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1、8.3平面向量的分解定理
翁旭宇
一、教學(xué)目標(biāo)
1.理解和掌握平面向量的分解定理;
2.掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不平行向量來表示;掌握基的概念,并能夠用基表示平面內(nèi)的向量;
3.根據(jù)學(xué)生已有的物理知識經(jīng)驗,在熟悉的問題情景中,體會研究向量分解的必要性。
4.經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程,培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會化歸思想。
二、教學(xué)重點及難點 :平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程;分解唯一性的說明。
三、教學(xué)過程設(shè)計
(一)、 設(shè)置情景,引入課題
(1)觀察
前面我們學(xué)過向量的加法,知道兩個向量可以合成一個向量,反過來,一個向量是否可以分解成兩個向量呢?
2、
下面讓我們來看一個實例:
實例:一盞電燈,可以由電線CO吊在天花板上,也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡,拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和 F2 .
思考:從這個實例我們看到了什么?
答:一個向量可以分成兩個不同方向的向量.
(2)復(fù)習(xí)正交分解,并抽象為數(shù)學(xué)模型
(二)、探索探究,主動建構(gòu)
概括討論,提出新問題:
如果向量是同一平面內(nèi)的兩個不平行的向量,是該平面內(nèi)的一個非零向量,是否能用向量表示向量?
數(shù)學(xué)實驗1
實驗設(shè)計:
(1)實驗?zāi)康模和ㄟ^實驗讓學(xué)生探究:給定平面內(nèi)的兩個不平行向量,對于給定的非零向量
3、是否能分解成方向上的兩個向量,且分解是否是唯一的?
(2)實驗步驟:
a.以四位同學(xué)為一組,給每一位同學(xué)一個圖,上面有兩個不平行向量和;
b.每個同學(xué)先獨立作圖;
c.小組對照,比較所分解的兩向量的長度和方向是否相同.并得出結(jié)論.
(3)實驗報告:(由學(xué)生發(fā)言)可以分解,且分解的長度和方向唯一的.
師:既然可以分解并且是唯一的,能不能用數(shù)學(xué)式子把和的關(guān)系表示出來?
生:是不平行向量,是平面內(nèi)給定的向量,在平面內(nèi)任取一點O
(1)作;
(2)過C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點M;
(3)過C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點N;
(4)四邊形為平行四
4、邊形,由向量平行的充要條件可知存在實數(shù),使得,,則.
對于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個不平行向量,那么對于任意的向量是否也可以得到同樣的結(jié)論呢?下面讓我們來做一個實驗.
數(shù)學(xué)實驗2
實驗設(shè)計:
(1)實驗?zāi)康模和ㄟ^幾何畫板向量分解動畫,讓學(xué)生體會對于任意向量都可以分解成給定的兩個不平行向量,且分解是唯一的.
(2)實驗步驟:
a.利用幾何畫板畫出兩個不平行向量,畫出一個任意向量(該向量可以任意拖動終點來改變);
b.學(xué)生從拖動中體會其向量的任意性. (一些特殊位置,,)
(3)實驗報告:
5、0;
3.探究結(jié)果
幾何角度:平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個不平行向量的線性組合,即,且分解是唯一的.
代數(shù)角度:說明唯一性:
說明:(1)當(dāng)時,
(2)當(dāng)時,假設(shè),則有
=
.由于不平行,故,即.
4.概括得出定理:
平面向量分解定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對實數(shù),使.
我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.
注意:
(1)基底不共線;
(2)將任一向量在給出基底、的條件下進行分解;
(3)基底給定時,分解形式唯一,是被,,唯一確定的數(shù)量
(通過實驗的整理,學(xué)生的動手作圖能力
6、得到提高,通過學(xué)生對實驗結(jié)果的討論,學(xué)生的抽象概括能力,語言表達能力得到訓(xùn)練.)
(三).例題分析
例1(教材P66.例2)如圖:平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M,且 ,分別用表示和.
解: 在平行四邊形ABCD中,
,
注:(1)把作為一組基,用向量表示平面內(nèi)的任何一個向量
(2)平行四邊形法則簡化為三角形法則。
練習(xí):學(xué)生完成教材后面練習(xí)P67 (2)
思考:由例1和練習(xí)(2)平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基?哪些線段不可以作為一組基?為什么?
思考題(教材P67.例 3)已知是不平行的兩個向量,是實數(shù),且,用表示.
解:
(四)、課堂小結(jié):(1)平面向量的分解定理. 對分解定理的理解:基底為兩個不平行向量,向量的任意性,實數(shù)對的存在性和唯一性;
(2)從基的角度認(rèn)識幾何圖形。
(五)、作業(yè)布置
《練習(xí)冊》P37 A組3,4 ,5 B組2,3
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