《精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí)：第1章 1.1、1.2 歸納與類比 活頁(yè)作業(yè)1 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí)：第1章 1.1、1.2 歸納與類比 活頁(yè)作業(yè)1 Word版含解析（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 活頁(yè)作業(yè)(一)　歸納與類比 1．有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有陰影花色的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26　　　　　　　　 B．31 C．32 D．36 解析：設(shè)第n個(gè)圖案有an個(gè)陰影花色的正六邊形，則a1＝61－0，a2＝62－1，a3＝63－2，故猜想a6＝66－5＝31. 答案：B 2．觀察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …… 可以得出的一般結(jié)論是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2

2、 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析：可以發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是2……故第n個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是n；第一個(gè)式子中有1個(gè)數(shù)相加，第二個(gè)式子中有3個(gè)數(shù)相加……故第n個(gè)式子中有2n－1個(gè)數(shù)相加；第一個(gè)式子的結(jié)果是1的平方，第二個(gè)式子的結(jié)果是3的平方……故第n個(gè)式子應(yīng)該是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案：B 3．已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2

3、，x＋＝＋＋≥3＝3，…， 我們可以得出推廣結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N＋)，則a等于(　　) A．2n B．n2 C．3n D．nn 解析：再續(xù)寫一個(gè)不等式： x＋＝＋＋＋≥4＝4， 由此可得a＝nn. 答案：D 4．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可推知扇形面積公式S扇等于(　　) A． B． C． D．不可類比 解析：由扇形的弧長(zhǎng)與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式． 答案：C 5．平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到(　　) A．空間中平行于同一直線的兩直線平行 B．空間中平行于同一平面的兩直線平行

4、C．空間中平行于同一直線的兩平面平行 D．空間中平行于同一平面的兩平面平行 解析：利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比． 答案：D 6．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為________． 解析：＝＝＝＝. 答案：1∶8 7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn＝，由此可類比得到各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn＝________(用n，b1，bn表示)． 解析：由等差數(shù)列中的“求和”類比等比數(shù)列中的“求積”，可知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn＝

5、(b1bn). 答案：(b1bn) 8.上圖中，上起第n行，左起第n＋1列的數(shù)是________． 解析：第1行第2個(gè)數(shù)為2＝12， 第2行第3個(gè)數(shù)為6＝23， 第3行第4個(gè)數(shù)為12＝34， 第4行第5個(gè)數(shù)為20＝45. 故歸納出第n行第n＋1個(gè)數(shù)為n(n＋1)＝n2＋n. 答案：n2＋n 9．在橢圓中，有一結(jié)論：過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為－，類比該結(jié)論推理出雙曲線的類似性質(zhì)，并加以證明． 解：過(guò)雙曲線－＝1上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與實(shí)軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為.證

6、明如下： 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)A1(a,0)，A2(－a,0)． 橢圓中：kPA1kPA2＝＝ ＝＝－； 雙曲線中：kPA1kPA2＝＝＝. 10．已知sin230＋sin290＋sin2150＝，sin25＋sin265＋sin2125＝.觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一個(gè)一般性的命題，并證明． 解：一般性的命題為 sin2θ＋sin2(60＋θ)＋sin2(120＋θ)＝. 證明如下： sin2θ＋sin2(60＋θ)＋sin2(120＋θ) ＝＋＋ ＝－[cos 2θ＋cos(120＋2θ)＋cos(240＋2θ)] ＝－[cos 2θ＋cos 120cos

7、2θ－sin 120sin 2θ＋cos(180＋60＋2θ)] ＝－[cos(60＋2θ)－cos(60＋2θ)]＝. 11．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體ABCD的體積為V，則R等于(　　) A． B． C． D． 解析：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和． 則四面體的體積為 V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， ∴R＝

8、. 答案：C 12．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計(jì)算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的結(jié)論為______________． 解析：由題意f(21)＝，f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，故一般的結(jié)論為f(2n)≥. 答案：f(2n)≥ 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________

9、____. 解析：依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，…，故其通項(xiàng)公式為bn＝2n.所以當(dāng)n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 答案： 14．(2015鄭州模擬卷)平面幾何里有“設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊上的高為h，則＋＝”，拓展到空間，研究三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面上的高之間的關(guān)系可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，其長(zhǎng)分別為a，b，c，面BCD上的高為h，則________”． 解析：如右圖所示，設(shè)A在

10、底面的射影為O，連接BO并延長(zhǎng)交CD于E.連接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥面ACD． ∴AB⊥AE.設(shè)AE＝h1，在△ABE中，由已知可得＋＝. 又易證CD⊥面ABE， ∴CD⊥AE. 在△ACD中有＝＋， ∴＋＋＝. 答案：＋＋＝ 15．(2015江西模擬卷)設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，計(jì)算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n＝40驗(yàn)證猜想是否正確． 解：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5

11、＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù)， ∴歸納猜想：當(dāng)n∈N＋時(shí)，f(n)＝n2＋n＋41的值都為質(zhì)數(shù)． 當(dāng)n＝40時(shí)，f(40)＝402＋40＋41＝40(40＋1)＋41＝4141， ∴f(40)是合數(shù)． ∴由上面歸納推理得到的猜想不正確． 16.如右圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交

12、CC1于點(diǎn)N. (1)求證：CC1⊥MN； (2)在任意△DEF中有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DFEFcos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明． (1)證明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN. ∴BB1⊥MN. 又∵CC1∥BB1，∴CC1⊥MN. (2)解：在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1＝ S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α. 其中α為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角．證明如下： ∵CC1⊥平面PMN. ∴上述二面角的平面角為∠MNP. 在△PMN中， PM2＝PN2＋MN2－2PNMNcos∠MNP? PM2CC＝PN2CC＋MN2CC－2(PNCC1)(MNCC1)cos∠MNP， ∴SBCC1B1＝PNCC1，SACC1A1＝MNCC1， SABB1A1＝PMBB1＝PMCC1， ∴有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.