《數(shù)學(xué) 理一輪對點(diǎn)訓(xùn)練:82 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 理一輪對點(diǎn)訓(xùn)練:82 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 Word版含解析(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值( )
A.至多等于3 B.至多等于4
C.等于5 D.大于5
答案 B
解析 首先我們知道正三角形的三個頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等,于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相等,于是排除A,故選B.
2.若l,m是兩條不同的直線,m垂直于平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 由“m⊥α且l⊥m”推出“l(fā)?α或l∥α”,但由“m⊥α且l∥α”可推出“l(fā)⊥m”,所以“l(fā)⊥m
2、”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件,故選B.
3.已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是( )
A.若m∥α,n∥α,則m∥n
B.若m⊥α,n?α,則m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α
答案 B
解析 A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面,C選項(xiàng)也可以n?α,D選項(xiàng)也可以n∥α或n與α斜交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 解法一
3、:取BC的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BM∥QN,則∠ANQ即為所求,
設(shè)BC=CA=CC1=2,
則AQ=,AN=,QN=,
∴cos∠ANQ====,故選C.
解法二:如圖,以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1B1,C1A1,C1C所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)BC=CA=CC1=1,
可知點(diǎn)A(0,1,1),
N,B(1,0,1),
M.∴=,
=.
∴cos〈,〉==.
根據(jù)與的夾角及AN與BM所成角的關(guān)系可知,BM與AN所成角的余弦值為.
5.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別為AD,B
4、C的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是________.
答案
解析 如下圖所示,連接ND,取ND的中點(diǎn)E,連接ME,CE,則ME∥AN,
則異面直線AN,CM所成的角即為∠EMC.由題可知CN=1,AN=2,
∴ME=.又CM=2,DN=2,NE=,∴CE=,
則cos∠CME===.
6. 如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點(diǎn)M在線段PQ上,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為________.
答案
解析 取BF的中點(diǎn)N,連接MN,EN,則EN∥AF,所以直線EN
5、與EM所成的角就是異面直線EM與AF所成的角.在△EMN中,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),EM⊥AF,所以當(dāng)點(diǎn)M逐漸趨近于點(diǎn)Q時(shí),直線EN與EM的夾角越來越小,此時(shí)cosθ越來越大.故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí),cosθ取最大值.設(shè)正方形的邊長為4,連接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN===-,所以cosθ的最大值為.
7.如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120,E,F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)證明:平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.
解 (1)證明:連接BD,設(shè)
6、BD∩AC=G,連接EG,F(xiàn)G,EF.
在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.由∠ABC=120,可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.
在Rt△FDG中,可得FG=.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.
從而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.
因?yàn)镋G?平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸正方向,||為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系G-
7、xyz.由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F(xiàn),C(0,,0),所以=(1,,),=.
故cos〈,〉==-.
所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.
8.如下圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.
(1)證明:PE⊥FG;
(2)求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.
解 (1)證明:由PD=PC=4知,△PDC是等腰三角形,
而E是底邊CD的中點(diǎn),故PE⊥CD.
又平面PDC⊥平面
8、ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,故PE⊥平面ABCD,又FG?平面ABCD,故PE⊥FG.
(2)∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,
∴AD⊥平面PDC,而PD?平面PDC,故AD⊥PD,故∠PDC為二面角P-AD-C的平面角.
在Rt△PDE中,PE==,
∴tan∠PDC==,
故二面角P-AD-C的正切值是.
(3)連接AC.由AF=2FB,CG=2GB知,F(xiàn),G分別是AB,BC且靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),從而FG∥AC,∴∠PAC為直線PA與直線FG所成的角.
在Rt△ADP中,AP===5.
在Rt△ADC中,AC===3.
在△PAC中,由余弦定理知,
cos∠PAC===,
故直線PA與直線FG所成角的余弦值是.