《高考數學 三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 Word版含解析（40頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 【名師精講指南篇】 【高考真題再現】 1.【20xx新課標全國】已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線 C （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 若直線l不垂直于x軸，設l與x軸的交點為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當時，直線，聯立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，. 2. 【20xx高考全國1理】已知點A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點 （I）求

2、E的方程； （II）設過點A的動直線與E 相交于P,Q兩點.當的面積最大時，求的直線方程. 【解析】（I）設右焦點，由條件知，，得． 又，所以，．故橢圓的方程為． 3.【20xx全國I理20】在直角坐標系中，曲線與直線 交于，兩點. （1）當時，分別求在點和處的切線方程； （2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由. 解析 （1）由題意知，時，聯立，解得，． 又，在點處，切線方程為，即， 在點處，，切線方程為，即． 故所求切線方程為和． （2）存在符合題意的點，證明如下： 設點為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為，．聯立方程，得，故，， 從而． 當

3、時，有，則直線與直線的傾斜角互補， 故，所以點符合題意． 4.【20xx全國II理20】已知橢圓，直線不過原點且不平行 于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為. （1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （2） 若過點,延長線段與交于點，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由. （2）不妨設四邊形能為平行四邊形． 因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，且． 由(1)得的方程為．設點的橫坐標為．由 【熱點深度剖析】 1.圓錐曲線的解答題新課標的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景，而文科一般以橢圓為背景進行綜合考查，由于雙曲線的弱化，故以

4、雙曲線為背景的解析幾何解答題不在考慮.在20xx年高考文理同一道題，以拋物線與圓結合進行考查，主要考查拋物線、圓的標準方程的求法以及直線與拋物線、圓的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、坐標化方法等. 20xx年高考文理同一道題，以橢圓與圓結合進行考查，主要考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查學生的運算能力、化簡能力以及數形結合的能力. 在20xx年文科考查了圓的方程，理科高考試題考查了橢圓的標準方程及簡單幾何性質，弦長公式，函數的最值，直線的方程，基本不等式等，考查學生的運算能力、化簡能力以及數形結合的能力.20xx年考查了定點定植問題。從近幾年高考來看，圓錐

5、曲線的解答題中主要是以橢圓，拋物線為基本依托，考查橢圓，拋物線方程的求解、考查直線與曲線的位置關系，考查數形結合思想、函數與方程思想、等價轉化思想、分類與整合思想等數學思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一．從近幾年高考來看，計算量都不是太大，說明文理難度都在降低，特別是計算量不大，但要求的邏輯思維能力，數形結合的能力與往年差不多，體現高考重能力，輕運算．由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數學主干知識，在高考命題上已經比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經較為穩(wěn)定，預測20xx年高考很有可能以橢圓，拋物線為背景，考查探索性命題及最值問題，文科也有可能以圓為背景命題，也有可能繼續(xù)保持題型不變

6、，考查細節(jié)上有所變化. 2.從近幾年高考來看，求曲線的軌跡方程是高考的常考題型，主要以解答題的形式出現，考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質，一般用直接法、待定系數法、相關點代入法等求曲線的軌跡方程，其關鍵是找到與任意點有關的等量關系．軌跡問題的考查往往與函數、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求．預測20xx年高考仍將以求曲線的方程為主要考點，考查學生的運算能力與邏輯推理能力． 【重點知識整合】 1.橢圓的第一定義：平面內到兩個定點的距離之和等于定長（）的點的軌跡. 注意：橢圓中，與兩個定點F

7、，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡. 2．直線和橢圓的位置關系 （1）位置關系判斷： 直線與橢圓方程聯立方程組，消掉y，得到的形式（這里的系數A一定不為0），設其判別式為， （1）相交：直線與橢圓相交； （2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； (2弦長公式： （1）若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝. （2）焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之

8、和后，利用第二定義求解.橢圓左焦點弦,右焦點弦.其中最短的為通徑：,最長為； （3）橢圓的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率. 3.與焦點三角形相關的結論 橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角，通常叫做焦點三角形.一般與焦點三角形的相關問題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設橢圓上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，設,則在橢圓中，有以下結論： (1)＝，且當即為短軸端點時，最大為＝； （2）；焦點三角形的周長為； (3)，當即為短軸端點時，的最大值為； 4.直線和拋物線的位置關系 （1）位置關系判斷：直

9、線與雙曲線方程聯立方程組，消掉y，得到 的形式，當，直線和拋物線相交，且與拋物線的對稱軸并行，此時與拋物線只有一個交點，當設其判別式為， ①相交：直線與拋物線有兩個交點；②相切：直線與拋物線有一個交點； ③相離：直線與拋物線沒有交點. 注意：過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線. （2）焦點弦：若拋物線的焦點弦為AB,，則有,. （3） 在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率. （4）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點,反之亦成立. 5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟

10、 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標. 建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標. (1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點. (2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當的坐標系. 2、現(限)：由限制條件，列出幾何等式. 寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確. 3、“代”：代換 用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式. 要注意同解變形. 5

11、、證明 證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點. 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍). 注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(限)代化. 【應試技巧點撥】 1.直線與橢圓的位置關系 在直線與橢圓的位置關系問題中，一類是直線和橢圓關系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關：“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦

12、點，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件. 2.如何利用拋物線的定義解題 （1）求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程； （2）求最值問題：主要把握兩個轉化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設的條件，進行有效的轉化，探求最值問題. 3.求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐

13、標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程 (4)參數法：若動點的坐標()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程.根據題中給定的軌跡條件，用一個參數來分別動點的坐標，間接地把坐標聯系起來，得到用參數表示的方程.如果消去參數，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌

14、跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. 4.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當的坐標系，合理建立曲線模型，然后轉化為相應的代數問題作出定量

15、或定性的分析與判斷.常用的方法：數形結合法，以形助數，用數定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等. 5.避免繁復運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據題設的幾何特征，靈活運用曲線的有關定義、性質等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用

16、參數方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”. 6. 解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點; （3）給出,等于已知是的中點; （4）給出,等于已知與的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在

17、平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）； （14）在中，給出等于已知通過的內心； （15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 7.定點、定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那

18、么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量． 8．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數和建立不等關系，根據目標函數和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數和不等關系．建立目標函數或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據問題的實際情況靈活處理.

19、【考場經驗分享】 １．判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中與的分母大小，若的分母比的分母大，則焦點在x軸上，若的分母比的分母小，則焦點在y軸上． ２．注意橢圓的范圍，在設橢圓上點的坐標時，則，這往往在求與點有關的最值問題中特別有用，也是容易忽略導致求最值錯誤的原因． ３．注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數問題求解，求函數的單調區(qū)間，最值有重要意義． 4．直線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行． 5．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)

20、在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”． 6.作為解答題的倒數第二個，試題的難度較大，也體現在計算量上尤為明顯，學生在解題時往往會思路，但計算往往不對，對此，建議如下：第一問保證準確，如軌跡方程，曲線方程，或者幾何性質等，因為第二問往往以第一問為基礎，故第一問要舍得花時間去驗證一下；對于第二問，往往就是曲線與直線聯立，建立方程組，利用判別式，韋達定理等這些都已經成立的模式，建立關系式，即使思路無法進行，也要準確的放在卷面上，一般它們都要占到部分分數；如果涉及到直線方程的探索，特別注意斜率不存在的情況，有時一些定值定點問題，可以通過這種特殊情況直接得到

21、. 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆陜西省西北工大附中高三第四次適應性考試】已知、分別是橢圓的左、右焦點． （1）若是第一象限內該橢圓上的一點，，求點的坐標； （2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍． 2．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點滿足：． （1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經過一定點，并求此定點的坐標； （3）求面積的最大值． 【解析】（1）設兩動圓的公共點為Q，則有．由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓

22、，．所以曲線的方程是：． （2）證法一：由題意可知：，設，， 當的斜率不存在時，易知滿足條件的直線為：過定點 當的斜率存在時，設直線：，聯立方程組： ，把②代入①有： ③，④， 證法二：（先猜后證）由題意可知：，設，， 如果直線恒經過一定點，由橢圓的對稱性可猜測此定點在軸上，設為； 取特殊直線，則直線的方程為， 解方程組得點，同理得點， 此時直線恒經過軸上的點 下邊證明點滿足條件 當的斜率不存在時，直線方程為：， 點的坐標為，滿足條件； 當的斜率存在時，設直線：，聯立方程組： ，把②代入①得： ③，④， 所以 （3）面積＝＝ 由第（2）小題的③④代

23、入，整理得： 因在橢圓內部，所以，可設， ，（時取到最大值）．所以面積的最大值為． 3．【20xx屆湖北省沙市中學高三下第三次半月考】已知拋物線上點處的切線方程為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）設和為拋物線上的兩個動點，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值． 得， ， 設到的距離， ， 當且僅當，即時取等號，的最大值為8. 4．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知兩點，直線、相交于點，且這兩條直線的斜率之積為． （1）求點的軌跡方程； （2）記點的軌跡為曲線，曲線上在第一象限的點的橫坐標為1，直線、與圓相切于點、，又、與曲線的另一

24、交點分別為，，求的面積的最大值（其中點為坐標原點）． 故直線的斜率為 把直線的方程代入橢圓方程，消去整理得，所以 原點到直線的距離為 5．【20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研】在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別是，，右頂點、上頂點分別為，，原點到直線的距離等于﹒ （1）若橢圓的離心率等于，求橢圓的方程； （2）若過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，且在第二象限，直線交軸于點﹒試判斷以為直徑的圓與點的位置關系，并說明理由﹒ （2）點在以為直徑的圓上﹒ 由題設，直線與橢圓相切且的斜率存在，設直線的方程為：， 由，得，（*） 則， 化簡

25、，得，所以， ， ∵點在第二象限，∴﹒ 把代入方程（*） ，得， 解得，從而，所以 6．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯考】已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于、兩點，若的周長為8. （1）求橢圓方程； （2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于，求的縱坐標的范圍； （3）是否在軸上存在點，使得軸平分?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）依題意得，解得，所以方程為. （3）存在. 假設存在，由軸平分可得， 即， 有 將式代入有，解得. 7．【20xx屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二模】已知A為橢圓上的

26、一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2，當AC垂直于x軸時，恰好有. （Ⅰ）求橢圓離心率； （Ⅱ）設,試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值并證明；若不是定值，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）當AC垂直于x軸時，，，∴ ∴，∴，∴，故. 8．【20xx屆四川省成都市七中高三考試】已知橢圓的兩個焦點分別為，，以橢圓短軸為直徑的圓經過點. （1）求橢圓的方程； （2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？并證明你的結論. ②當直線的斜率存在時，設直線的方程為. 將代入整理化簡，得. 依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設， 則，，又， 所以

27、 綜上得為定值2. 9. 【江西省九江市20xx年第一次高考模擬】已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點為，、是橢圓的左、右頂點，是橢圓上異于、的動點，且面積的最大值為． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在一定點（），使得當過點的直線與曲線相交于，兩點時，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）設橢圓的方程為()，由已知可得①，∵為橢圓右焦點，∴②，……2分 由①②可得，， 橢圓的方程為； 10. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市20xx屆高三教學情況調研（一）】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點，過橢圓的左頂點A作直線軸，點M為直線

28、上的動點，點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于P． （1）求橢圓C的方程； （2）求證：； （3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由． 11. 【湖北省黃岡市20xx屆高三上學期元月調考】已知拋物線的焦點為，點關于坐標原點對稱，以為焦點的橢圓，過點 （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）設，過點作直線與橢圓交于兩點，且，若，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）易知，橢圓方程為； （Ⅱ）由題意可設，由，設，將得，由得，，，，，，令，的最小值是. 12．【廣東省廣州市20xx屆高三1月模擬】已知橢圓的離心率為，且經過點．圓. （1）求橢圓的方程； （2）

29、若直線與橢圓C有且只有一個公共點，且與圓相交于兩點， 問是否成立？請說明理由． 而,化簡得．① ，.∴ 點的坐標為. 由于，結合①式知，∴. ∴ 與不垂直. ∴ 點不是線段的中點. ∴不成立. 13 ．【廣東省潮州市20xx-20xx學年第一學期高三期末】已知橢圓（）經過點，離心率為，動點（）． 求橢圓的標準方程； 求以（為坐標原點）為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程； 設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，證明線段的長為定值，并求出這個定值． 【解析】（1）由題意得 ①， 因為橢圓經過點，所以 ②，

30、 又 ③， 由①②③解得，．所以橢圓的方程為． （3）方法一：過點作的垂線，垂足設為．直線的方程為，直線的方程為．由，解得，故．；．又.．所以線段的長為定值． 方法二：設，則，，，． ，． ．又，． ．為定值． 14．【珠海市20xx-20xx學年度第一學期期末】已知拋物線，圓． (1)在拋物線上取點，的圓周上取一點，求的最小值； (2)設為拋物線上的動點，過作圓的兩條切線，交拋物線于、點，求中點的橫坐標的取值范圍． (2)． 由題設知，切線與軸不垂直， ，設切線，設，中點，則，將與的方程聯立消得，即得（舍）或，設二切線的斜率為，則，，，又到的距離為1，有，兩邊平方得

31、 ，則是的二根，則，則，，在上為增函數， ，的范圍是. 15. 【20xx年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）】已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，，且，，三點不共線. （1）求橢圓的方程； （2）求點的軌跡方程； （3）求面積的最大值及此時點的坐標. （2）解法1：設點，點，由及橢圓關于原點對稱可得，∴，，，.由 , 得，即. ①；同理, 由, 得 . ② ；①②得 . ③； 由于點在橢圓上, 則，得,代入③式得 . 當時，有，當，則點或,此時點對應的坐標分別為或 ，

32、其坐標也滿足方程. 當點與點重合時，即點，由②得 ，解方程組 得點的坐標為或.同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或.∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. (3) 解法１：點到直線的距離為.△的面積為， . 而（當且僅當時等號成立），∴.當且僅當時, 等號成立.由解得或 ∴△的面積最大值為, 此時,點的坐標為或. 16. 【山東省青島市20xx屆高三上學期期末】已知拋物線上一點到其焦點F的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點F. （I）求拋物線和橢圓的標準方程； （II）過點F的直線交拋物線于A、B兩不同點，交軸于點N，已知，求證：為定值. （III

33、）直線交橢圓于P，Q兩不同點，P，Q在x軸的射影分別為，， ，若點S滿足：，證明：點S在橢圓上. 【解析】（Ⅰ）拋物線上一點到其焦點的距離為；拋物線的準線為，拋物線上點到其焦點的距離等于到準線的距離，所以,所以，拋物線的方程為，橢圓的離心率,且過拋物線的焦點，所以，,解得，所以橢圓的標準方程為； (Ⅲ)設，所以,則，由得(1) ,(2) (3) (1)+(2)+(3)得: ，即滿足橢圓的方程命題得證 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．已知圓： 及點，為圓上一動點，在同一坐標平面內的動點Ｍ滿足：． （Ⅰ）求動點的軌跡 的方程； （Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交

34、于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍． （Ⅲ）設是它的兩個頂點，直線與相交于點，與橢圓相交于兩點．求四邊形面積的最大值 【解析】（Ⅰ）又已知，圓，則半徑為4，由，則 三點共線，且，則 ，故動點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，且，所以，動點的軌跡方程為. （Ⅲ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，． 又，所以四邊形的面積為=， 當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 解法二：由題設，，．設，，由①得，， 故四邊形的面積為，當時，上式取等號．所以的最大值為． 2. 已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為，直線與拋物線相交于兩點，且線段的中點為

35、． （I）求拋物線的和直線的方程； （II）若過且互相垂直的直線分別與拋物線交于求四邊形面積的最小值． （II）設直線的方程為，與聯立消去，整理得 由弦長公式得，同理可得，，所以四邊形面積 當且僅當，即時，四邊形面積取最小值． 3. 已知橢圓:,經過點且離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)不經過原點的直線與橢圓交于不同的兩點,若直線的斜率依次成等比數列,求直線的斜率. 【解析】(1)因為橢圓的離心率為,所以,又因為橢圓經過點,所以,則,故橢圓的方程為； 4. 橢圓（）過點，且離心率． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）設動直線與橢圓相切于點且交直線于點，求橢圓的

36、兩焦點、到切線的距離之積； （Ⅲ）在（II）的條件下，求證：以為直徑的圓恒過點． 【解析】（I）由題意得，解得：，橢圓的標準方程為； （II）由，消去，得：， 即，動直線與橢圓相切于點，，即，焦點 到直線的距離分別為 ，， (III) 設直線與橢圓E相切于點P，則，∴ =-，∴ ，又聯立與，得到，,，，∴，∴以PN為直徑的圓恒過點. 5. 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，A，B 是圓 O：與 x 軸的兩個交點（點 B 在點 A 右側），點 Q(-2，0)， x 軸上方的動點 P 使直線 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差數列． (I) 求證：動點 P 的橫坐標為定值； （II）設直線 PA，PB 與圓 O 的另一個交點分別為 S，T，求證：點 Q，S，T 三點共線． 因為，所以直線 QS 和直線 QT 的斜率相等，故點 S，T，Q 共線． 6. 已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓的一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓過點，直線與橢圓交于兩個不同點. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若直線的斜率為，且不過點，設直線，的斜率分別為，求證：為定值； （Ⅲ）若直線過點，為橢圓的另一個焦點，求面積的最大值． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，.設，，過點的直線方程為.由