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1、2019-2020年北師大版高中數(shù)學必修一第四章《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》 word教案 一、教學目標： 1 .知識與技能 能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二 次函數(shù)模型解決實際問題. 2 .過程與方法 感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù) 模型在數(shù)學和其他學科中的重要性 . 3 .情感、態(tài)度、價值觀 體會運用函數(shù)思想處理現(xiàn)實生活中和社會中的一些簡單問題 的實用價值. 二、教學重點與難點： 1 .教學重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題 ^ 2 .教學難點：將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學模型 . 三、學法與教學用具 1 .學

2、法：學生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進行探究 ^ 2 .教學用具：多媒體 四、教學設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 弓I例：大約在一千五百年前，大數(shù)學家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今 有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干 只有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什么更好的方 法？老師介紹孫子的大膽解法：他假設(shè)砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了 “獨 腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量 與它們頭的數(shù)量之差，就是 兔子數(shù)，即：47— 35= 12;雞數(shù)就是：35—12=

3、23. 比例激發(fā)學生學習興趣，增強其求知欲望 . 可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題 . （二）結(jié)合實例，探求新知 例1.某列火車眾北京西站開往石家莊，全程 277km,火車出發(fā)10min開出13km后， 以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程 S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系式，并求 火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程. 探索： 1）本例所涉及的變量有哪些？它們的取值范圍怎樣； 2）所涉及的變量的關(guān)系如何？ 3）寫出本例的解答過程. 老師提示：路程 S和自變量t的取值范圍（即函數(shù)的定義域），注意t的實際意義. 學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析 ^

4、 例2.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價 20元，茶杯每只定價 5元，該商店制定 了兩種優(yōu)惠辦法： 1）本例所涉及的變量之間的關(guān)系可用何種函數(shù)模型來描述？ 2）本例涉及到幾個函數(shù)模型？ 3）如何理解“更省錢？” ； 4）寫出具體的解答過程. 在學生自主思考，相互討論完成本例題解答之后，老師小結(jié)：通過以上兩例，數(shù)學模 型是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出 來，并用數(shù)學語言來表達，這一過程稱為建模，是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。數(shù)學模型可采用各種形 式，如方程（組），函數(shù)解析式，圖形與網(wǎng)絡(luò)等 . 課堂練習1某農(nóng)家旅游公司有客房 300間，每間日房租為

5、 20元，每天都客滿.公司 欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加 2元，客房出租數(shù)就會減少 10間.若不考慮 其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？ 引導學生探索過程如下： 1）本例涉及到哪些數(shù)量關(guān)系？ 2）應(yīng)如何選取變量，其取值范圍又如何？ 3）應(yīng)當選取何種函數(shù)模型來描述 變量的關(guān)系？ 4） “總收入最高”的數(shù)學含義如何理解？ 根據(jù)老師的引導啟發(fā)，學生自主，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，進行解答，然后交流、進行 評析. ［略解：］ 設(shè)客房日租金每間提高 2X元，則每天客房出租數(shù)為 300-10X ,由X >0,且300- 10 X >0 得：

6、0V XV 30 設(shè)客房租金總上收入 y元，則有： y = （20+2X ） （300—10X） = - 20（x- 10）2 + 8000 （0< XV 30） 由二次函數(shù)性質(zhì)可知當 X =10時，ymaX =8000. 所以當每間客房日租金提高到 20+ 10X 2=40元時，客戶 租金總收入最高，為每天8000 元. 課堂練習2要建一個容積為 8m3,深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造 價每平方米分別為120元和80元，試求應(yīng)當怎樣設(shè)計，才能使水池總造價最低？并求此最 低造價. （三）歸納整理，發(fā)展思維. 引導學生共同小結(jié)，歸納一般的應(yīng)用題的求解方法步驟

7、： 1）合理迭取變量，建立實際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)模型問題： 2）運用所學知識研究函數(shù)問題得到函數(shù)問題的解答； 3）將函數(shù)問題的解翻譯或解釋成實際問題的解； 4）在將實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，能畫圖的要畫圖，可借助于圖形的直觀 性，研究兩變量間的聯(lián)系.抽象出數(shù)學模型時，注意實際問題對變量范圍的限制 ^ （四）布置作業(yè) 作業(yè)：教材P120習題3.2 （A組）第3、4題： § 2 .2函數(shù)模型的應(yīng)用實例（n） 一、教學目標 1 .知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題 ^ 2 .過程與方法 進一步感受

8、運用函數(shù)概念建立函 數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù) 模型進行簡單的分析評價. 二、教學重點 重點 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實際問題 ^ 難點將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價 ^ 三、.學法與教學用具 1.學法：自主學習和嘗試，互動式討論 . 2.教學用具：多媒體 四、教學設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題. 現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉及的數(shù)學模型是確定的，但需我們利用問題中的數(shù)據(jù)及 其蘊含的關(guān)系來建立.對于已給定數(shù)學模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學模型進行分析評 價，驗證數(shù)學模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度 ^ （二）實例嘗試

9、，探求新知 例1. 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示 ^ 1）寫出速度V關(guān)于時間t的函數(shù)解析式； 2）寫出汽車行駛路程 y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象； 3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義； 4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為 2004km ,試建立汽車行駛這 段路程時汽車里程表讀數(shù) S與時間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象 . 本例所涉及的數(shù)學模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系建立數(shù)學模 型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題 . 教師要引導學生.從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征 ^ 注意培養(yǎng)學

10、生的讀圖能力，讓學生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式 . 例2.人口問題是當今世界各國普遍關(guān)注的問題，認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有 效控制人口增長提供依據(jù).早在1798,英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長 模型： rt y = yoe 其中t表示經(jīng)過的時間， yo表示t =0時的人口數(shù)，r表示人口的年均增長率 卜表是1950~1959年我國-的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人） ^H0^^H5H 人數(shù) H5EHH630H 57482 58796 60266 人數(shù) 1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時

11、期的人口增長率（精確到 0.0001）, 用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型， 并檢驗所得模型與實際 人口數(shù)據(jù)是否相符； 2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到 13億？ 探索以下問題： 1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？ 2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？ 3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？ 4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評 價？ 如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？ 本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型 y = yoe

12、rt解決實際問題的一類問題，引導學生 認識到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個參數(shù) y0與t. 完成數(shù)學模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器 ^ 在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學模型是否吻合時，可引導學生利用計算器或計算 機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù) 的吻合程度，并使學生認識到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式 ^ 引導學生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)測，實質(zhì)上是通過求一個對數(shù)值 來確定t的近似值. 課堂練習：某工廠今年 1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為 1萬件，1.2萬件， 1.3萬件，為了估計以后每個月

13、的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn) 品的月產(chǎn)量t與月份的x關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù) y =abx +c（其中a,b,c為常數(shù)）.已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 1.37萬件，請問用以上哪個函 數(shù)作為模擬函數(shù)較女并說明理由 . 探索以下問題： 1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？ 2）如何對所確定的函數(shù)模型進行評價？ 本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導學生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型 ^ 引導學生認識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標準是 4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是對函數(shù)模.評 價的依據(jù). 本例滲透了數(shù)學思想方法，要培養(yǎng)學生有意識地運用 ^ 三

14、.歸納小結(jié)，發(fā)展思維. 利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題的方法； 1）根據(jù)題意選用恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進行適當?shù)脑u價； 4）根據(jù)實際問題對模型進行適當?shù)男拚?. 從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題 適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能， 利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析 式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程 ^ 圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式 .在實際應(yīng)用時，經(jīng)常需要將函 數(shù)對

15、應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化 . （四）布置作業(yè)：教材 P120習題32 （A組）第6~9題. § 3.2.3函數(shù)模型的應(yīng)用實例（出） 一、教學目標 1、知識與技能 能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實際問題。 2、過程與方法 體驗收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會函數(shù)擬合的思 想方法。 3、情感、態(tài)度、價值觀 深入體會數(shù)學模型在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活及各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng) 用及其重要價值。 二、教學重點、難點： 重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。 難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立起函數(shù)模型，并進行模型修正。 三、 學 學 與 教

16、學 用 具.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000 1、學法：學生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。 2、教學用具：多媒體 四、教學設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 2003年5月8日，西安交通大學醫(yī)學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略 數(shù)學模型”研究項目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專家晝夜攻關(guān)，于 5月19日初步完成了第一批 成果，并制成了要供決策部門參考的應(yīng)用軟件。 這一數(shù)學模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算 仿真，結(jié)果指出，將患者及時隔

17、離對于抗擊非典至關(guān)重要、分析報告說，就全國而論，菲非 典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加 1000人左右，推遲兩天約增加工能力 100人左右； 若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù) 100人左右；若4月 21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達 60萬人。 這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢預(yù)測 動力學模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預(yù)測。 本例建立教學模型的過程，實際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進行擬合，從而找到近似 度比較高的擬合函數(shù)。 （二）嘗試實踐 探求新知 例1.某地區(qū)不同身高的未成

18、年男性的體重平均值發(fā)下表 （身高：cm;體重：kg） 身高1 60 70 80 90 100 110 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高 120 130 140 150 160 170 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未 成年男性體重與身高 ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。 2）若體重超過相同身高男性平均值的 1.2倍為偏胖，低于 0.8倍為偏瘦，那么這個,地 區(qū)一名身高為1

19、75cm ,體重為78kg的在校男生的體重是事正常？ 探索以下問題： 1）借助計算器或計算機，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點圖； ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系比 2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數(shù)的圖象較為接近？ 3）你認為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重 較合適？ 4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進行適當?shù)臋z驗和評價 ^ 5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？ 本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的， 要引導學生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷 ^ 根據(jù)散點圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型

20、，然后進行優(yōu)劣比較，選定擬 合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導學生對模型進行適當修正， 并做出一定的預(yù)測.此外, 注意引導學生體會本例所用的數(shù)學思想方法 . 例2.將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數(shù)據(jù)如下表： 時間（S） 60 120 180 240 300 溫度（C） 86.86 81.37 76.44 66.11 61.32 時間（S） 360 420 480 540 600 溫度（C） 53.03 52.20 49.97 45.96 42.36 1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象； 2）建立一個能基本反映該變化過

21、程的水溫 y （C）關(guān)于時間x（s）的函數(shù)模型，并作出 其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何 ^ 3）水杯所在的室內(nèi)溫度為 18C,根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會降到 室溫？再經(jīng)過幾分鐘會降到 10C?對此結(jié)果，你如何評價？ 本例意圖是引導學生進一步體會，利用擬合函數(shù)解決實際問題的思想方法，可依照例 1 的過程，自主完成或合作交流討論 . 課堂練習：某地新建一個服裝廠，從今年 7月份開始投產(chǎn)，并且前 4個月的產(chǎn)量分別 為1萬件、1 .2萬件、1.3萬件、1.37萬件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個月 的產(chǎn)品銷售情況良好.為了在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于

22、過多或過少，需要估測以后幾個 月的產(chǎn)量，你能解決這一問題嗎？ 探索過程如下： 1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖； 2）根據(jù)散點圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型： 一次函數(shù)模型：f （x） =kx +b（k豐0）; 1 2 一次函數(shù)模型： g(x)=ax +bx+c(a * 0);哥函數(shù)模型：h(x) = ax2+b(a # 0); 指數(shù)函數(shù)模型：l（x）=abx+c（a#0,b>0, b#1） 利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數(shù)模型；由 于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最后再一起討論確定 ^ （三）歸納小結(jié)，鞏固提高. 通過以上三題的練習，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般方法，指 出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型， 是解決實際問題的重要思想方法.利用函 數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下： 用函數(shù)模型解決實際問題 合*際 不符合實際