整數(shù)},x2是整數(shù).
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析]?、佗冖鄱际钦婷}.
5.下列命題為特稱命題的是( )
A.偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱
B.正四棱柱都是平行六面體
C.不相交的兩條直線是異面直線
D.存在實數(shù)大于等于3
[答案] D
[解析] 分清各命題中含有的量詞是全稱量詞還是存在量詞,其中選
4、項A,B,C都是全稱命題.
6.下列命題中是全稱命題的是( )
A.所有的正方形都是菱形
B.有兩個實數(shù)x,使得x2+3x+2=0
C.存在兩條相交直線平行于同一個平面
D.存在一無理數(shù)x,使得x2也是無理數(shù)
[答案] A
[解析] B,C,D是特稱命題.
二、填空題
7.下列命題中真命題為________,假命題為________.
①末位是0的整數(shù),可以被2整除;②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等;③有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);④有些三角形不是等腰三角形;⑤所有的菱形都是正方形
[答案]?、佗冖邰堋、?
8.下列語句:①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù);②|x-1|<
5、;2;③存在實數(shù)a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形對角線相等且不互相平分.
其中是全稱命題且為真命題的序號是________.
[答案]?、?
[解析]?、偈侨Q命題,但為假命題,②不是命題,③是特稱命題,只有④是全稱命題且為真命題.
三、解答題
9.指出下列命題中,那些是全稱命題,哪些是特稱命題,并判斷其真假.
(1)存在一個實數(shù),它的絕對值不是正數(shù);
(2)對任意實數(shù)x1,x2,若x1<x2,則tanx1<tanx2;
(3)存在一個函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù).
[解析] (2)是全稱命題,(1)(3)是特稱命題.
(1)存在一個實數(shù)零,它的絕對值不是
6、正數(shù),所以該命題是真命題.
(2)存在x1=0,x2=π,x1<x2,但tan0=tanπ,所以該命題是假命題.
(3)存在一個函數(shù)f(x)=0,它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù),所以該命題是真命題.
10.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并判斷其真假.
(1)存在兩個相交平面垂直于同一條直線;
(2)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù);
(3)對任意實數(shù)α,有sin2α+cos2α=1;
(4)存在一條直線,其斜率不存在;
(5)對所有的實數(shù)a、b,方程ax+b=0都有唯一解.
[答案] (1)(2)(4)為特稱命題 (3)(5)為全稱命題 (2)(3)(4)真 (1)(5)假
7、[解析] (1)是特稱命題.因為垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的,因此不存在兩個相交的平面垂直于同一條直線.所以特稱命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”是假命題.
(2)是特稱命題.因為存在整數(shù)2只有兩個正因數(shù)1和2,所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)”是真命題.
(3)是全稱命題,由三角函數(shù)知識知“對任意α∈R,sin2α+cos2α=1都成立”,故此命題是真命題.
(4)是特稱命題,因為垂直于x軸的直線斜率不存在,所以“存在直線l,l的斜率不存在”,是真命題.
(5)是全稱命題,因為0x+3=0無解,所以“對任意a、b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命題.
8、
一、選擇題
1.(2014·甘肅臨夏中學期中)命題“存在x∈Z,使x2+2x+m≤0成立”的否定是( )
A.存在x∈Z,使x2+2x+m>0
B.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0
C.對于任意x∈Z,都有x2+2x+m≤0
D.對于任意x∈Z,都有x2+2x+m>0
[答案] D
[解析] 特稱命題的否定是全稱命題.
2.下列命題中的假命題是( )
A.存在實數(shù)α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在無窮多個α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.對任意α和β,使cos(α
9、+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在這樣的α和β,使cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
[答案] B
[解析] cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ,顯然C、D為真;sinα·sinβ=0時,A為真;B為假.故選B.
3.下列命題中,真命題是( )
A.存在m∈R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函數(shù)
B.存在m∈R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函數(shù)
C.對任意m∈R,函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函數(shù)
D.對任意m∈R,函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇
10、函數(shù)
[答案] A
[解析] 顯然當m=0時,f(x)=x2為偶函數(shù),故選A.
4.設函數(shù)f(x)的定義域為R,有下列三個命題:
①若存在常數(shù)M,使得對任意x∈R,有f(x)≤M,則M是函數(shù)f(x)的最大值;
②若存在x0∈R,使得對任意x∈R,且x≠x0,有f(x)≤f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的最大值;
③若存在x0∈R,使得對任意x∈R,有f(x)≤f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的最大值.
這些命題中,真命題的個數(shù)是( )
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
[答案] C
[解析] 對于①,M不一定在函數(shù)f(x)的值域內,故①不正確;對
11、于②③,所取值x0在其定義域內,f(x0)在函數(shù)f(x)的值域內,f(x0)為函數(shù)f(x)的最大值,故②③正確,故應選C.
二、填空題
5.已知命題“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] -1<a<3
[解析] 由條件得命題“任意x∈R,使2x2+(a-1)x+>0”是真命題.所以Δ=(a-1)2-4<0,
解得-1<a<3.
6.若存在x0∈R,使ax+2x0+a=0,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[答案]?。?<a<1
[解析] 當a=0時,x0=0滿足
12、題意.
當a≠0時,由題意知方程ax2+2x+a=0有實數(shù)根,
∴,∴-1<a<0或0<a<1.
綜上可知-1<a<1.
三、解答題
7.指出下列命題是全稱命題還是特稱命題,并判斷其真假:
(1)在平面直角坐標系中,任意有序實數(shù)對(x,y),都對應一點P;
(2)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示;
(3)存在一個實數(shù),使等式x2+x+8=0成立.
[答案] (1)全稱命題,真命題;(2)全稱命題,假命題;(3)特稱命題,假命題.
8.為使下列p(x)為真命題,求x的取值范圍.
(1)p(x):log2x2-1>0.
(2)p(
13、x):4x-2x+1-3<0.
(3)p(x):=sinx-cosx.
[解析] (1)由log2x2-1>0,得log2x2>1,
∴
∴x>或x<-,
因此,使p(x)為真命題的x的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞).
(2)令2x=a,則a2-2a-3<0,∴-1<a<3,
∴2x<3,x<log23.
因此使p(x)為真命題的x的取值范圍為(-∞,log23).
(3)由=sinx-cosx,
得|sinx-cosx|=sinx-cosx,∴sinx≥cosx,
∴2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
因此,使p(x)為真命題的x的取值范圍為
[2kπ+,2kπ+],k∈Z.
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