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幾何證明壓軸題(中考)
1、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1) 求證:DC=BC;
(2) E是梯形內(nèi)一點,F(xiàn)是梯形外一點,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷△ECF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3) 在(2)的條件下,當(dāng)BE:CE=1:2,∠BEC=135°時,求sin∠BFE的值.
2、已知:如圖,在□ABCD 中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.
(
2、1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若四邊形 BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
3、如圖13-1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn).
(1)如圖13-2,當(dāng)EF與AB相交于點M,GF與BD相交于點N時,通過觀察或測量BM,F(xiàn)N的長度,猜想BM,F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
圖13-1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
3、圖13-2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時,線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
圖13-3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
4、如圖,已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E,連結(jié)AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若,求CD的長;
(2)若 ∠ADO:∠
4、EDO=4:1,求扇形OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。
5、如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點,CH⊥AB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G.
(1)求證:點F是BD中點;
(2)求證:CG是⊙O的切線;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑.
6、如圖,已知O為原點,點A的坐標(biāo)為(4,3),
⊙A的半徑為2.過A作直線平行于軸,點P在直線上運動.
5、
(1)當(dāng)點P在⊙O上時,請你直接寫出它的坐標(biāo);
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
7、如圖,延長⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點,過點B作DE的垂線,垂足為點C.
求證:∠ACB=∠OAC.
C
A
B
D
O
E
8、如圖1,一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,梯子與地面的傾斜角α為.
⑴求AO與BO的長;
⑵若梯子頂端A沿NO下滑,同時底端B沿OM向右滑行.
①如圖2,設(shè)A點下滑到C點,B點向右滑行到D
6、點,并且AC:BD=2:3,試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米;
②如圖3,當(dāng)A點下滑到A’點,B點向右滑行到B’點時,梯子AB的中點P也隨之運動到P’點.若∠POP’= ,試求AA’的長.
[解析]
⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=,又AB=4米,
∴米.
幾何證明壓軸題(中考)解析
1、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(4) 求證:DC=BC;
(5) E是梯形內(nèi)一點,F(xiàn)是梯形外一點,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷△
7、ECF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(6) 在(2)的條件下,當(dāng)BE:CE=1:2,∠BEC=135°時,求sin∠BFE的值.
[解析] (1)過A作DC的垂線AM交DC于M,
則AM=BC=2.
又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.
(2)等腰三角形.
證明:因為.
所以,△DEC≌△BFC
所以,.
所以,
即△ECF是等腰直角三角形.
(3)設(shè),則,所以.
因為,又,所以.
所以
所以.
2、已知:如圖,在□ABCD 中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(
8、2)若四邊形 BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
[解析] (1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD .
∵點E 、F分別是AB、CD的中點,
∴AE=AB ,CF=CD .
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF .
(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時,
四邊形 AGBD是矩形.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC .
∵AG∥BD ,
∴四邊形 AGBD 是平行四邊形.
∵四邊形 BEDF 是菱形,
∴DE=BE .
∵AE=BE ,
∴AE=BE=DE .
∴∠1=∠2,∠3=
9、∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四邊形AGBD是矩形
3、如圖13-1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn).
(1)如圖13-2,當(dāng)EF與AB相交于點M,GF與BD相交于點N時,通過觀察或測量BM,F(xiàn)N的長度,猜想BM,F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
圖13-1
A( G )
B( E )
C
O
10、
D( F )
圖13-2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時,線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
圖13-3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
[解析](1)BM=FN.
證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形,
∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF.又∵∠BOM=∠FON, ∴ △OB
11、M≌△OFN .∴ BM=FN.
(2) BM=FN仍然成立.
(3) 證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形,∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°.又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN .∴ BM=FN.
4、如圖,已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E,連結(jié)AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若,求CD的長;
(2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。
[解析] (1)因為AB是⊙O的直徑,OD=5
所以∠ADB=9
12、0°,AB=10
在Rt△ABD中,
又,所以,所以
因為∠ADB=90°,AB⊥CD
所以
所以 所以 所以
(2)因為AB是⊙O的直徑,AB⊥CD
所以
所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD
因為AO=DO,所以∠BAD=∠ADO
所以∠CDB=∠ADO
設(shè)∠ADO=4x,則∠CDB=4x
由∠ADO:∠EDO=4:1,則∠EDO=x
因為∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°
所以 所以x=10° 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°
13、
所以∠AOC=∠AOD=100°
5、如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點,CH⊥AB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G.
(1)求證:點F是BD中點;
(2)求證:CG是⊙O的切線;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑.
[解析] (1)證明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF
∴,∵HE=EC,∴BF=FD
(2)方法一:連接CB、OC,
∵AB是直徑,∴∠ACB=90°∵F是BD中點
14、,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′
方法二:可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)
(3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC
可證得:FA=FG,且AB=BG
由切割線定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2
由、得:FG2-4FG-12=0
解之得:FG1=6,F(xiàn)G2=-2(舍去)
∴AB=BG=
∴⊙O半徑為2
6、如圖,已知O為原點,點A的坐標(biāo)
15、為(4,3),
⊙A的半徑為2.過A作直線平行于軸,點P在直線上運動.
(1)當(dāng)點P在⊙O上時,請你直接寫出它的坐標(biāo);
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
[解析]
解: ⑴點P的坐標(biāo)是(2,3)或(6,3)
⑵作AC⊥OP,C為垂足.
∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中,,又AP=12-4=8, ∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<
16、;2
∴OP與⊙A相交.
7、如圖,延長⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點,過點B作DE的垂線,C
A
B
D
O
E
垂足為點C.
求證:∠ACB=∠OAC.
[解析]證明:連結(jié)OE、AE,并過點A作AF⊥DE于點F, (3分)
∵DE是圓的一條切線,E是切點,∴OE⊥DC,又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.
∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.∵OA=OE,∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵點A是OB的中點,
∴點F是EC的中點. ∴AE=AC. ∴∠1
17、=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC.
8、如圖1,一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,梯子與地面的傾斜角α為.
⑴求AO與BO的長;
⑵若梯子頂端A沿NO下滑,同時底端B沿OM向右滑行.
①如圖2,設(shè)A點下滑到C點,B點向右滑行到D點,并且AC:BD=2:3,試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米;
②如圖3,當(dāng)A點下滑到A’點,B點向右滑行到B’點時,梯子AB的中點P也隨之運動到P’點.若∠POP’= ,試求AA’的長.
[解析]⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=,又AB=4米,∴米.
米. -------------- (3分)
⑵設(shè)在中,
根據(jù)勾股定理:
∴ ------------- (5分)
∴
∵ ∴ ∴ ------- (7分)
AC=2x=
即梯子頂端A沿NO下滑了米. ---- (8分)
⑶∵點P和點分別是的斜邊AB與的斜邊的中點
∴, ------------- (9分)
∴------- (10分)
∴∴
∵∴ ---- (11分)
∴----- (12分)∴米.
專心---專注---專業(yè)