4、?UA＝{x|x≤1或x>3}，用區(qū)間可表示為(－∞，1]∪(3，＋∞)．
答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)
題型一 函數(shù)關(guān)系的判定
【例1】 (1)下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是( )
(2)下列各題的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出了實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)？為什么？
①f：把x對(duì)應(yīng)到3x＋1；②g：把x對(duì)應(yīng)到|x|＋1；
③h：把x對(duì)應(yīng)到；④r：把x對(duì)應(yīng)到.
(1)解析 任作一條垂直于x軸的直線x＝a，移動(dòng)直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合選項(xiàng)可知D不滿足要求，因此不表示函數(shù)關(guān)系．
答案 D
(2)解 ①是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)．它的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是：
5、把x乘3再加1，對(duì)于任意x∈R,3x＋1都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，如當(dāng)x＝－1時(shí)，有3x＋1＝－2與之對(duì)應(yīng)．
同理，②也是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)．
③不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，的值不存在．
④不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，的值不存在．
規(guī)律方法 1.根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法
(1)任取一條垂直于x軸的直線l；
(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；
(3)若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)．
2．判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)的方法
【訓(xùn)練1】 設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下
6、列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有( )
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
解析?、馘e(cuò)，x＝2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足任意性．②對(duì)，同時(shí)滿足任意性與唯一性．③錯(cuò)，x＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y＝3?N，不滿足任意性．④錯(cuò)，x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性．
答案 B
題型二 相等函數(shù)
【例2】 (1)下列各組函數(shù)：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)＝80t(0≤t≤5)與
7、一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函數(shù)的是________(填上所有正確的序號(hào))．
(2)試判斷函數(shù)y＝與函數(shù)y＝是否相等，并說明理由．
(1)解析?、賔(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；②f(x)與g(x)的解析式不同，不是同一函數(shù)；③f(x)＝|x＋3|，與g(x)的解析式不同，不是同一函數(shù)；④f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同，故是同一函數(shù)．
答案 ⑤
(2)解 不相等．對(duì)于函數(shù)y＝，由解得x≥1，故定義域?yàn)閧x|x≥1}，對(duì)于函數(shù)y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故
8、定義域?yàn)閧x|x≥1或x≤－1}，顯然兩個(gè)函數(shù)定義域不同，故不是相等函數(shù)．
規(guī)律方法 判斷兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)
(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相等函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相等函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．
(3)在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．
【訓(xùn)練2】 判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：
(1)f(x)＝()2；g(x)＝.
(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.
解 (1)由于函數(shù)f(x)＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g(x)＝的定義域?yàn)閧x
9、|x∈R}，它們的定義域不同，所以它們不表示同一函數(shù)．
(2)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們表示同一函數(shù)．
題型三 求函數(shù)值
【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
規(guī)律方法 求函數(shù)值的方法及關(guān)注點(diǎn)
(1)方法：①已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(
10、a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
(2)關(guān)注點(diǎn)：用來(lái)替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則函數(shù)無(wú)意義．
【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]．
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.
考查方向
題型四 求函數(shù)的定義域
方向1 已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域
【例4－1】 求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝－；(2)y＝.
解 (1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足
解得x≤1，且x≠－1，
即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函數(shù)有意義，自變量x的
11、取值必須滿足
解得x≤5，且x≠3，
即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤5，且x≠3}．
規(guī)律方法 求函數(shù)定義域的實(shí)質(zhì)及結(jié)果要求
(1)求函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)是解不等式(組)，即將滿足的條件轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，要求把滿足條件的不等式列全．
(2)結(jié)果要求：定義域的表達(dá)形式可以是集合形式，也可以是區(qū)間形式．
方向2 求抽象函數(shù)的定義域
【例4－2】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝，則f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定義域是什么？
(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，那么函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是什么？
解 (1)f(x＋1)＝.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)
12、＝的定義域?yàn)閇－1，＋∞)．
(2)函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－1，＋∞)．
【例4－3】 若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，根據(jù)函數(shù)定義域的定義，這里的“[1,2]”是指誰(shuí)的取值范圍？使對(duì)應(yīng)關(guān)系f有意義的自變量t＝x＋1的范圍是什么？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？
解 這里的“[1,2]”是自變量x的取值范圍．因?yàn)閤∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使對(duì)應(yīng)關(guān)系f有意義的自變量t＝x＋1的范圍是[2,3]，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域是[2,3]．
【例4－4】 (1)已知函數(shù)y＝f(
13、x)的定義域?yàn)閇－2,3]，求函數(shù)y＝f(2x－3)的定義域．
(2)已知函數(shù)y＝f(2x－3)的定義域是[－2,3]，求函數(shù)y＝f(x＋2)的定義域．
解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－2,3]，即x∈[－2,3]，函數(shù)y＝f(2x－3)中2x－3的范圍與函數(shù)y＝f(x)中x的范圍相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，
所以函數(shù)y＝f(2x－3)的定義域?yàn)?
(2)因?yàn)閤∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－7,3]，
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函數(shù)y＝f(x＋2)的定義域?yàn)閇－9,1]．
規(guī)律方法 兩類抽象函
14、數(shù)的定義域的求法
(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值集合即為f(g(x))的定義域．
(2)已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域．
課堂達(dá)標(biāo)
1．下列圖象中表示函數(shù)圖象的是( )
解析 根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對(duì)應(yīng)，而A，B，D都是一對(duì)多，只有C是多對(duì)一．故選C．
答案 C
2．下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是( )
A．
15、f(x)＝x與g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|與g(x)＝x(x>0)
C．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x＋1(x∈N*)
D．f(x)＝與g(x)＝x＋1(x≠1)
解析 選項(xiàng)A，B，C中兩個(gè)函數(shù)的定義域均不相同，故選D．
答案 D
3．函數(shù)f(x)＝＋的定義域是________．
解析 ∵函數(shù)f(x)＝＋，∴解得x≥4，且x≠5.∴函數(shù)f(x)的定義域是[4,5)∪(5，＋∞)．
答案 [4,5)∪(5，＋∞)
4．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，則f(x－1)的定義域?yàn)開_______．
解析 由題意知0
16、義域?yàn)?1,3)．
答案 (1,3)
5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f；
(2)若f(x)＝5，求x的值．
解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5，
f＝＋－1＝.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，
∴x＝2或x＝－3.
課堂小結(jié)
1．函數(shù)的本質(zhì)：兩個(gè)非空數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系．由于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一經(jīng)確定，值域隨之確定，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等只須兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則一樣即可．
2．f(x)是函數(shù)符號(hào)，f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，f(x)表示x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，絕對(duì)不能理解為f與x的乘積．在不同的函數(shù)中f的具體含義不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是解析式、圖象、表格等．函數(shù)除了可用符號(hào)f(x)表示外，還可用g(x)，F(xiàn)(x)等表示．
高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第一單元 1.2.1 函數(shù)的概念 Word版含答案
