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1、離散型隨機變量的均值教學設計
設計人:孫國林
一、教學預設
1.教學標準
(1)通過實例幫助學生體會取有限值的離散型隨機變量的均值含義;
(2)通過比較使學生認識隨機變量的均值與樣本的平均值的區(qū)別與了解,并明確隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近隨機變量的均值;
(3)在對具體實例的分析中,體會離散型隨機變量分布列是全面的刻畫了它的取值規(guī)律,而隨機變量的均值則是從一個側面刻畫隨機變量取值的特點;
2.標準解析
(1)內容解析:本課是一節(jié)概念新授課,數(shù)學期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一,是反映隨機變量取值分布的特征數(shù).學習數(shù)學期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊.同時,
2、它在市場預測、經濟風險與決策等領域有著廣泛的應用,對今后學習及相關學科產生深遠的影響.
根據(jù)以上分析,本節(jié)課的教學重點確定為:離散型隨機變量的均值或期望的概念.
(2)學情診斷:本節(jié)是在《必修》中學習了樣本的平均數(shù)和方差的基礎上,學習離散型隨機變量的均值.離散型隨機變量可以看成是刻畫某一總體的量,它的均值也就是總體的均值,一般它們是未知的,但都是確定的的常數(shù);樣本的平均值是隨機變量.對于簡單隨機抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均數(shù)越來越接近于總體的平均值.本節(jié)重點是用均值解決實際問題,在解決實際問題的過程中使學生理解均值的含義.問題1從平均的角度引入隨機變量均值的概念,直觀上通過分析1kg
3、混合糖果的組成,學生容易得到合理的價格,即價格是三種糖果價格的加權平均,至此問題已解決.問題2考慮1kg的糖果如何從混合糖果中取出,通過對問題的探討,就把混合糖的合理價格理解為隨機變量的值的加權平均,這個權就是相應的概率,把這個想法抽象出來,就可以得到隨機變量均值的概念.問題3有助于理解隨機變量均值的含義,它可以看成是這個隨機變量的均值,即隨著觀察這個隨機變量次數(shù)的增加,所得觀測數(shù)據(jù)的平均值越來越接近于這個隨機變量的均值.
根據(jù)以上分析,本節(jié)課的教學難點確定為:根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望.
(3)教學對策:利用思考欄目中的問題直接提出問題,引導學生理解混合糖果合理價格表達式中
4、權的含義,由此引入取有限的離散型隨機變量的均值的定義.這里的平均水平的含義是:反復對這個隨機變量進行獨立觀測,隨著觀測次數(shù)的增加,得到的各個觀測值的平均值越來越接近于這個隨機變量的均值.
(4)教學流程:
創(chuàng)設情境
分析探究
形成概念
簡單應用
歸納小結
二、教學實錄
1.問題情境,引入新課
某商場為滿足市場需求要將單價分別為18,24,36 的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,其中混合糖果中每一顆糖果的質量都相等,如何對混合糖果定價才合理?
【問題探究】
設問1:所定價格為元嗎?
【評析】理解權重
設問2:假如我從這種混合糖果中隨機選取一顆,記為這顆糖果的
5、單價()你能寫出的分布列嗎?
【評析】啟發(fā)學生思考加權平均和權數(shù)的含義.
設問3:如果你買了1kg這種混合糖果,你要付多少錢?而你買的糖果的實際價值剛好是23元嗎?
【評析】理解樣本平均值與隨機變量均值的差異.
【概念建構】
(1)均值或數(shù)學期望: 一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為
…
…
…
…
則稱…… 為ξ的均值或數(shù)學期望,簡稱期望.
(2)均值或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
(3)平均數(shù)、均值:一般地,在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中,令,則有,,所以ξ的數(shù)學期望又稱
6、為平均數(shù)、均值.
【學以致用】
例1:隨機拋擲一個骰子,求所得骰子的點數(shù)的期望。
師:隨機變量ξ 的期望與 ξ 可能取值的算術平均數(shù)何時相等?
生:ξ 取不同數(shù)值時的概率都相等時,隨機變量的期望與相應數(shù)值的算術平均數(shù)相等。
變式:將所得點數(shù)的2倍加1作為得分分數(shù),即,求的數(shù)學期望.
師:的期望與ξ 的期望有什么樣的關系?
生:有一定的線性關系,的期望等于ξ 的期望的2倍加1.
師:你們能推導出一般形式嗎?
【問題拓展】
均值或期望的一個性質:若(a、b是常數(shù)),ξ是隨機變量,則η也是隨機變量,它們的分布列為
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
7、
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
=……)……)
=,
例2:根據(jù)以往的經驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.
求:工期延誤天數(shù) Y 的均值。
解:由已知條件和概率的加法公式有:
所以Y的分布為:
Y
0
2
6
10
p
0.3
0.4
0.2
0.1
故工期延誤天數(shù)Y的值為3
【評析】
生活中蘊涵數(shù)學知識
8、,數(shù)學知識又能解決生活中的問題。例題與生活密切了解,讓學生感受數(shù)學在生活中的廣泛應用。
例3. 某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷,假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙,丙兩公司面試的概率均為p,且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記x為該畢業(yè)生得到的面試公司個數(shù)。若,
求隨機變量x的數(shù)學期望。
師:上例題能否歸納出求解期望或均值的解題步驟?
生:歸納求離散型隨機變量期望的步驟:
①確定離散型隨機變量可能的取值。
②寫出分布列,并檢查分布列的正確與否。
③求出期望。
【評析】
本題除
9、了注重知識,還注重引導學生對解題思路和方法的總結,可切實提高學生分析問題、解決問題的能力,并讓學生養(yǎng)成良好的學習數(shù)學的方法和習慣。
【課堂小結】
師:你有哪些收獲?
生:相互討論,小組總結:“一個概念,兩個注意,三個步驟”。
(1)離散型隨機變量的期望,反映了隨機變量取值的平均水平;
(2)樣本平均值和隨機變量均值的區(qū)別與了解;
(3)求離散型隨機變量的期望的基本步驟:
①理解的意義,寫出可能取的全部值;
②求取各個值的概率,寫出分布列;
③根據(jù)分布列,由期望的定義求出.公式。
三、教學反思
本節(jié)課在情境創(chuàng)設,例題設置中注重與實際生活了解,讓學生體會數(shù)學的應用價
10、值,在教學中注意觀察學生是否置身于數(shù)學學習活動中,是否興趣濃厚、探究積極,并愿意與老師、同伴交流自己的想法.通過學生回答問題,舉例,歸納總結等方面反饋學生對知識的理解和運用.教師根據(jù)反饋信息適時點撥,同時從新課標評價理念出發(fā),鼓勵學生發(fā)表自己的觀點、充分質疑,并抓住學生在語言、思想等方面的亮點給予表揚,樹立自信心,幫助他們積極向上.讓學生學以致用,真正感受到數(shù)學無窮的魅力所在.
成功之處:①學生自己發(fā)現(xiàn)問題,分析問題,解決問題,這一過程遵循由特殊到一般,從感性到理性的認知規(guī)律,培養(yǎng)學生歸納,抽象的能力. ②通過實際應用,培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學問題的能力,讓學生體驗數(shù)學知識在解決實際問題中的作用,同時加深對所學知識的理解.
改進之處:本節(jié)課理解應用的內容有點偏多,可根據(jù)不同班級的學生情況適當進行刪減.
四、教學點評
通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,引導學生分析問題、解決問題.通過概念的構建,培養(yǎng)學生歸納、概括等合情推理能力.再通過實際應用,培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學問題的能力和學以致用的數(shù)學應用意識.“授之以魚,不如授之以漁”,注重發(fā)揮學生的主體性,讓學生在學習中學會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題.
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