《【數(shù)學課件】車燈線光源的優(yōu)化設計方案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【數(shù)學課件】車燈線光源的優(yōu)化設計方案（42頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、一、問題重述一、問題重述為保證汽車夜間行駛要求汽車的車燈能照亮汽車行駛正前方一定距離內的一定寬度范圍，但為了節(jié)省能源，這一寬度范圍不必太大（沿寬度方向有一定的衰減率）。各類車燈的工業(yè)設計規(guī)范正是據此而制定的。由于車燈的照明主要靠反射光，又考慮到汽車通常的速度，我們采用的設計規(guī)范為，在水平放置的車燈的反射面焦點F點正前方25米處（A點）放置一個測試屏，與FA垂直，在該測試屏上過A點引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點的同側取B點和C點，使AC=2Ab=2.6米，要求在測試屏上B點與C點的反射光強度分別超過2H和H，其中H表示某一額定的光強度。我們考察的汽車車燈的形狀為一個水平放置的旋轉拋物面

2、，其開口半徑為36毫米，深度為21.6毫米，焦點里開口平面的距離為6.6毫米。該車燈安裝愛汽車的頭部，對稱軸指向水平正前方。經過車燈的焦點F，在于對稱軸相垂直的水平方向對稱地放置長度為毫米且均勻分布的線光源。即線光源的總功率為W，在測試屏上B與C點的反射光強度可分別記為hB（l）與hC（l），設計規(guī)范可表示為現(xiàn)在問題就是求出最優(yōu)的線光源長度，滿足此規(guī)范并使功率W最小。 2,BChl WH hl WH二、基本假設二、基本假設1.不考慮光在空氣中傳播時的損耗。2.點光源發(fā)光時，在各個方向上產生的光強度是一樣的。三、參數(shù)說明三、參數(shù)說明P：旋轉拋物面的焦參數(shù) 2R：線光源長度 W：線光源半軸長發(fā)光的

3、總強度：線光源光能線密度，可以表示單位長度光源產生的光強度量I（B）：B點接收到的光強度（光強度量的面密度）I（C）：C點接收到的光強度（光強度量的面密度）I（h）：光仔空間傳播時在距離光源h除的光強度d：旋轉拋物面的深度 Q：某點光源的發(fā)光強度量 n：每個發(fā)光點向空間發(fā)射的光線數(shù)r：每個離散點光源的長度m：每束光線可以產生的光強度量E（P）：拋物面上可以講光線反射到P點的所有點的集合O：光屏上每個小網格的面積 ：測試屏的單位法向量（沿z軸負方向）v四、問題的分析四、問題的分析1. 本問題是個面鏡反射的幾何光學問題。2. 要求滿足（ ）時對線光源的長度（2R）和單位發(fā)光密度（ ）進行優(yōu)化，使線

4、光源發(fā)光總強度量最小。 3. 對于其中的考察點，根據它們和相應的發(fā)射點之間的位置關系算出從線光源上某點射出的光線在到達考察點時考察點所接收到的光的強度。4. 再對該考察點上所接收到的所有光的強度進行積分，計算出相應的光強度，利用問題給出的約束條件，將問題變成一個帶約束條件的優(yōu)化問題。2,1IBIC五、模型的構建五、模型的構建5.1 反射點和發(fā)光點以及受光點之間的關系考慮線光源上一點H（0，r，p/2）發(fā)射一條光線經過拋物面上一點G（x1，y1，z1）射到光屏上某點 P（x0，y0，z0）的情況。xyOGHzP222xypzxyOGHzP如圖，拋物面的方程為G點的單位內發(fā)向量為1122211,G

5、xyplxypGP GH010101222101010,G Pxxyyzzxxyyzz將向量 和 單位化得111222111,22G Hpxryzpxryz GPGH 令，可以將原方程化簡為10011010101012211101021022xyarx yapxzazppxapyzazppyarzdxypz 這個方程組（*）的前三個方程中只有兩個是獨立的，則在前兩個方程中可以任意去掉一個，方程組就決定了H、P和G三點之間的位置關系。 1sincos,sinsin,cosu5.2 光線經光屏反射過程的數(shù)學描述 在線光源上取一點H（0，r，p/2），過該點沿單位向量做一條直線交拋物面于G（x1，y

6、1，z1），則又G在拋物面上，則推出：11120s inc o ss ins inc o spzxyrt22222cossin sinsin sin 2sincossinprprprt于是得到111sincossinsincos2xtyrtpzt1122211,GxyplxypG點的單位內法向量為211G2Guuull 則經拋物面反射的單位向量5.3 光在傳播過程中的發(fā)散 光在空間傳播時是在整個空間上均勻發(fā)散的。我們用光強度量來表示光源在整個空間發(fā)射出去的光能，用光強度量的面密度來度量光發(fā)散到某個點在該點產生的光強度。 當發(fā)光強度量為Q的點光源發(fā)出的光傳播到空間某點時，可知 24QI hh長度

7、為 d r 的線光源從 H 發(fā)出的光傳播到 G 時，G 點所接受到的光強度為24drdI GGH112211111xydSzzdx dy在 G 周圍去一個小的面積微元從方程組（*）中可以確定11001100,xxxyyyxy11001100 xyxxJxyyy則 x1，y1 對于 x0，y0 的 Jacobi 行列式為則可得到1100dx dyJ dxy00dSdx dy 1122111xydSzzJdS由于dx0dy0 為光屏上的面積微元，不妨記為 dS，即從而可以推出G 點接收到的光強度量為1Gdm Gu ldI G dS 又由于 dS 上的所有光線全反射到 dS ，即它們兩個面積微元上的

8、光強度量相等，于是得到1111122111221112114GGxyGxydmGdmPdIPdSuldSdIPdIGdSulzzJ dIGulzzJdrGH 得到 P 點的光強度 1122111214RGxyRu lzzJdrI PPGH 1122111214RGxyRu lzzJdrI BBGH 于是分別得到 B 點和 C 點的光強度為1122111214RGxyRu lzzJdrI CCGH 21I BI C5.4 非線性規(guī)劃問題根據題意，本問題的約束條件為而我們的目標是使線光源半軸發(fā)光的總強度量最小，即minWR最終，本問題歸結為一個求非線性規(guī)劃最優(yōu)解的問題 11112211122211

9、12min124. .114RGxyRRGxyRWRu lzzJdrI BBGHstu lzzJdrI CCGH rmn六、模型的簡化和求解6.1 光源發(fā)光的離散化 我們將模型中連續(xù)的線光源離散成許多點光源，而且將光的均勻發(fā)散離散化，考慮點光源以 n 條光線的形式對外發(fā)散。 若每個離散點光源的長度為 ，則該離散點發(fā)出的一條光線可以產生的光強度量r122222GS luS u vSu v 2u v6.2 光傳播過程中發(fā)散的一個近似處理 對于光在傳播過程中的散射對射到光屏上后強度的影響模型中是用 Jacobi 行列式體現(xiàn)的。但是這個 Jacobi 行列式的表達式是很復雜的，所以我們用一種近似處理這

10、種散射影響的方法。（取負號是由于 和 夾角超過 ）90又由于 S2 和 S1 上通過的光強度量相等，得到12212GGu lu vI SI Slu GEPmPIPO那么，P點的光強度為1111122GGGGE PGGGuluullvrn luullO minWR11111222GGGGE BGGGu luu llvrn luu llIBO 6.3 問題的求解根據以上對模型的離散簡化得到一個離散優(yōu)化模型 11111221GGGG E CGGGu luu llvrn luu llI CO s.t.minWT R. .st為方便計算機求解，我們對上面的優(yōu)化模型進行轉化，得到2BIBTN1CICT N

11、其中，T為每條光線帶的光強，NB為打到以B為圓心，以2cm為半徑的圓內的光線條數(shù)，NC為打到以C為圓心，以2cm為半徑的圓內的光線條數(shù)。對于這個問題的求解采取分步等長搜索的方法。對于這個問題的求解采取分步等長搜索的方法。 步驟一 將線光源細化成許多個小的光源，每個小光源的長度r=0.01mm。將整個空間的立體角4分成n=40000份。在B和C點的周圍分別做一個半徑2cm的圓。 步驟二 將每個小光源發(fā)射出的光離散為40000條光線，每條可以射到拋物面上的光線經拋物面反射后會在光屏上打下唯一一個點。如果該點在B或C為圓心的圓內，將降大在這個區(qū)域的光線條數(shù)加1。 步驟三 首先在 R （0，30mm）

12、內以0.1mm步長對 R 進行搜索，得到 W-R 的圖像如下圖對上頁圖中劃在圓圈內部的 W-R 曲線進行放大，得到下圖從圖中可以看出，最優(yōu)的 R 出現(xiàn)在1.5mm到3mm區(qū)域內。所以，將進一步搜索的區(qū)域定義為1.5,3Rmmmm 步驟四 在區(qū)間 內以0.005mm為步長進行搜索，得到關于線光源半軸長 R 圖形。1.5,3Rmmmm利用 NB、NC 的值，對優(yōu)化模型進行求解，得到在 區(qū)間內 W-R 圖線1.5,3Rmmmm則圖中最優(yōu)化解附近點 W-R-T 的數(shù)據列表如下作者的數(shù)據：最優(yōu)的線光源長度為最優(yōu)的線光源長度為 2R = 3.39 mm。我們的數(shù)據：我們的結論是，最優(yōu)的線光源長度為我們的結

13、論是，最優(yōu)的線光源長度為 2R = 3.28 mm。八、設計規(guī)范的合理性驗證8.1 合理性分析 本題涉及的燈是車的前照燈。合理的設計規(guī)范應該具有以下照明效果：a) 車燈正前方為了照亮車道，應該亮度很大。b) 前照燈也要照亮鄰道，故車兩側附近也應該有較高的亮度。c) 而更遠一點的距離，亮度則要較低。8.2 設計規(guī)范的隨機模擬驗證 我們用計算機對線光源經過拋物面反射光進行隨機模擬試驗。 具體步驟為： 步驟一 用 Matlab 隨機數(shù)函數(shù) UNIFRND（ ）產生點光源像空間發(fā)射光線的隨機單位方向向量。步驟二 用這些隨機單位方向向量對上文求出的最佳光源發(fā)光進行模擬，作出光強度分布圖它的俯視圖為九、優(yōu)

14、缺點分析 這個模型在前面理論推導過程中完成得十分出色，他們用Jacobi行列式來描述散射結果，成功地推出了B,C兩點光強關于線光源長度的精確積分表達式，從而得到一個非線性規(guī)劃的問題。 但這個模型有個致命的缺點，就是這樣的求解在實際操作中幾乎是不可行的，它的計算要求太高了。所以作者最終沒有很好的應用之前的理論推導，用離散的方法解決這個問題。從理論上講，只要離散的足夠細，結論可以充分接近真實值的，但實現(xiàn)的過程中發(fā)現(xiàn)，如果分的太細，運算量將大得驚人，甚至到了無法實現(xiàn)的地步。事實上，這個模型中要達到一個可信值的計算量是不可承受的。 如果在作者給出的細分的程度上再加倍，就會發(fā)現(xiàn)兩者之間的誤差是很大的。肚

15、松肚松衯衯宸宸&愮鐝愮鐝D)姄姄?Y 煃煃顓宄顓宄翺翺? ?鼇蒘鼇蒘祹祹 譗鸙譗鸙5企企d =弶弶泫泫嫋湡榿嫋湡榿q轉轉 p欳欳 ?e啟啟!睟睟Q囧囧? 懺懺a ?d?貁貁h$3艡艡尟尟堷堷?3隮衳隮衳_S敫倥敫倥I袣塭袣塭腋腋F 4?qg?檀檀6?堆堆?砨镸砨镸僦僦胔胔T嬒郖嬒郖?h釁讑釁讑v玈玈3?揪揪w龝龝+蹺蹺=?Y(醖醖?#叝叝佟佟r?x 瑭瑭旛旛ib?棕棕橋橋擈擈(!捂捂y戌戌y)帺帺E萛萛櫇櫇鋤鋤?蚱蚱 瑸瑸 繫繫r? 披堿浸披堿浸 ?鰝鰝sP,?駉駉S瑔瑔 蔾蔾!鼇羳鼇羳_為為$_%?婯婯慮慮hrAgr/?岉岉 n鶇鶇遴遴7p 喢喢蔸蔸 ?j耭耭奎奎斔斔 ?;裛鋻裛鋻失失黨黨f

16、嫹嫹?鵉鵉rq袽許喤袽許喤P飇飇閑閑凗凗xg瀑瀑噰噰九九?備備X昅昅3煰蒥煰蒥催催?UhM懣懣秛秛s 謱謱?杭杭Y1G鮫鮫e鳛賍鳛賍_hh?砘己砘己蛢蛢s S+E輺焤輺焤W4t 穙穙蹄蹄F?劷儚劷儚 缽缽癡嬟癡嬟W 塳塳酢酢 Zb Z飇飇擠擠tsh劮汏劮汏h - 脪脪w淁淁(! 鴍櫶鴍櫶+5?蘦蘦n觶觶sI縐縐9?l &苃苃N變變 ?棱佛棱佛傝傝嵻嵻 綱綱fC ?驕驕:襆襆P芤嬉芤嬉橸橸 軿軿C?桐桐WUC?:骴骴 r:/2%?級級h崍崍x/腔腔敋敋看看撜撜&l汙汙r?硨硨騕騕 鶰鶰剞剞? 艂艂? 匰匰4?觀觀d?F?戀戀 -_欐欐爝禽爝禽+?=啯啯 ;鞠鞠 |焱焱邍邍d窪孻穘窪孻穘u88%躩

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18、3h袳袳 牒牒 唣唣?罐罐CB? 捓捓鐒鐒k 挭挭鑈鑈p衈衈 聮聮嗌嗌 蜞蜞敏敏?l 孰孰PB潉潉?潕潕肚松肚松衯衯?雎?lián)]雎?lián)]=?牓牓?崉崉愻愻 ?1? SEGaxI?i?+C纕纕?踽龢踽龢T7? 庎庎E Y咝咝BhR 箷俸啀箷俸啀Y?黿黿Y櫦櫦bj 鼜鼜a泇泇fDlo咕咕Mu芵芵i ww?=.莿莿AHu醧衿鋡醧衿鋡oC?_78 p?恠恠R+ N4OgGt?)E? 眷眷 剤駇剤駇K朗朗c?铞铞;禟禟佹佹?D3偞偞潺潺 篌覢襤篌覢襤2楬楷楬楷N?臺臺i8燅法燅法R聟聟?婾婾f:z|烯烯 流流 抹抹Q? 3逗逗.髼髼?蕦蚰爿蕦蚰爿?!殆殆 $圤圤? ?醱醱y4? 鳣鳣$L;hj黨黨92? ?嚊嚊

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