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1、《高等數(shù)學(xué)》——數(shù)列極限
教學(xué)設(shè)計(jì)
章節(jié)、內(nèi)容
1.2 極限(數(shù)列極限)
授課時(shí)間及班級(jí)
2017年6月2日1、2節(jié) 電子技師3班
授課周次
第14周
授課時(shí)間
1課時(shí)45分鐘
教具
三角板、圓規(guī)
教材分析
教材地位
眾所周知,數(shù)列極限這個(gè)概念的理解是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)所必備的知識(shí),另外,極限也是從初等數(shù)學(xué)的思維方式到高等數(shù)學(xué)的思維方式的質(zhì)的轉(zhuǎn)變。
教學(xué)重點(diǎn)
數(shù)列極限的概念。
教學(xué)難點(diǎn)
如何從變化趨勢的角度, 來正確理解數(shù)列極限的概念。
教學(xué)關(guān)鍵
教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生在分析問題時(shí)抓住問題的本質(zhì)(即定義)。
教學(xué)目標(biāo)分析
知識(shí)目標(biāo)
從數(shù)列的變化趨勢
2、來理解極限的概念;能初步利用極限定義確定某些簡單的數(shù)列極限;體會(huì)極限思想。
能力目標(biāo)
1、 通過設(shè)置問題情境、數(shù)列變化趨勢的分析,使學(xué)生理解數(shù)列極限的定義,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語言的表述,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力。
2、 通過分層練習(xí),使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)得到進(jìn)一步的鞏固,進(jìn)而學(xué)會(huì)數(shù)列極限的分析方法,體會(huì)在探索問題中由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、由有限到無限的辨證觀點(diǎn),感受“從具體到抽象,從特殊到一般再到特殊”的認(rèn)識(shí)過程。
情感目標(biāo)
1、通過介紹我國古代思想家莊周和數(shù)學(xué)家劉徽,激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感。
2、通過介紹生活中的極限運(yùn)動(dòng)和極限精神,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。
教學(xué)
3、方法分析
學(xué)生知識(shí)現(xiàn)狀分析
授課對(duì)象為二年級(jí)學(xué)生,有部分高中畢業(yè)生、大多數(shù)是初中畢業(yè)生、學(xué)生基礎(chǔ)層次差距較大;多數(shù)學(xué)生欠缺學(xué)習(xí)方法,不善于自己分析探究,習(xí)慣于教師的講授;另外數(shù)學(xué)語言表達(dá)存在一定問題。但已具備一定的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。
教法分析
根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平,整節(jié)課以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、啟發(fā)思維為主線;并采用班內(nèi)“隱性”分層教學(xué),接合講授法、演示法、討論法、探究法等方法。
學(xué)法分析
1、自主學(xué)習(xí):學(xué)生自己通過預(yù)習(xí),了解所學(xué)知識(shí)
2、探究合作學(xué)習(xí):通過教師的引導(dǎo),學(xué)生合作探究,互相交流,解決教學(xué)中出現(xiàn)的問題。
3、練習(xí)鞏固法:讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在應(yīng)用,通過應(yīng)
4、用來檢驗(yàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
接表后
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
A、【課前準(zhǔn)備】1、安排學(xué)生提前預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。
2、分組:4~6人為一個(gè)學(xué)習(xí)小組,確定一人為組長。教師需要做好協(xié)調(diào)工作,確保每位學(xué)生都參加。
B、【組織教學(xué)】 檢查學(xué)生出勤情況,填寫教學(xué)日志,教材、用具準(zhǔn)備等(2分鐘)
C、【復(fù)習(xí)回顧】 數(shù)列的定義(2分鐘)
D、【教學(xué)內(nèi)容、方法和過程】接下表
教師活動(dòng)
學(xué) 生
活 動(dòng)
設(shè)計(jì)意圖
(一) 結(jié)合實(shí)際,情景導(dǎo)入(時(shí)間4分鐘)
導(dǎo)入1、戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子天下篇》引用過一句話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭” 也就是說一根長為一尺的木棒,每
5、天截去一半,這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去
導(dǎo)入2、三國時(shí)的劉徽提出的“割圓求周”的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.
教師引入:不論是莊周還是劉徽,在他們的思想中都體現(xiàn)了一種數(shù)列極限思想,今天我們來學(xué)習(xí)數(shù)列極限。
【學(xué)情預(yù)設(shè)】:有的學(xué)生可能沒體會(huì)到情景導(dǎo)入的目的,教師最后要總結(jié)導(dǎo)入中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。
(二)歸納總結(jié),形成概念: (時(shí)間9分鐘)
1.提出問題:分析當(dāng)無限增大時(shí),下列數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢及共同特征.
(1)1,,,……遞減
(2)遞增
(3)擺動(dòng)
2.解決問題:[共
6、同特征]不論這些變化趨勢如何,隨著項(xiàng)數(shù)的無限增大,數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于常數(shù).(即無限地接近于0)
3.強(qiáng)化認(rèn)識(shí):(學(xué)生回答)觀察下面三個(gè)數(shù)列 :分析當(dāng)n無限
增大時(shí),下列數(shù)列的項(xiàng) 的變化趨勢
(1)1,
(2)0.9, 0.99, 0.999, 0.9999………
(3) ,,,…,,…;
提出問題:
當(dāng)n無限增大時(shí),上述數(shù)列趨近常數(shù)的方式有哪幾種類型?
4.概念形成:一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),無窮數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于某個(gè)常數(shù)(即無限地接近0),那么就說數(shù)列以為極限或者說是數(shù)列的極限. 記作:
讀作:“當(dāng)趨向于無窮大時(shí),的極限等于a.”
注意:(1)是無窮數(shù)
7、列.
(2)數(shù)值變化趨勢:遞減的、遞增的、擺動(dòng)的
(三)嘗試探究,深化概念: (時(shí)間10分鐘)
例1.考察下面的數(shù)列,寫出它們的極限
(1)
(2)6.5,6.95,6.995,…,
(3)
解:(1)數(shù)列的項(xiàng)隨的增大而減小,但大于0,且當(dāng)無限增大時(shí),無限地趨近于0,因此數(shù)列的極限是0.
(2)(3)請(qǐng)學(xué)生分析完成.
探究性問題1:是否每個(gè)無窮數(shù)列都是有極限.
①2、4、6、8、…………
②
③
【學(xué)情預(yù)設(shè)】:1、學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤認(rèn)為所有數(shù)列都有極限。
2、學(xué)生對(duì)擺動(dòng)數(shù)列中數(shù)的趨向難于把握。教師要充分發(fā)
揮多媒體的動(dòng)畫效果。
課堂練習(xí)
(1)數(shù)列的極
8、限是 ,記作 .
(2)數(shù)列的極限是 ,記作 .
(3)數(shù)列的極限是 ,記作 .
【學(xué)情預(yù)設(shè)】:極限的記法第一次出現(xiàn),學(xué)生很容易出錯(cuò),尤其是極限的位置??紤]到各組的水平可能有所不同,教師應(yīng)巡視,對(duì)個(gè)別組可做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)
例2、求常數(shù)數(shù)列1,-1,1,-1,,-1,的極限.
例3、用計(jì)算器計(jì)算,由此猜想數(shù)列的極限。
結(jié)論:一般地,如果,那么
探究2:
1:若a=1時(shí),則 2:若a=-1時(shí),則
3:若a>1時(shí),則 4:若a<-1時(shí),則
【學(xué)情預(yù)設(shè)】:1、學(xué)生比較容易理解例2和例3,是否注意到對(duì)字母a的限制。
2、在探索開放性練習(xí)上
①首先選一從遞
9、增數(shù)列的角度研究的小組上臺(tái)匯報(bào);
②對(duì)于從遞減數(shù)列的角度研究的小組上臺(tái)匯報(bào);
③問其它小組有沒不同的看法,上臺(tái)補(bǔ)充(是否注意到擺動(dòng)數(shù)列)
3、學(xué)生很難想到從數(shù)列分類的角度去思考。
(四)分層練習(xí)、鞏固創(chuàng)新:(時(shí)間14分鐘)
1課本20頁1,(1),(2),(3),(4),(5)
2.探索開放性練習(xí):
試說出滿足的幾個(gè)數(shù)列?
答:
……(答案不唯一)
(五) :歸納小結(jié)(時(shí)間2分鐘)
1:數(shù)列極限的定義,記法,讀法
2:數(shù)列的三種趨向方式
3:常用數(shù)列的極限
(六) :作業(yè)布置,升華所學(xué)(時(shí)間4分鐘)
1、課后作業(yè):課后練習(xí)題1,2,3和課外閱讀三國
10、時(shí)的劉徽提出割圓術(shù)的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.
2、升華所學(xué):出示圖片1(“蹦極”),2(“攀巖”),3(“登山”)
近年來,世界上興起了許多運(yùn)動(dòng):如“蹦極” “攀巖” “登山”等。之所以受到歡迎,就是由于蘊(yùn)含了一種極限精神:挑戰(zhàn)自己精神、膽量、勇氣、耐力的極限。在挑戰(zhàn)的同時(shí),挑戰(zhàn)者也享受到了挑戰(zhàn)帶來的刺激和快樂。
(七)、板書設(shè)計(jì):
數(shù)列極限
1、 數(shù)列極限的定義
一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),無窮數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于某個(gè)常數(shù)(即無限地接近0),那么就說數(shù)列以為極限或者說是數(shù)列的極限.
11、 記作:
讀作:“當(dāng)趨向于無窮大時(shí),的極限等于a.”
注意:(1)是無窮數(shù)列.
(2)數(shù)值變化趨勢:遞減的、遞增的、擺動(dòng)的
2、常見數(shù)列的極限
學(xué)生參與,思 考,感 受
學(xué)生參與,思 考
問題,在老師的引導(dǎo)下對(duì)數(shù)列極限知識(shí)有一個(gè)形象化的了解。
通過討論,學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢的觀點(diǎn)研究無窮數(shù)列,從而體會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程
這一階段的教學(xué)中,采取“啟發(fā)式談話法”與“啟發(fā)式講解法”, 注意不“一次到位”
通過討論,在教師的引導(dǎo)下,使學(xué)生得到結(jié)論
12、
師生共同解決例(1),第(2)(3)學(xué)生分析完成.
學(xué)生合作討論,發(fā)揮教師的引導(dǎo),學(xué)
生的主體作用,
完成預(yù)想的教學(xué)目標(biāo)!
學(xué)生到黑板上填空
學(xué)生按照教師給出的閱讀提示閱讀,小組討論后給回答問題
自己分析,小組交流后回答
學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)1小組合作學(xué)習(xí),完成探索開放性練習(xí)
小結(jié)由學(xué)生和老師共同完成,養(yǎng)成學(xué)生及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣。
通過介紹我國古代哲學(xué)家莊周和劉徽,激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感,并使他們對(duì)數(shù)列極限知識(shí)有一個(gè)形象化的了解
13、。同時(shí)為學(xué)習(xí)新知識(shí)做準(zhǔn)備,使學(xué)生更好的承上啟下。
(一)概念探索階段”
在這一階段的教學(xué)中,由于注意到學(xué)生在開始接觸數(shù)列極限這個(gè)概念時(shí),總是以靜止的觀點(diǎn)來理解這個(gè)描述變化過程的動(dòng)態(tài)概念,總覺得與以
前知識(shí)相比,接受起來有困難,似乎這個(gè)概念是突然產(chǎn)生的,甚至于不明概念所云,故我在這一階段計(jì)劃主要解決這樣幾個(gè)問題:
①使學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢的觀點(diǎn)研究無窮數(shù)列,從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程;
②使學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí);
(二)概念建立階段
歸納共同點(diǎn),是鍛煉學(xué)生分析和總結(jié)的思維能力。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力,提高教學(xué)效果 ,進(jìn)一步理解數(shù)列極限的定義
進(jìn)
14、一步理解定義
學(xué)生通過教師引導(dǎo)和練習(xí),去體會(huì)數(shù)列極限蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,深化對(duì)定義的認(rèn)識(shí)。
極限的記法第一次出現(xiàn),學(xué)生容易出錯(cuò),該練習(xí)的目的是為了熟悉極限的表示
教師給出閱讀提示,然后學(xué)生閱讀例2,例3,是為了提高課堂有效性,節(jié)省時(shí)間。
探究2是讓學(xué)生明白極限存在的前提,注意字母的范圍,同時(shí)加深對(duì)極限的認(rèn)識(shí)。
課后練習(xí)1是檢驗(yàn)本節(jié)課所學(xué),完成本節(jié)教學(xué)任務(wù)。在探索開放性練習(xí)中,通過小組討論,合作探究過程中,讓
學(xué)生感受合作與交流的樂趣。同時(shí)挖掘?qū)W生潛在的探索發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)
15、造能力。
最后通過小結(jié),使知識(shí)系統(tǒng)化,條理化。
通過第1個(gè)作業(yè),鞏固所學(xué)!通過課外閱讀介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的成就,激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感,完成本節(jié)課情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)。
課后記
本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā),創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)列極限的興趣;在講授新課部分,通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng),加深學(xué)生對(duì)極限及其蘊(yùn)含思想的認(rèn)識(shí);最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對(duì)極限的掌握。
在課堂教學(xué)中,要合理的使用現(xiàn)代技術(shù),如在擺動(dòng)數(shù)列的極限的研究中,要充分發(fā)揮多媒體的動(dòng)畫效果,在例3的講解上,不需要計(jì)算器等設(shè)備,只需明白數(shù)列趨近的方向即可。
教學(xué)評(píng)價(jià)及設(shè)計(jì)理念
1、學(xué)生的思維得到了有效的訓(xùn)練和提高
在教學(xué)過程中始終圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià),師生互動(dòng),在教學(xué)過程的不同環(huán)節(jié)中及時(shí)獲得教學(xué)反饋信息,以學(xué)生為主體,及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)措施,完成教學(xué)目標(biāo)。在分層練習(xí)中,學(xué)生通過積極的思維、練習(xí)后對(duì)學(xué)生的思維又得到了進(jìn)一步的發(fā)展。
2、本節(jié)課貫徹了新課程的理念
以學(xué)生為本,采用啟發(fā)式教學(xué),根據(jù)現(xiàn)代建構(gòu)主義理論,從思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),通過對(duì)學(xué)生的循循善誘,激活了學(xué)生原有的認(rèn)知規(guī)律,并為知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。