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1、 第2講 整式及因式分解 考綱要求 備考指津 1.能分析簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示，會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問(wèn)題找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值實(shí)行計(jì)算． 2．了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；了解整式的概念和相關(guān)法則，會(huì)實(shí)行簡(jiǎn)單的整式加、減、乘、除運(yùn)算． 3．會(huì)推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，會(huì)實(shí)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法實(shí)行因式分解. 整式及因式分解主要考查用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系，單項(xiàng)式的系數(shù)及次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)，整式的運(yùn)算，多項(xiàng)式的因式分解等內(nèi)容．中考題型以選擇題、填空題為主，同時(shí)也會(huì)設(shè)計(jì)一些新穎的探索型問(wèn)題． 考點(diǎn)一 整式的相關(guān)概念

2、 1．整式 整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱(chēng)． 2．單項(xiàng)式 單項(xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)． 3．多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)． 考點(diǎn)二 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整數(shù))． 考點(diǎn)三 同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng) 1．所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類(lèi)項(xiàng)． 2．把多項(xiàng)式中

3、的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類(lèi)項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變． 考點(diǎn)四 求代數(shù)式的值 1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值． 2．求代數(shù)式的值的基本步驟：(1)代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式實(shí)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；(2)計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果． 考點(diǎn)五 整式的運(yùn)算 1．整式的加減 (1)整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng)； (2)整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類(lèi)項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)． 2．整式的乘除 (1)整式

4、的乘法 ①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式． ②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB． (2)整式的除法 ①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式． ②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：(a＋b)m＝am＋bm. 3．乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)完全平方公式：(ab)2＝a22ab＋b2. 考點(diǎn)六 因式分

5、解 1．因式分解的概念 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式的確定：第一，確定系數(shù)(取各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù))；第二，確定字母或因式底數(shù)(取各項(xiàng)的相同字母)；第三，確定字母或因式的指數(shù)(取各相同字母的最低次冪)． (2)使用公式法 ①使用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ②使用完全平方公式：a22ab＋b2＝(ab)2. 1．單項(xiàng)式－m2n的系數(shù)是__________，次數(shù)是__________． 2．下列運(yùn)算中，結(jié)果準(zhǔn)確的是( )． A．a(chǎn)a＝a2 B．a(chǎn)2＋a2＝a4 C．

6、(a3)2＝a5 D．a(chǎn)3a3＝a 3．下列各式中，與x2y是同類(lèi)項(xiàng)的是( )． A．xy2 B．2xy C．－x2y D．3x2y2 4．如果a－3b＝－3，那么代數(shù)式5－a＋3b的值是( )． A．0 B．2 C．5 D．8 5．把代數(shù)式mx2－6mx＋9m分解因式，下列結(jié)果中準(zhǔn)確的是( )． A．m(x＋3)2 B．m(x＋3)(x－3) C．m(x－4)2 D．m(x－3)2 6．下列運(yùn)算準(zhǔn)確的是( )． A．x3x4＝x12 B．(－6x6)(－2x2)＝3x3 C．2a－3a＝－a D．(x

7、－2)2＝x2－4 7．(1)化簡(jiǎn)：(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)； (2)先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－，b＝－2； (3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2－2x－4. 一、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 【例1】 下列運(yùn)算準(zhǔn)確的是( )． A．3ab－2ab＝1 B．x4x2＝x6 C．(x2)3＝x5 D．3x2x＝2x 解析：A項(xiàng)是整式的加減運(yùn)算，3ab－2ab＝ab，A項(xiàng)錯(cuò)；B項(xiàng)是同底數(shù)冪相乘，x4x2＝x4＋2＝x6，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)是冪的乘方，(x2)3＝x23＝x6，C項(xiàng)錯(cuò)；D項(xiàng)是單項(xiàng)式相除，3x2x＝(31)x2－1

8、＝3x，D項(xiàng)錯(cuò)． 答案：B 冪的運(yùn)算問(wèn)題除了注意底數(shù)不變外，還要弄清冪與冪之間的運(yùn)算是乘、除還是乘方，以便確定結(jié)果的指數(shù)是相加、相減還是相乘． 二、同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng) 【例2】 單項(xiàng)式－xa＋bya－1與3x2y是同類(lèi)項(xiàng)，則a－b的值為(　　)． A．2 B．0 C．－2 D．1 解析：本題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)的概念及方程組的解法，由－xa＋bya－1與3x2y是同類(lèi)項(xiàng)， 得得∴a－b＝2－0＝2. 答案：A 1．同類(lèi)項(xiàng)必須具備以下兩個(gè)條件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指數(shù)分別相同．二者必須同時(shí)具備，缺一不可； 2．同類(lèi)項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)無(wú)關(guān)，與項(xiàng)中字母的排列順

9、序無(wú)關(guān)，如xy2與－y2x也是同類(lèi)項(xiàng)； 3．幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)，如－1,5，等都是同類(lèi)項(xiàng)． 三、整式的運(yùn)算 【例3】 先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－. 解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，當(dāng)a＝3，b＝－時(shí)，2ab＝23＝－2. 整式的乘法法則和除法法則是整式運(yùn)算的依據(jù)，必須在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，并在運(yùn)算時(shí)靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算．使用乘法公式時(shí)，要認(rèn)清公式中a，b所表示的兩個(gè)數(shù)及公式的結(jié)構(gòu)特征，不要犯類(lèi)似下面的錯(cuò)誤：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.

10、四、因式分解 【例4】 分解因式：－x3－2x2－x＝__________. 解析：由于多項(xiàng)式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2. 答案：－x(x＋1)2 因式分解的一般步驟： (1)“一提”：先考慮是否有公因式，如果有公因式，應(yīng)先提公因式； (2)“二套”：再考慮能否運(yùn)用公式法分解因式．一般根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)選擇公式，二項(xiàng)式考慮用平方差公式，三項(xiàng)式考慮用完全平方公式； (3)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止． 分解因式：4－a2＋2ab－b2＝__________. 1．(2012

11、江蘇南京)計(jì)算(a2)3(a2)2的結(jié)果是(　　)． A．a(chǎn) B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4 2．(2012福建福州)下列計(jì)算正確的是(　　)． A．a(chǎn)＋a＝2a B．b3b3＝2b3 C．a(chǎn)3a＝a3 D．(a5)2＝a7 3．(2011山東棗莊)如圖，邊長(zhǎng)為(m＋3)的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形(不重疊，無(wú)縫隙)，若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為3，則另一邊長(zhǎng)是(　　)． A．m＋3 B．m＋6 C．2m＋3 D．2m＋6 4．(2012四川宜賓)分解因式：3m2－6mn＋3n2＝________. 1．下列運(yùn)算中，正確的是

12、(　　)． A．4m＋n＝5mn B．－(m－n)＝m＋n C．(m2)3＝m6 D．m2m2＝m 2．把代數(shù)式mx2－my2分解因式，下列結(jié)果正確的是(　　)． A．m(x＋y)2 B．m(x－y)2 C．m(x＋2y)2 D．m(x＋y)(x－y) 3．已知代數(shù)式3x2－4x＋6的值為9，則x2－x＋6的值為(　　)． A．7 B．18 C．12 D．9 4．如圖所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式(　　)． A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(

13、a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(ab)2＝a22ab＋b2 5．若3xm＋5y2與x3yn的和是單項(xiàng)式，則nm＝__________. 6．若m2－n2＝6，且m－n＝3，則m＋n＝__________. 7．若2x＝3,4y＝5，則2x－2y的值為_(kāi)_________． 8．給出3個(gè)整式：x2,2x＋1，x2－2x. (1)從上面3個(gè)整式中，選擇你喜歡的兩個(gè)整式進(jìn)行加法運(yùn)算，若結(jié)果能因式分解，請(qǐng)將其因式分解； (2)從上面3個(gè)整式中，任意選擇兩個(gè)整式進(jìn)行加法運(yùn)算，其結(jié)果能因式分解的概率是多少？ 9．觀(guān)察下列各式 (x－1)(x＋

14、1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1； (x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1； …… (1)試求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值； (2)判斷22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1的值的末位數(shù)． 參考答案 基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué) 自主測(cè)試 1．－　3　2.A　3.C　4.D　5.D　6．C 7．解：(1)原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab. (2)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab. 當(dāng)a＝－2－，b＝－2時(shí)， 原式＝(－2－)(－

15、2)＝(－2)2－()2＝1. (3)x2－2x－4＝x2－2x＋1－5＝(x－1)2－5＝(x－1＋)(x－1－)． 規(guī)律方法探究 變式訓(xùn)練　(2＋a－b)(2－a＋b) 知能優(yōu)化訓(xùn)練 中考回顧 1．B　2.A　3.C　4.3(m－n)2 模擬預(yù)測(cè) 1．C　2.D　3.A　4.C 5.　6.2　7. 8．解：(1)x2＋(2x＋1)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2或x2＋(x2－2x)＝2x2－2x＝2x(x－1)或(2x＋1)＋(x2－2x)＝2x＋1＋x2－2x＝x2＋1. (2)由(1)可知，概率為. 9．解：由給出的式子不難看出： (x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)＝xn＋1－1. (1)26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝27－1＝127. (2)22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1 ＝(2－1)(22 009＋22 008＋22 007＋…＋2＋1)＝22 010－1， ∵21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，∴2n的個(gè)位數(shù)字按2,4,8,6循環(huán)出現(xiàn)， 2 010＝4502＋2. ∴22 010的末位數(shù)是4.∴22 010－1的末位數(shù)是3.