《現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法》研究生課件,現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法,現(xiàn)代,設(shè)計(jì),理論,方法,研究生,課件 第第2章章 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)(2)Optimal Design2.4 多維無(wú)約束優(yōu)化方法多維無(wú)約束優(yōu)化方法 2.4.3 梯度法梯度法梯度法梯度法梯度法梯度法是求解多維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的是求解多維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解析法之一解析法之一?；诨谔荻忍荻仁呛瘮?shù)變化率最大的方向，是函數(shù)變化率最大的方向，而而負(fù)梯度負(fù)梯度則是函數(shù)下降最快的方向。則是函數(shù)下降最快的方向。沿沿該方向該方向該方向該方向搜索，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近下降最快。搜索，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近下降最快。則則梯度法梯度法就是取迭代點(diǎn)處的就是取迭代點(diǎn)處的函數(shù)負(fù)梯度方向函數(shù)負(fù)梯度方向作為作為搜索方向搜索方向，該法又稱，該法又稱最速下降法最速下降法。梯度法的迭代格式梯度法的迭代格式：（2-40）梯度法的基本思想梯度法的基本思想:按按上式上式求得負(fù)梯度方向的一個(gè)求得負(fù)梯度方向的一個(gè)極小點(diǎn)極小點(diǎn) ，作為作為原問(wèn)題原問(wèn)題原問(wèn)題原問(wèn)題的一個(gè)近似的一個(gè)近似最優(yōu)解最優(yōu)解；若此解尚不滿足若此解尚不滿足精度要求精度要求，則再以則再以 作為作為迭代起始點(diǎn)迭代起始點(diǎn)，以以 處的負(fù)梯度方向處的負(fù)梯度方向 作為搜索方向，作為搜索方向，求得該方向的求得該方向的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ，如此進(jìn)行下去，直到如此進(jìn)行下去，直到求得的解求得的解滿足收斂條件滿足收斂條件為止。為止。式中式中 為為最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)。關(guān)于的關(guān)于的梯度法梯度法迭代計(jì)算步驟迭代計(jì)算步驟見(jiàn)教材。見(jiàn)教材。解：解：由由梯度的定義梯度的定義，該目標(biāo)函數(shù)該目標(biāo)函數(shù)的的梯度梯度為：為：例例2-A 已知已知一目標(biāo)函數(shù)一目標(biāo)函數(shù)為為，試求試求在點(diǎn)在點(diǎn) 的梯度的梯度。則則該該函數(shù)函數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的梯度的梯度為為梯度法的終止條件梯度法的終止條件：梯度法的特點(diǎn)梯度法的特點(diǎn)：(1)(1)算法簡(jiǎn)單；算法簡(jiǎn)單；(2)前后兩次迭代方向前后兩次迭代方向正交正交，所以，所以搜索路線搜索路線是是呈直角鋸齒形呈直角鋸齒形；(3)開始搜索時(shí)，收斂速度較快，但當(dāng)靠近開始搜索時(shí)，收斂速度較快，但當(dāng)靠近極小點(diǎn)極小點(diǎn)附近，收斂速附近，收斂速度越來(lái)越慢，這是度越來(lái)越慢，這是梯度法梯度法的較大缺點(diǎn)。的較大缺點(diǎn)。（2-41）2.4.4 牛頓法牛頓法 原始牛頓法原始牛頓法原始牛頓法原始牛頓法和和阻尼牛頓法阻尼牛頓法阻尼牛頓法阻尼牛頓法兩種。兩種。其其迭代過(guò)程迭代過(guò)程是在求目標(biāo)函數(shù)是在求目標(biāo)函數(shù) 的極小值時(shí)，的極小值時(shí)，先將它在點(diǎn)先將它在點(diǎn) 附近附近作泰勒展開作泰勒展開，并取，并取二次近似函數(shù)式二次近似函數(shù)式；然后求出這個(gè)二次函數(shù)的然后求出這個(gè)二次函數(shù)的極小點(diǎn)極小點(diǎn)，并以，并以該極小點(diǎn)該極小點(diǎn)作為原作為原目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)極小點(diǎn)X*的一次的一次近似解近似解近似解近似解；該算法的該算法的基本思路基本思路：它是以它是以二次函數(shù)二次函數(shù)來(lái)逼近來(lái)逼近原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)。牛頓法牛頓法牛頓法牛頓法也是一種也是一種解析法解析法，它是，它是梯度法梯度法的進(jìn)一步發(fā)展。的進(jìn)一步發(fā)展。該法的搜索方向的構(gòu)造該法的搜索方向的構(gòu)造：是根據(jù)是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)的的負(fù)梯度負(fù)梯度和和二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣矩陣來(lái)構(gòu)造的。來(lái)構(gòu)造的。牛頓法分為牛頓法分為：若若此解此解不滿足精度要求，則不滿足精度要求，則可可以此近似解以此近似解作為下一次迭代的作為下一次迭代的初始點(diǎn)初始點(diǎn)，仿照上面的做法，求出仿照上面的做法，求出二次近似解二次近似解；照此迭代下去，直至所求出的照此迭代下去，直至所求出的近似極小點(diǎn)近似極小點(diǎn)滿足精度要求。滿足精度要求?，F(xiàn)用現(xiàn)用二維問(wèn)題二維問(wèn)題來(lái)加以說(shuō)明，來(lái)加以說(shuō)明，將將目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 在給定點(diǎn)在給定點(diǎn) 作作泰勒展開泰勒展開，并取，并取二次近似式二次近似式：(2-42)為求得為求得二次近似式二次近似式 的的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ，對(duì)上式求梯度，并令對(duì)上式求梯度，并令解之可解之可求得求得：式中式中:為為海森海森（Hessian）矩陣矩陣的逆矩陣。的逆矩陣。在一般情況下，在一般情況下，不一定是不一定是二次函數(shù)二次函數(shù)，則所求得的則所求得的極小點(diǎn)極小點(diǎn) 也不一定是也不一定是原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù) 的的真正極小點(diǎn)真正極小點(diǎn)。但由于在但由于在點(diǎn)點(diǎn)附近，函數(shù)附近，函數(shù) 和和 是近似的，是近似的，因而因而 可作為可作為 的的近似極小點(diǎn)近似極小點(diǎn)。為為求得求得滿足精度要求的滿足精度要求的近似極小點(diǎn)近似極小點(diǎn)，可將可將 作為下一次迭代的作為下一次迭代的起始點(diǎn)起始點(diǎn) ，即得，即得（2-44）由上由上式式(2-44)可知，可知，牛頓法的搜索方向牛頓法的搜索方向牛頓法的搜索方向牛頓法的搜索方向?yàn)闉椋?-45）上式就是上式就是原始牛頓法的迭代公式原始牛頓法的迭代公式原始牛頓法的迭代公式原始牛頓法的迭代公式。上式中的上式中的搜索方向搜索方向稱為稱為牛頓方向牛頓方向，可見(jiàn)可見(jiàn)原始牛頓法原始牛頓法的的步長(zhǎng)因子步長(zhǎng)因子恒取：恒?。?，因此，因此，原始牛頓法原始牛頓法是一種是一種定步長(zhǎng)定步長(zhǎng)的迭代過(guò)程。的迭代過(guò)程。牛頓算法牛頓算法牛頓算法牛頓算法對(duì)于對(duì)于二次函數(shù)二次函數(shù)是非常有效的，是非常有效的，迭代一步就可達(dá)到迭代一步就可達(dá)到極值點(diǎn)極值點(diǎn)，而這一步根本不需要進(jìn)行一維搜索。，而這一步根本不需要進(jìn)行一維搜索。對(duì)于對(duì)于高次函數(shù)高次函數(shù)，只有當(dāng)?shù)拷挥挟?dāng)?shù)拷鼧O值點(diǎn)極值點(diǎn)附近，附近，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)近似近似二次函數(shù)二次函數(shù)時(shí)，時(shí)，才會(huì)保證才會(huì)保證很快收斂很快收斂，否則也可能導(dǎo)致算法失敗。，否則也可能導(dǎo)致算法失敗。為了克服這一缺點(diǎn)，便將為了克服這一缺點(diǎn)，便將迭代公式迭代公式（2-44）修改為：修改為：（2-46）上式為上式為修正牛頓法的迭代公式修正牛頓法的迭代公式。式中，式中，步長(zhǎng)因子步長(zhǎng)因子 又稱阻尼因子。又稱阻尼因子。修正牛頓法的迭代步驟修正牛頓法的迭代步驟修正牛頓法的迭代步驟修正牛頓法的迭代步驟詳見(jiàn)教材。詳見(jiàn)教材。2.4.5 變尺度法變尺度法 是在克服了是在克服了梯度法收斂慢梯度法收斂慢梯度法收斂慢梯度法收斂慢 和和牛頓法計(jì)算量大牛頓法計(jì)算量大牛頓法計(jì)算量大牛頓法計(jì)算量大 的的缺點(diǎn)缺點(diǎn)基礎(chǔ)上而發(fā)展起來(lái)的基礎(chǔ)上而發(fā)展起來(lái)的一種最有效的解析法一種最有效的解析法?，F(xiàn)已得到廣泛應(yīng)用。現(xiàn)已得到廣泛應(yīng)用。利用利用牛頓法的迭代形式牛頓法的迭代形式，但并不直接計(jì)算但并不直接計(jì)算 ，而是用一個(gè)而是用一個(gè)對(duì)稱正定矩陣對(duì)稱正定矩陣 近似地代替近似地代替 。它在它在迭代過(guò)程中迭代過(guò)程中不斷地改進(jìn)，最后逼近不斷地改進(jìn)，最后逼近 。這種算法這種算法，省去了，省去了海森矩陣海森矩陣的計(jì)算和求逆，的計(jì)算和求逆，使之使之計(jì)算量計(jì)算量大為減少，大為減少，并且還保持了并且還保持了牛頓法牛頓法牛頓法牛頓法收斂快的優(yōu)點(diǎn)。收斂快的優(yōu)點(diǎn)。變尺度法變尺度法變尺度法變尺度法：在在變尺度法變尺度法 中，較為常用的有：中，較為常用的有：變尺度法變尺度法特點(diǎn)特點(diǎn)：DFP變尺度法變尺度法 BFGS變尺度法變尺度法。變尺度法變尺度法基本思想基本思想：1.DFP變尺度法變尺度法 DFPDFP變尺度法變尺度法變尺度法變尺度法是最為常用的一種是最為常用的一種變尺度算法變尺度算法。該算法的迭代公式該算法的迭代公式該算法的迭代公式該算法的迭代公式為：為：(2-47)式中式中:變尺度矩陣變尺度矩陣，是一，是一nn階階對(duì)稱正定矩陣對(duì)稱正定矩陣，在迭代過(guò)程中在迭代過(guò)程中,它是它是逐次形成逐次形成并并不斷修正不斷修正，即從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱即從一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱變尺度矩陣變尺度矩陣。由由式式(2-47)，不難看出：不難看出：當(dāng)當(dāng) （單位矩陣）時(shí)：（單位矩陣）時(shí)：式式(2-47)變?yōu)樽優(yōu)樘荻确ǖ牡教荻确ǖ牡教荻确ǖ牡教荻确ǖ牡?；?dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：式式(2-47)就變?yōu)榫妥優(yōu)榕ｎD法的迭代公式牛頓法的迭代公式牛頓法的迭代公式牛頓法的迭代公式。由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，梯度法梯度法梯度法梯度法和和牛頓法牛頓法牛頓法牛頓法可以看作可以看作變尺度法變尺度法的一種的一種特例特例。變尺度矩陣變尺度矩陣可用下式迭代下式迭代：式中，式中，稱作稱作校正矩陣校正矩陣，在在DFP變尺度法變尺度法中中它它可用可用下式下式來(lái)計(jì)算：來(lái)計(jì)算：式中式中:第第 k 次迭代中前后迭代點(diǎn)的次迭代中前后迭代點(diǎn)的向量差向量差；前后迭代點(diǎn)的前后迭代點(diǎn)的梯度向量差梯度向量差。迭代開始迭代開始（k0）規(guī)定規(guī)定：。（2-55）（2-54）式式（2-55）稱為稱為DFPDFP公式公式公式公式，由該式可以看出，由該式可以看出，變尺度矩陣變尺度矩陣 的確定的確定取決于取決于在第在第 k 次迭代中的次迭代中的下列信息下列信息：不僅不需求不僅不需求海森矩陣海森矩陣 及其及其求逆矩陣求逆矩陣的計(jì)算，的計(jì)算，而且保持了而且保持了牛頓法收斂速度快牛頓法收斂速度快和和梯度法計(jì)算簡(jiǎn)單梯度法計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。的優(yōu)點(diǎn)。上次的變尺度矩陣上次的變尺度矩陣 ，迭代點(diǎn)的向量差迭代點(diǎn)的向量差 和迭代點(diǎn)的梯度向量差和迭代點(diǎn)的梯度向量差 。利用利用上式上式求得的求得的校正矩陣校正矩陣 代入代入式式(2-54)，可得到可得到變尺度矩陣的變尺度矩陣的變尺度矩陣的變尺度矩陣的DFPDFP遞推公式遞推公式遞推公式遞推公式：（2-56）上式上式 常稱常稱DFP公式公式。通過(guò)通過(guò)式式(2-47)可可確定確定新的搜索方向新的搜索方向 ，進(jìn)行，進(jìn)行第第k+1次迭代次迭代的一維搜索。的一維搜索。因此，因此，DFPDFP變尺度法：變尺度法：變尺度法：變尺度法：DFPDFP變尺度法的迭代步驟變尺度法的迭代步驟變尺度法的迭代步驟變尺度法的迭代步驟為：為：(1)給定給定初始點(diǎn)和收斂精度初始點(diǎn)和收斂精度，維數(shù)維數(shù)n；(2)計(jì)算計(jì)算梯度，取梯度，取A(0)=I(單位矩陣單位矩陣)，置置k=0=0，(3)構(gòu)造構(gòu)造搜索方向搜索方向(4)沿沿 方向進(jìn)行方向進(jìn)行一維搜索一維搜索，求，求最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng) ，使，使得到得到新迭代點(diǎn)新迭代點(diǎn)(5)計(jì)算計(jì)算 ，進(jìn)行進(jìn)行收斂判斷收斂判斷：若若 ，則令，則令 ，停止迭代，停止迭代，輸出輸出最優(yōu)解；最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)下一步否則，轉(zhuǎn)下一步(6)；DFPDFP變尺度法的計(jì)算框圖變尺度法的計(jì)算框圖變尺度法的計(jì)算框圖變尺度法的計(jì)算框圖，見(jiàn)見(jiàn)圖圖2-32。并令并令 ，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)步驟步驟(3)。(7)計(jì)算計(jì)算：構(gòu)造構(gòu)造新的新的變尺度矩陣變尺度矩陣和和搜索方向搜索方向：(6)檢查檢查迭代次數(shù)，若迭代次數(shù)，若k=n，則令則令 ，并轉(zhuǎn)入并轉(zhuǎn)入步驟步驟(2)；若若k n，則轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)下步下步(7)；圖圖2-32 DFP變尺度法變尺度法 的計(jì)算框圖的計(jì)算框圖2.BFGS 變尺度法變尺度法計(jì)算實(shí)踐計(jì)算實(shí)踐表明：表明：由于由于DFP變尺度法變尺度法在計(jì)算在計(jì)算變尺度矩陣變尺度矩陣的公式中，的公式中，其分母其分母含有近似矩陣含有近似矩陣 A(k)，使之計(jì)算中容易引起使之計(jì)算中容易引起數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定，甚至有可能得到，甚至有可能得到奇異矩陣奇異矩陣A(k)。BFGS變尺度法變尺度法與與DFP變尺度法變尺度法的的迭代步驟迭代步驟相同，相同，不同之點(diǎn)，只是不同之點(diǎn)，只是校正矩陣校正矩陣的計(jì)算公式不一樣。的計(jì)算公式不一樣。BFGS變尺度法變尺度法的變尺度矩陣的變尺度矩陣迭代公式迭代公式仍為仍為(2-57)為了克服為了克服DFPDFP變尺度法變尺度法變尺度法變尺度法計(jì)算穩(wěn)定性不夠理想的缺點(diǎn)，計(jì)算穩(wěn)定性不夠理想的缺點(diǎn)，Broydon 等人在等人在 DFPDFP法法法法 的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上提出了提出了另一種變尺度法另一種變尺度法稱為稱為BFGSBFGS變尺度法變尺度法變尺度法變尺度法。但其中的但其中的校正矩陣校正矩陣校正矩陣校正矩陣的的的的計(jì)算公式計(jì)算公式計(jì)算公式計(jì)算公式為為(2-58)上式中上式中，所使用的基本變量，所使用的基本變量、與與DFP變尺度法變尺度法相同。相同。由上式可見(jiàn)，由上式可見(jiàn)，BFGSBFGS變尺度法的校正矩陣變尺度法的校正矩陣變尺度法的校正矩陣變尺度法的校正矩陣 的分母中不再含的分母中不再含有有近似矩陣近似矩陣 。BFGSBFGS法法法法 與與 DFPDFP法法法法具有相同性質(zhì)，具有相同性質(zhì)，這兩種方法這兩種方法都是使每次迭代中目標(biāo)函數(shù)值減少，都是使每次迭代中目標(biāo)函數(shù)值減少，并保持的并保持的對(duì)稱正定性對(duì)稱正定性，則一定逼近則一定逼近海森矩陣海森矩陣的逆矩陣。的逆矩陣。在于計(jì)算中它的在于計(jì)算中它的數(shù)值穩(wěn)定性強(qiáng)數(shù)值穩(wěn)定性強(qiáng)，所以所以它它是目前是目前變尺度法變尺度法中最受歡迎的一種算法。中最受歡迎的一種算法。BFGSBFGS法法法法的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn):2.5 約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法 工程中的大量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，都是工程中的大量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，都是約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題的一般這類問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型為：為：求解這類問(wèn)題的方法稱求解這類問(wèn)題的方法稱約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法，所求得的所求得的最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)X X*稱為稱為約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)。約束優(yōu)化算法約束優(yōu)化算法約束優(yōu)化算法約束優(yōu)化算法大致可歸納為大致可歸納為兩大類兩大類：（2-59）直接解法直接解法 間接解法間接解法這類方法的基本思想這類方法的基本思想：在約束的在約束的可行域內(nèi)可行域內(nèi)直接搜索出它的直接搜索出它的約束最優(yōu)解約束最優(yōu)解。屬于這類方法的主要有屬于這類方法的主要有：網(wǎng)格法，可行方向法，復(fù)合形法等。網(wǎng)格法，可行方向法，復(fù)合形法等。這類方法這類方法的基本思想的基本思想：將復(fù)雜的將復(fù)雜的約束問(wèn)題約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，即按一定原，即按一定原則則構(gòu)造構(gòu)造一個(gè)一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)新的目標(biāo)函數(shù)，并以它的，并以它的最優(yōu)化解最優(yōu)化解去逐步逼近去逐步逼近原約束問(wèn)題原約束問(wèn)題的的最優(yōu)解最優(yōu)解。約束問(wèn)題通過(guò)這種方法的處理，就可以。約束問(wèn)題通過(guò)這種方法的處理，就可以采用無(wú)約束優(yōu)化方法求解。采用無(wú)約束優(yōu)化方法求解。本節(jié)本節(jié)本節(jié)本節(jié)主要介紹：主要介紹：復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法和和懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法。屬于這類方法的主要有屬于這類方法的主要有：消元法、簡(jiǎn)約梯度法、復(fù)合形法、懲消元法、簡(jiǎn)約梯度法、復(fù)合形法、懲罰函數(shù)法等。罰函數(shù)法等。這類方法這類方法對(duì)于只有對(duì)于只有不等式約束不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題是有效的。的優(yōu)化問(wèn)題是有效的。這類方法這類方法對(duì)于解決具有對(duì)于解決具有不等式約束不等式約束和和等式約束條件等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化問(wèn)題都有效。都有效。直接解法直接解法：間接解法間接解法：2.5.1 復(fù)合形法復(fù)合形法 復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法：是適用于求解具有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一種是適用于求解具有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一種直接算法直接算法。在在 n 維優(yōu)化設(shè)計(jì)空間的維優(yōu)化設(shè)計(jì)空間的可行域可行域 D 內(nèi)，內(nèi)，構(gòu)造構(gòu)造具有具有 k 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn) 的的多邊形多邊形(或或多面體多面體)稱作稱作復(fù)合形復(fù)合形。復(fù)合形復(fù)合形的的每個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)都代表一個(gè)都代表一個(gè)設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)方案。然后然后計(jì)算復(fù)合形計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值并逐一進(jìn)行比各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值并逐一進(jìn)行比較，取函數(shù)值最大者為較，取函數(shù)值最大者為最壞點(diǎn)最壞點(diǎn)，最小者為，最小者為最好點(diǎn)最好點(diǎn)。再以去掉再以去掉最壞點(diǎn)最壞點(diǎn)的其余各點(diǎn)的的其余各點(diǎn)的中心點(diǎn)中心點(diǎn)為為映射軸心映射軸心，在在最壞點(diǎn)最壞點(diǎn)和其余各點(diǎn)的和其余各點(diǎn)的中心點(diǎn)中心點(diǎn)的連線上，的連線上，尋找尋找一個(gè)既滿一個(gè)既滿足約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)值有所改善的足約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)值有所改善的壞點(diǎn)映射點(diǎn)壞點(diǎn)映射點(diǎn)，并以并以該映射點(diǎn)該映射點(diǎn)替換替換壞點(diǎn)壞點(diǎn)而構(gòu)成而構(gòu)成新的復(fù)合形新的復(fù)合形。按照按照上述步驟上述步驟重復(fù)多次，不斷地去掉重復(fù)多次，不斷地去掉最壞點(diǎn)最壞點(diǎn)，這樣不斷，這樣不斷調(diào)整調(diào)整復(fù)合形的復(fù)合形的頂點(diǎn)，使頂點(diǎn)，使復(fù)合形復(fù)合形不斷向不斷向最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)靠攏，最后搜索到靠攏，最后搜索到約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。該法的該法的基本思路：基本思路：對(duì)于對(duì)于二維問(wèn)題二維問(wèn)題，復(fù)合形法復(fù)合形法的搜索原理，如的搜索原理，如圖圖2-33所示。所示。圖圖2-33 復(fù)合形法原理復(fù)合形法原理 因此，因此，復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法的的的的迭代過(guò)程迭代過(guò)程迭代過(guò)程迭代過(guò)程實(shí)際就是通過(guò)對(duì)實(shí)際就是通過(guò)對(duì)復(fù)合形復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)各頂點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算與比較，反復(fù)進(jìn)行值計(jì)算與比較，反復(fù)進(jìn)行點(diǎn)的映射點(diǎn)的映射與與復(fù)合形的收縮復(fù)合形的收縮，使之逐步逼近約，使之逐步逼近約束問(wèn)題束問(wèn)題最優(yōu)解最優(yōu)解的。的。（2-60）根據(jù)上述根據(jù)上述復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法的的基本思想基本思想基本思想基本思想，對(duì)于求解，對(duì)于求解的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，采用的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，采用復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法復(fù)合形法來(lái)求解，需分來(lái)求解，需分兩步進(jìn)行兩步進(jìn)行兩步進(jìn)行兩步進(jìn)行：第一步：第一步：是在設(shè)計(jì)空間的是在設(shè)計(jì)空間的可行域可行域可行域可行域內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)產(chǎn)生 k個(gè)初始頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則的個(gè)初始頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則的多面體多面體，即生成，即生成初始復(fù)合形初始復(fù)合形。一般取一般取復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)為：為：。第二步第二步：進(jìn)行：進(jìn)行該復(fù)合形該復(fù)合形的的調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算。通過(guò)對(duì)通過(guò)對(duì)各頂點(diǎn)函數(shù)值各頂點(diǎn)函數(shù)值大小的比較，判斷下降方向，不斷用新的大小的比較，判斷下降方向，不斷用新的可可行好點(diǎn)行好點(diǎn)取代取代壞點(diǎn)壞點(diǎn)，構(gòu)成，構(gòu)成新的復(fù)合形新的復(fù)合形，使它逐步向，使它逐步向約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)、收移動(dòng)、收縮和逼近，直到滿足一定的收斂精度為止。縮和逼近，直到滿足一定的收斂精度為止。1.1.初始復(fù)合形的生成初始復(fù)合形的生成初始復(fù)合形的生成初始復(fù)合形的生成 通常，通常，初始復(fù)合形的生成方法初始復(fù)合形的生成方法初始復(fù)合形的生成方法初始復(fù)合形的生成方法主要采用如下主要采用如下兩種方法兩種方法兩種方法兩種方法：生成生成初始復(fù)合形初始復(fù)合形初始復(fù)合形初始復(fù)合形，就是確定，就是確定 k k 個(gè)可行點(diǎn)個(gè)可行點(diǎn)個(gè)可行點(diǎn)個(gè)可行點(diǎn)作為作為初始復(fù)合形初始復(fù)合形的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。(1)(1)人為給定人為給定人為給定人為給定k k 個(gè)初始頂點(diǎn)個(gè)初始頂點(diǎn)個(gè)初始頂點(diǎn)個(gè)初始頂點(diǎn)可由可由設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)者預(yù)先選擇預(yù)先選擇 k 個(gè)設(shè)計(jì)方案?jìng)€(gè)設(shè)計(jì)方案，即人工構(gòu)造一個(gè)，即人工構(gòu)造一個(gè)初始復(fù)合形初始復(fù)合形。k 個(gè)頂點(diǎn)都個(gè)頂點(diǎn)都必須滿足必須滿足所有的約束條件。所有的約束條件。(2)(2)給定一個(gè)初始頂點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生其它頂點(diǎn)給定一個(gè)初始頂點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生其它頂點(diǎn)給定一個(gè)初始頂點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生其它頂點(diǎn)給定一個(gè)初始頂點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生其它頂點(diǎn)在高維且多約束情況下，一般是人為地確定在高維且多約束情況下，一般是人為地確定一個(gè)初始可形點(diǎn)一個(gè)初始可形點(diǎn) ，其，其余余 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn) 可用可用隨機(jī)法隨機(jī)法產(chǎn)生，即產(chǎn)生，即(2-61)式中式中：復(fù)合形頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)復(fù)合形頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào) ；設(shè)計(jì)變量的標(biāo)號(hào)設(shè)計(jì)變量的標(biāo)號(hào) ，表示點(diǎn)的坐標(biāo)分量；，表示點(diǎn)的坐標(biāo)分量；設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 的解域或上下界；的解域或上下界；0，1區(qū)間內(nèi)服從均勻分布偽隨機(jī)數(shù)。區(qū)間內(nèi)服從均勻分布偽隨機(jī)數(shù)。用上述方法用上述方法隨機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)產(chǎn)生的的 k-1個(gè)頂點(diǎn)，雖然可以滿足設(shè)計(jì)變量的個(gè)頂點(diǎn)，雖然可以滿足設(shè)計(jì)變量的邊邊界約束條件界約束條件，但不一定是，但不一定是可行點(diǎn)可行點(diǎn)，所以還必須，所以還必須逐個(gè)檢查逐個(gè)檢查其可行性，并其可行性，并使其成為使其成為可行點(diǎn)可行點(diǎn)。設(shè)有設(shè)有 q(1qk)個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)滿足全部約束條件，滿足全部約束條件，第第 q+1點(diǎn)點(diǎn)X(q+1)不是可行不是可行點(diǎn)，則先求出點(diǎn)，則先求出 q 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)的的中心點(diǎn)中心點(diǎn)(2-62)然后將不滿足約束條件的然后將不滿足約束條件的點(diǎn)點(diǎn)向向中心點(diǎn)中心點(diǎn) 靠攏，即靠攏，即(2-63)若新得到的仍在若新得到的仍在可行域外可行域外，則重復(fù)上，則重復(fù)上式式(2-63)進(jìn)行調(diào)整，直到進(jìn)行調(diào)整，直到點(diǎn)成為點(diǎn)成為可行點(diǎn)可行點(diǎn)為止。為止。然后，然后，同樣處理同樣處理其余其余 諸點(diǎn)，使其全部進(jìn)入諸點(diǎn)，使其全部進(jìn)入可可行域內(nèi)行域內(nèi)，從而構(gòu)成一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)所有頂點(diǎn)所有頂點(diǎn)均在均在可行域內(nèi)可行域內(nèi)的初始復(fù)合形。的初始復(fù)合形。2.2.復(fù)合形法的調(diào)優(yōu)迭代復(fù)合形法的調(diào)優(yōu)迭代復(fù)合形法的調(diào)優(yōu)迭代復(fù)合形法的調(diào)優(yōu)迭代 初始復(fù)合形生成后，其初始復(fù)合形生成后，其調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算調(diào)優(yōu)迭代計(jì)算按按下述步驟下述步驟進(jìn)行：進(jìn)行：(1)計(jì)算計(jì)算初始復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值，初始復(fù)合形各頂點(diǎn)的函數(shù)值，選出選出好點(diǎn)、壞點(diǎn)、次壞點(diǎn)：好點(diǎn)、壞點(diǎn)、次壞點(diǎn)：(2)計(jì)算除計(jì)算除壞點(diǎn)壞點(diǎn)X(H)外其余外其余k-1 個(gè)頂點(diǎn)的個(gè)頂點(diǎn)的幾何中心點(diǎn)幾何中心點(diǎn)：并并檢驗(yàn)檢驗(yàn)X(S)點(diǎn)點(diǎn)是否在可行域內(nèi)。是否在可行域內(nèi)。如果如果X(S)是是可行點(diǎn)可行點(diǎn)，則執(zhí)行下步，則執(zhí)行下步(3)；否則轉(zhuǎn)第；否則轉(zhuǎn)第(4)(4)步。步。(3)沿沿X(H)和和 X(S)連線方向連線方向求映射點(diǎn)求映射點(diǎn)X(R)(2-64)式中，式中，稱稱映射系數(shù)映射系數(shù)，常取，常取 。然后，檢驗(yàn)然后，檢驗(yàn) X(R)可行性?？尚行浴?4)若若X(S)在可行域外在可行域外，此時(shí)，此時(shí)D可能是可能是非凸集非凸集，如，如圖圖2-34所示。所示。此時(shí)此時(shí)利用利用X(S)和和X(L)重復(fù)確定一個(gè)區(qū)間，重復(fù)確定一個(gè)區(qū)間，在在此區(qū)間內(nèi)此區(qū)間內(nèi)重新隨機(jī)重新隨機(jī)產(chǎn)生產(chǎn)生 k 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成復(fù)合形復(fù)合形。圖圖2-34可行域?yàn)榉峭辜尚杏驗(yàn)榉峭辜?重新構(gòu)成重新構(gòu)成復(fù)合形復(fù)合形復(fù)合形復(fù)合形后，重復(fù)第重復(fù)第(1)、(2)步，直到成為步，直到成為可行點(diǎn)可行點(diǎn)可行點(diǎn)可行點(diǎn)為為止。止。(2-66)若若若若 則取則取(2-65)新的區(qū)間新的區(qū)間新的區(qū)間新的區(qū)間如如圖中虛線圖中虛線圖中虛線圖中虛線所示：所示：其邊界值其邊界值其邊界值其邊界值若若若若 則取則取(5)計(jì)算計(jì)算映射點(diǎn)映射點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值的目標(biāo)函數(shù)值 f(X(R)，若若 f(X(R)f(X(H)，則將則將映射系數(shù)映射系數(shù)減半減半，重新計(jì)算，重新計(jì)算映射點(diǎn)映射點(diǎn)。如果新的如果新的映射點(diǎn)映射點(diǎn)X(R)既為既為可行點(diǎn)可行點(diǎn)，又滿足，又滿足 f(X(R)c 0；為以為以 為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，或稱與不等式約束有關(guān)的或稱與不等式約束有關(guān)的懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng)。然后對(duì)然后對(duì)新目標(biāo)函數(shù)新目標(biāo)函數(shù)新目標(biāo)函數(shù)新目標(biāo)函數(shù)按按無(wú)約束問(wèn)題無(wú)約束問(wèn)題無(wú)約束問(wèn)題無(wú)約束問(wèn)題求解求解求解求解，即，即在求解過(guò)程中，針對(duì)不同的在求解過(guò)程中，針對(duì)不同的 ，就有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，就有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的極小值極小值點(diǎn)點(diǎn) ，隨著，隨著 的減小，使求得的的減小，使求得的 也逐步向原問(wèn)也逐步向原問(wèn)題的題的最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)逼近。逼近。所以所以該方法該方法也稱為也稱為“序列無(wú)約束極小化序列無(wú)約束極小化”方法。方法。對(duì)于對(duì)于內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)法法法法，求解過(guò)程求解過(guò)程求解過(guò)程求解過(guò)程要求保證：要求保證：(1)初始點(diǎn)初始點(diǎn) 和所求得的序列最優(yōu)點(diǎn)和所求得的序列最優(yōu)點(diǎn) ，都應(yīng)是，都應(yīng)是可行點(diǎn)可行點(diǎn)；(2)求解到最后，求解到最后，序列最優(yōu)點(diǎn)序列最優(yōu)點(diǎn) 應(yīng)逼近應(yīng)逼近最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn) X X*。對(duì)于不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)對(duì)于不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)罰函數(shù)法罰函數(shù)法的基本思想，的基本思想，將將罰函數(shù)罰函數(shù)定義在可行域內(nèi)，可構(gòu)造其定義在可行域內(nèi)，可構(gòu)造其內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的的一般形式一般形式為為或或(2-72)(2-71)式中，式中，懲罰因子懲罰因子 ，是一，是一遞減的正數(shù)序列遞減的正數(shù)序列，即，即 且且 。(3)構(gòu)造構(gòu)造懲罰函數(shù)懲罰函數(shù) (4)求解求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 ，得，得 ；(5)進(jìn)行進(jìn)行收斂判斷，若滿足收斂判斷，若滿足或或則令則令 ，停止停止迭代計(jì)算，迭代計(jì)算，輸出輸出最優(yōu)解最優(yōu)解 ；否則轉(zhuǎn)下步；否則轉(zhuǎn)下步；(1)在在可行域內(nèi)可行域內(nèi)確定確定一個(gè)一個(gè)初始點(diǎn)初始點(diǎn) ；(2)給定給定初始罰因子、懲罰因子初始罰因子、懲罰因子遞減系數(shù)遞減系數(shù)C 和和收斂精度收斂精度；置置 k=0；內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的迭代步驟如下：如下：(6)取取 ，以，以 作為作為作為作為新的初始點(diǎn)新的初始點(diǎn)新的初始點(diǎn)新的初始點(diǎn)，置置 轉(zhuǎn)步驟轉(zhuǎn)步驟 (3)繼續(xù)迭代。繼續(xù)迭代。內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法的的的的程序框圖程序框圖程序框圖程序框圖，見(jiàn)，見(jiàn)圖圖2-36。在在內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法中，中，初始罰因子初始罰因子的選擇很重要。的選擇很重要。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般可取根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般可取 =1 50，但多數(shù)情況是取，但多數(shù)情況是取=1。也有建議按初始懲罰項(xiàng)作用與初始目標(biāo)函數(shù)作用相近原則來(lái)確定值也有建議按初始懲罰項(xiàng)作用與初始目標(biāo)函數(shù)作用相近原則來(lái)確定值，即，即 遞減系數(shù)遞減系數(shù)遞減系數(shù)遞減系數(shù)C C 一般取為：一般取為：C=0.10.5，常取常取0.1。初始罰因子和遞減系數(shù)的選擇初始罰因子和遞減系數(shù)的選擇：圖圖2-36 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖內(nèi)點(diǎn)法程序框圖 內(nèi)點(diǎn)法例題內(nèi)點(diǎn)法例題例例2-1 試用試用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法求解如下優(yōu)化問(wèn)題求解如下優(yōu)化問(wèn)題：解解：此題的此題的標(biāo)準(zhǔn)解標(biāo)準(zhǔn)解標(biāo)準(zhǔn)解標(biāo)準(zhǔn)解為：為：。根據(jù)根據(jù)內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法的基本思想，首先構(gòu)造的基本思想，首先構(gòu)造罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)，按，按式式式式(2-71)(2-71)可寫出：可寫出：可以看出可以看出由由兩部分兩部分組成，即組成，即 ，其中：其中：即：是即：是原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)，為一直線；，為一直線；是一族是一族倒數(shù)曲線倒數(shù)曲線，當(dāng)，當(dāng)。則則兩曲線的組合兩曲線的組合兩曲線的組合兩曲線的組合則構(gòu)成則構(gòu)成 曲線曲線，如如下圖下圖2-a 所示。所示。圖圖2-a 內(nèi)點(diǎn)法的求解內(nèi)點(diǎn)法的求解對(duì)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)并令并令其一階導(dǎo)數(shù)為零其一階導(dǎo)數(shù)為零其一階導(dǎo)數(shù)為零其一階導(dǎo)數(shù)為零，即，即可求得其可求得其無(wú)約束極值點(diǎn)無(wú)約束極值點(diǎn)：懲罰函數(shù)值懲罰函數(shù)值為：為：當(dāng)選用不同的當(dāng)選用不同的懲罰因子懲罰因子 時(shí)，可得到不同的時(shí)，可得到不同的極值點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)及及曲線曲線曲線曲線。取遞減數(shù)列，由上式取遞減數(shù)列，由上式可得可得序列如下：序列如下：上圖上圖上圖上圖表示出取值不同時(shí)所得到的表示出取值不同時(shí)所得到的約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn) 逐步逼逐步逼近近原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)的情形。的情形。由由上圖上圖可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)懲罰因子懲罰因子為一個(gè)遞減數(shù)列時(shí)，為一個(gè)遞減數(shù)列時(shí)，無(wú)約束極值點(diǎn)無(wú)約束極值點(diǎn) 離離約束最優(yōu)解約束最優(yōu)解愈來(lái)愈近，愈來(lái)愈近，當(dāng)即得到了真正的當(dāng)即得到了真正的約束最優(yōu)解約束最優(yōu)解。此時(shí)，此時(shí)，罰函數(shù)罰函數(shù)也收斂于也收斂于原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)值最優(yōu)值，即，即2.外點(diǎn)外點(diǎn)罰函數(shù)罰函數(shù)法法外點(diǎn)罰函數(shù)法外點(diǎn)罰函數(shù)法外點(diǎn)罰函數(shù)法外點(diǎn)罰函數(shù)法 適用于具有適用于具有等式等式等式等式和和不等式約束優(yōu)化問(wèn)題不等式約束優(yōu)化問(wèn)題不等式約束優(yōu)化問(wèn)題不等式約束優(yōu)化問(wèn)題。該算法該算法該算法該算法搜索策略與搜索策略與內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法相似，不同點(diǎn)是將相似，不同點(diǎn)是將懲罰函數(shù)懲罰函數(shù)的定的定義域?yàn)榉强尚杏颍丛诹x域?yàn)榉强尚杏?，即在可行域外可行域外進(jìn)行搜索。進(jìn)行搜索。取取外點(diǎn)罰函數(shù)外點(diǎn)罰函數(shù)的形式為的形式為其其懲罰項(xiàng)的含義懲罰項(xiàng)的含義如下：如下：(2-73)對(duì)于對(duì)于不等式約束問(wèn)題不等式約束問(wèn)題：上式上式說(shuō)明說(shuō)明:當(dāng)當(dāng) X 是是可行點(diǎn)可行點(diǎn)時(shí)，時(shí)，懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng)為零。為零。也就是說(shuō)當(dāng)極小化懲罰函數(shù)也就是說(shuō)當(dāng)極小化懲罰函數(shù) 時(shí)，時(shí)，X由不可行點(diǎn)迭代成可由不可行點(diǎn)迭代成可行點(diǎn)，此時(shí)，行點(diǎn)，此時(shí)，懲罰函數(shù)懲罰函數(shù)將與將與原目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù) 等價(jià)等價(jià)。此時(shí)懲罰函數(shù)的此時(shí)懲罰函數(shù)的最優(yōu)可行點(diǎn)最優(yōu)可行點(diǎn)，也將是原目標(biāo)函數(shù)的，也將是原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)罰函數(shù)中的外點(diǎn)罰函數(shù)中的罰因子罰因子是一遞增數(shù)列，即是一遞增數(shù)列，即 對(duì)于對(duì)于等式約束的優(yōu)化問(wèn)題等式約束的優(yōu)化問(wèn)題等式約束的優(yōu)化問(wèn)題等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，取，取外點(diǎn)罰函數(shù)的形式外點(diǎn)罰函數(shù)的形式外點(diǎn)罰函數(shù)的形式外點(diǎn)罰函數(shù)的形式為為對(duì)于對(duì)于同時(shí)具有同時(shí)具有不等式和等式約束問(wèn)題不等式和等式約束問(wèn)題，其，其罰函數(shù)的表達(dá)式罰函數(shù)的表達(dá)式為為(2-75)(2-74)在在外點(diǎn)罰函數(shù)法外點(diǎn)罰函數(shù)法中，為保證中，為保證罰因子罰因子 為遞增數(shù)列，取為遞增數(shù)列，取式中：式中：c 為遞增系數(shù)，為遞增系數(shù)，c 1。外點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)罰函數(shù)法法法法的的迭代步驟迭代步驟迭代步驟迭代步驟與與內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法基本相同?；鞠嗤Ｍ恻c(diǎn)罰函數(shù)外點(diǎn)罰函數(shù)外點(diǎn)罰函數(shù)外點(diǎn)罰函數(shù)的的程序計(jì)算框圖程序計(jì)算框圖程序計(jì)算框圖程序計(jì)算框圖，見(jiàn)見(jiàn)圖圖2-37。圖圖2-37 外點(diǎn)法的程序框圖外點(diǎn)法的程序框圖 3.混合罰函數(shù)法混合罰函數(shù)法混合罰函數(shù)法混合罰函數(shù)法混合罰函數(shù)法混合罰函數(shù)法是將是將內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法和和外點(diǎn)法外點(diǎn)法外點(diǎn)法外點(diǎn)法的罰函數(shù)形式結(jié)合起來(lái)，的罰函數(shù)形式結(jié)合起來(lái)，解決解決同時(shí)具有同時(shí)具有同時(shí)具有同時(shí)具有等式等式等式等式和和不等式約束的問(wèn)題不等式約束的問(wèn)題不等式約束的問(wèn)題不等式約束的問(wèn)題。其。其罰函數(shù)的表達(dá)式罰函數(shù)的表達(dá)式罰函數(shù)的表達(dá)式罰函數(shù)的表達(dá)式為為(2-76)式中，式中，為遞減的正數(shù)序列；為遞減的正數(shù)序列；為遞增的正數(shù)序列。為遞增的正數(shù)序列。也可將也可將兩個(gè)懲罰因子兩個(gè)懲罰因子加以合并，取和，得以加以合并，取和，得以下常用的下常用的混合罰函數(shù)混合罰函數(shù)混合罰函數(shù)混合罰函數(shù)：(2-77)式中，式中，為一遞減的正數(shù)序列為一遞減的正數(shù)序列。由上可見(jiàn)，由上可見(jiàn)，混合法混合法混合法混合法與與外點(diǎn)法外點(diǎn)法外點(diǎn)法外點(diǎn)法一樣，一樣，可用來(lái)求解既含可用來(lái)求解既含不等式約束不等式約束又又含含等式約束等式約束的的約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題。2.6 多目標(biāo)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化方法 在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，如果如果優(yōu)化模型優(yōu)化模型中的中的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)僅涉及一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，稱為僅涉及一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，稱為單目標(biāo)優(yōu)單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題化問(wèn)題；如果涉及兩項(xiàng)及兩項(xiàng)以上多個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)，則稱為如果涉及兩項(xiàng)及兩項(xiàng)以上多個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)，則稱為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。例如在例如在圖圖2-41所示的所示的港口門座式起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)港口門座式起重機(jī)變幅機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，希望在四桿機(jī)構(gòu)變幅行程中能達(dá)到的希望在四桿機(jī)構(gòu)變幅行程中能達(dá)到的幾項(xiàng)要求幾項(xiàng)要求有有：(1)象鼻梁象鼻梁E點(diǎn)落差點(diǎn)落差y盡可能?。ㄒ蟊M可能小（要求E點(diǎn)走水平直線）；點(diǎn)走水平直線）；(2)E點(diǎn)位移速度的波動(dòng)點(diǎn)位移速度的波動(dòng)v盡可能小盡可能?。ㄒ笠驟點(diǎn)的水平分速度的點(diǎn)的水平分速度的變化最小，以減小貨物的晃動(dòng)變化最小，以減小貨物的晃動(dòng)）；(3)變幅中驅(qū)動(dòng)臂架的變幅中驅(qū)動(dòng)臂架的力矩變化量力矩變化量M盡可能?。簇浳飳?duì)盡可能?。簇浳飳?duì)支點(diǎn)支點(diǎn)A所引起的所引起的傾覆力矩傾覆力矩差要盡量?。２钜M量?。D圖2-41 門座式起重機(jī)變幅四桿機(jī)構(gòu)門座式起重機(jī)變幅四桿機(jī)構(gòu)這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，同時(shí)要求這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，同時(shí)要求幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的問(wèn)題，達(dá)到最優(yōu)值的問(wèn)題，就是就是多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的的一般表達(dá)式一般表達(dá)式為：為：式中：式中：，是，是 q 維目標(biāo)向量維目標(biāo)向量。在在單目標(biāo)函數(shù)單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化過(guò)程中，可通過(guò)簡(jiǎn)單的最優(yōu)化過(guò)程中，可通過(guò)簡(jiǎn)單比較函數(shù)值的大小比較函數(shù)值的大小的方法去尋優(yōu)，獲得的方法去尋優(yōu)，獲得優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。(2-78)而在而在多目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化過(guò)程中，要使的最優(yōu)化過(guò)程中，要使幾項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)幾項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)同時(shí)都同時(shí)都達(dá)到達(dá)到最優(yōu)最優(yōu)最優(yōu)最優(yōu)，一般是比較難以實(shí)現(xiàn)的。因此，一般是比較難以實(shí)現(xiàn)的。因此多目標(biāo)問(wèn)題多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化遠(yuǎn)比單的優(yōu)化遠(yuǎn)比單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化要復(fù)雜得多。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化要復(fù)雜得多。在在多目標(biāo)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化方法中，較中，較常用的方法常用的方法有：有：通常，在通常，在多目標(biāo)問(wèn)題多目標(biāo)問(wèn)題求優(yōu)過(guò)程中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的求優(yōu)過(guò)程中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化出現(xiàn)優(yōu)化出現(xiàn)不一致不一致時(shí)，一般是在時(shí)，一般是在各分目標(biāo)各分目標(biāo)的的最優(yōu)值最優(yōu)值之之間進(jìn)行間進(jìn)行協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)，相互作出一些適當(dāng)?shù)男拚?，以取得一個(gè)對(duì)各分目標(biāo)函，相互作出一些適當(dāng)?shù)男拚?，以取得一個(gè)對(duì)各分目標(biāo)函數(shù)都能接受又比較好的數(shù)都能接受又比較好的最佳方案最佳方案。這是。這是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題常用的處理常用的處理方法。方法。v 加權(quán)組合法加權(quán)組合法v 功效系數(shù)法功效系數(shù)法v 主要目標(biāo)法等主要目標(biāo)法等2.6.1 加權(quán)組合法加權(quán)組合法將將多目標(biāo)問(wèn)題多目標(biāo)問(wèn)題的的各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)按按下式下式組合成組合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)：(2-79)和以下和以下和以下和以下約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題：(2-80)并并以此問(wèn)題以此問(wèn)題以此問(wèn)題以此問(wèn)題的的最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解作為作為原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)的一個(gè)相對(duì)最優(yōu)解相對(duì)最優(yōu)解。這種。這種求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法就是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法就是線性加權(quán)組合法線性加權(quán)組合法。上式中，為上式中，為加權(quán)因子加權(quán)因子，是一個(gè)大于零的正數(shù)，是一個(gè)大于零的正數(shù)，其值其值決定決定于各項(xiàng)分目標(biāo)的于各項(xiàng)分目標(biāo)的重要程度重要程度及其及其數(shù)量級(jí)大小數(shù)量級(jí)大小。加權(quán)組合法加權(quán)組合法加權(quán)組合法加權(quán)組合法的基本思想：的基本思想：的基本思想：的基本思想：若取若取 ，則稱則稱均勻計(jì)權(quán)均勻計(jì)權(quán)均勻計(jì)權(quán)均勻計(jì)權(quán)，表示，表示各項(xiàng)分目標(biāo)各項(xiàng)分目標(biāo)各項(xiàng)分目標(biāo)各項(xiàng)分目標(biāo)同等同等重要。重要。否則，可以用否則，可以用規(guī)格化加權(quán)處理規(guī)格化加權(quán)處理規(guī)格化加權(quán)處理規(guī)格化加權(quán)處理，即取，即取（2-81）以表示以表示各分目標(biāo)各分目標(biāo)在該項(xiàng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中所占的相對(duì)重要程度。在該項(xiàng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中所占的相對(duì)重要程度。在在加權(quán)組合法加權(quán)組合法加權(quán)組合法加權(quán)組合法中，中，加權(quán)因子加權(quán)因子選擇得合理與否，將直接影響優(yōu)選擇得合理與否，將直接影響優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。目前，較為實(shí)用的化設(shè)計(jì)的結(jié)果。目前，較為實(shí)用的加權(quán)方法加權(quán)方法有：有：容限加權(quán)法容限加權(quán)法 分析加權(quán)法分析加權(quán)法（）（）容限加權(quán)法容限加權(quán)法設(shè)已知設(shè)已知各分目標(biāo)函數(shù)值各分目標(biāo)函數(shù)值各分目標(biāo)函數(shù)值各分目標(biāo)函數(shù)值的的變動(dòng)范圍變動(dòng)范圍變動(dòng)范圍變動(dòng)范圍為為則稱則稱為為各目標(biāo)容限各目標(biāo)容限。取取加權(quán)因子加權(quán)因子為：為：（2-82）（2-83）（2-84）這樣這樣選擇加權(quán)因子選擇加權(quán)因子選擇加權(quán)因子選擇加權(quán)因子將起到將起到平衡各目標(biāo)數(shù)量級(jí)平衡各目標(biāo)數(shù)量級(jí)平衡各目標(biāo)數(shù)量級(jí)平衡各目標(biāo)數(shù)量級(jí)的作用。的作用。（）（）分析加權(quán)法分析加權(quán)法為能兼顧各項(xiàng)分目標(biāo)的為能兼顧各項(xiàng)分目標(biāo)的重要程度重要程度及其及其數(shù)量級(jí)數(shù)量級(jí)的影響，可將的影響，可將加權(quán)內(nèi)加權(quán)內(nèi)容容包括包括本征權(quán)本征權(quán)和和校征權(quán)校征權(quán)兩部分，即各分目標(biāo)的兩部分，即各分目標(biāo)的 可由可由兩個(gè)因子的乘兩個(gè)因子的乘積積組成，即組成，即式中：式中：本征權(quán)本征權(quán)的加權(quán)因子的加權(quán)因子 反映各項(xiàng)分評(píng)價(jià)指標(biāo)的反映各項(xiàng)分評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要性重要性；校征權(quán)校征權(quán)的加權(quán)因子的加權(quán)因子 用于調(diào)整各目標(biāo)在用于調(diào)整各目標(biāo)在數(shù)量級(jí)數(shù)量級(jí)上差別的上差別的 影響，影響，并在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中起逐步加以校征的并在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中起逐步加以校征的 作用。作用。該校征權(quán)因子值該校征權(quán)因子值可取：可?。?2-85)(2-86)2.6.2 功效系數(shù)法功效系數(shù)法 首先將首先將每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)每個(gè)分目標(biāo)函數(shù) 都用一個(gè)稱為都用一個(gè)稱為功效功效系數(shù)系數(shù) 表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的好壞好壞，該，該功效系數(shù)功效系數(shù) 是定義于是定義于 間的函數(shù)。間的函數(shù)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，表示第時(shí)，表示第 j 個(gè)目標(biāo)的效果達(dá)到最好；個(gè)目標(biāo)的效果達(dá)到最好；反之，當(dāng)反之，當(dāng) 時(shí)，表示它的效果很差，實(shí)際這個(gè)方案不能接受。時(shí)，表示它的效果很差，實(shí)際這個(gè)方案不能接受?？偣π禂?shù)總功效系數(shù)值值表示該設(shè)計(jì)方案的表示該設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣優(yōu)劣。因此，因此，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)是：應(yīng)是：功效系數(shù)法的基本思想功效系數(shù)法的基本思想功效系數(shù)法的基本思想功效系數(shù)法的基本思想是：是：在將每項(xiàng)分目標(biāo)化為相應(yīng)的功效系數(shù)后，則在將每項(xiàng)分目標(biāo)化為相應(yīng)的功效系數(shù)后，則總功效系數(shù)總功效系數(shù) 是各分是各分項(xiàng)功效系數(shù)項(xiàng)功效系數(shù) 的的幾何平均值幾何平均值，即，即（2-87）這樣，當(dāng)這樣，當(dāng) 時(shí)，表示時(shí)，表示多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題取得最理想的設(shè)計(jì)方案；取得最理想的設(shè)計(jì)方案；反之，當(dāng)反之，當(dāng) 時(shí)，則表示該設(shè)計(jì)方案是不能接受的，這時(shí)必有某時(shí)，則表示該設(shè)計(jì)方案是不能接受的，這時(shí)必有某項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)的功效系數(shù)項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)的功效系數(shù) 。圖圖2-42給出了給出了幾種常用功效系數(shù)函數(shù)曲線幾種常用功效系數(shù)函數(shù)曲線。其中，其中，圖圖(a):表示與值表示與值成正比成正比的功效系數(shù)的功效系數(shù) 函數(shù)；函數(shù)；圖圖(b):表示與值表示與值成反比成反比的功效系數(shù)的功效系數(shù) 函數(shù)；函數(shù)；圖圖(c):表示與值過(guò)大或過(guò)小都不行的功效系數(shù)表示與值過(guò)大或過(guò)小都不行的功效系數(shù) 函數(shù)。函數(shù)。圖圖2-42功效系數(shù)的函數(shù)曲線功效系數(shù)的函數(shù)曲線 由上圖可知，由上圖可知，功效系數(shù)函數(shù)功效系數(shù)函數(shù)功效系數(shù)函數(shù)功效系數(shù)函數(shù) 為一直線函數(shù)。當(dāng)知某一目標(biāo)函為一直線函數(shù)。當(dāng)知某一目標(biāo)函數(shù)數(shù) 值時(shí)就可得到相應(yīng)于它的值時(shí)就可得到相應(yīng)于它的功效系數(shù)函數(shù)值功效系數(shù)函數(shù)值 。在使用在使用功效系數(shù)法功效系數(shù)法功效系數(shù)法功效系數(shù)法時(shí)，還應(yīng)作出時(shí)，還應(yīng)作出相應(yīng)的規(guī)定相應(yīng)的規(guī)定：例如，例如，規(guī)定規(guī)定規(guī)定規(guī)定 0時(shí)時(shí) 表明該方案不可接受；表明該方案不可接受；0.5時(shí)時(shí) 為可接受方案的功效系數(shù)下限；為可接受方案的功效系數(shù)下限；0.5 0.6 為邊緣狀況；為邊緣狀況；0.6 0.7 為效果稍差但可接受方案；為效果稍差但可接受方案；0.7 1 為效果較好方案。為效果較好方案。使用使用功效系數(shù)法功效系數(shù)法功效系數(shù)法功效系數(shù)法來(lái)求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的來(lái)求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)特點(diǎn)在于：在于：(1)用用總功效系數(shù)總功效系數(shù)總功效系數(shù)總功效系數(shù) 作為作為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)F F(x x)，這樣建立多目標(biāo)的這樣建立多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，雖然計(jì)算稍繁，但對(duì)工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，還是一種較優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，雖然計(jì)算稍繁，但對(duì)工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，還是一種較為有效的方法，它比較直觀且調(diào)整容易；為有效的方法，它比較直觀且調(diào)整容易；(2)不論各項(xiàng)分目標(biāo)的不論各項(xiàng)分目標(biāo)的量級(jí)量級(jí)及及量綱量綱如何，最終如何，最終都轉(zhuǎn)化成都轉(zhuǎn)化成01間的間的數(shù)值，而且一旦有其中數(shù)值，而且一旦有其中一項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)值一項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)值達(dá)不到設(shè)計(jì)要求時(shí)達(dá)不到設(shè)計(jì)要求時(shí) ,其其總功效系數(shù)總功效系數(shù) 必為零，表明必為零，表明設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)方案不可接受不可接受，需要重新調(diào)整約，需要重新調(diào)整約束條件或各分目標(biāo)函數(shù)的臨界值；束條件或各分目標(biāo)函數(shù)的臨界值；(3)功效系數(shù)法功效系數(shù)法易于處理有的目標(biāo)函數(shù)既不是越大越好，也不是易于處理有的目標(biāo)函數(shù)既不是越大越好，也不是越小越好的情況。越小越好的情況。2.6.3 主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法 主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法的的基本思想基本思想基本思想基本思想是：是：考慮到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中各個(gè)目標(biāo)的考慮到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中各個(gè)目標(biāo)的重要程度重要程度重要程度重要程度不一樣，在所有目不一樣，在所有目標(biāo)函數(shù)中標(biāo)函數(shù)中選出選出選出選出一個(gè)較為重要的目標(biāo)一個(gè)較為重要的目標(biāo)一個(gè)較為重要的目標(biāo)一個(gè)較為重要的目標(biāo)作為作為主要設(shè)計(jì)目標(biāo)主要設(shè)計(jì)目標(biāo)主要設(shè)計(jì)目標(biāo)主要設(shè)計(jì)目標(biāo)，而把，而把其它目標(biāo)其它目標(biāo)其它目標(biāo)其它目標(biāo)作為作為作為作為約束函數(shù)處理約束函數(shù)處理，構(gòu)成一個(gè)，構(gòu)成一個(gè)新的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題新的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題新的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題新的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并將該單目標(biāo)問(wèn)，并將該單目標(biāo)問(wèn)題的題的最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解作為所求多目標(biāo)問(wèn)題的相對(duì)最優(yōu)解。作為所求多目標(biāo)問(wèn)題的相對(duì)最優(yōu)解。對(duì)對(duì)于于多多目目標(biāo)標(biāo)優(yōu)優(yōu)化化問(wèn)問(wèn)題題式式(2-78)，主主主主要要要要目目目目標(biāo)標(biāo)標(biāo)標(biāo)法法法法所所構(gòu)構(gòu)成成的的單單單單目目目目標(biāo)標(biāo)標(biāo)標(biāo)優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)化化化化問(wèn)問(wèn)問(wèn)問(wèn)題題題題如下：如下：(2-88)式中，式中，和和 分別是分別是目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 的的下限下限和和上限上限。采用采用主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法主要目標(biāo)法將多目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題將多目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為一個(gè)一個(gè)新的單目標(biāo)約新的單目標(biāo)約新的單目標(biāo)約新的單目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題束優(yōu)化問(wèn)題束優(yōu)化問(wèn)題束優(yōu)化問(wèn)題后，就可選用后，就可選用上節(jié)上節(jié)所介紹的所介紹的約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法進(jìn)行其求解。進(jìn)行其求解。2.7 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用工程優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用 前面幾節(jié)前面幾節(jié)前面幾節(jié)前面幾節(jié)介紹了工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的介紹了工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的有關(guān)理論及方法有關(guān)理論及方法有關(guān)理論及方法有關(guān)理論及方法，本節(jié)本節(jié)以以實(shí)例實(shí)例闡述闡述如何運(yùn)用這些理論及方法來(lái)解決如何運(yùn)用這些理論及方法來(lái)解決工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。2.7.1 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般工作步驟工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般工作步驟工程優(yōu)化設(shè)計(jì)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)工程優(yōu)化設(shè)計(jì)包含包含兩方面的工作兩方面的工作：一是一是一是一是根據(jù)具體設(shè)計(jì)要求，建立工程優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型；根據(jù)具體設(shè)計(jì)要求，建立工程優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型；二是二是二是二是選擇合適的優(yōu)化方法及程序進(jìn)行求解。選擇合適的優(yōu)化方法及程序進(jìn)行求解。進(jìn)行進(jìn)行工程問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)工程問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，其一般時(shí)，其一般工作步驟工作步驟如下：如下：1.建立工程優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立工程優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型解決解決解決解決工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵關(guān)鍵關(guān)鍵，是建立正確的，是建立正確的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。為此，要正確地為此，要正確地選擇選擇選擇選擇設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和和約束條件約束條件，并把它們組，并把它們組合在一起，成為一組能合在一起，成為一組能準(zhǔn)確地準(zhǔn)確地反映工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的反映工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)，要使建立的同時(shí)，要使建立的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型容易處理和求解容易處理和求解容易處理和求解容易處理和求解。因而，建立因而，建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的的要求要求是是：一要正確，二要易于求解。一要正確，二要易于求解。2.選擇合適的優(yōu)化方法和計(jì)算程序選擇合適的優(yōu)化方法和計(jì)算程序 為為求解求解工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型，應(yīng)優(yōu)先，應(yīng)優(yōu)先選擇選擇可靠性好可靠性好，收斂速收斂速度快度快，算法穩(wěn)定性好算法穩(wěn)定性好及及對(duì)參數(shù)敏感性小對(duì)參數(shù)敏感性小的的優(yōu)化方法優(yōu)化方法和和計(jì)算程序計(jì)算程序。為了便于對(duì)工程優(yōu)化問(wèn)題的求解，目前國(guó)內(nèi)外均已開發(fā)出通用的為了便于對(duì)工程優(yōu)化問(wèn)題的求解，目前國(guó)內(nèi)外均已開發(fā)出通用的優(yōu)化程序庫(kù)優(yōu)化程序庫(kù)，使得優(yōu)化方法和計(jì)算程序的選擇不再是困難的問(wèn)題。，使得優(yōu)化方法和計(jì)算程序的選擇不再是困難的問(wèn)題。3.編寫主程序和函數(shù)子程序，編寫主程序和函數(shù)子程序，上機(jī)調(diào)試和計(jì)算，求得最優(yōu)解上機(jī)調(diào)試和計(jì)算，求得最優(yōu)解 一個(gè)完整的一個(gè)完整的優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序應(yīng)由如下應(yīng)由如下三個(gè)部分三個(gè)部分三個(gè)部分三個(gè)部分組成：組成：優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序優(yōu)化運(yùn)行程序主程序主程序主程序主程序優(yōu)化模型函數(shù)子程序優(yōu)化模型函數(shù)子程序優(yōu)化模型函數(shù)子程序優(yōu)化模型函數(shù)子程序優(yōu)化算法子程序優(yōu)化算法子程序優(yōu)化算法子程序優(yōu)化算法子程序 因此，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)人員是在調(diào)用因此，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)人員是在調(diào)用優(yōu)化程序優(yōu)化程序優(yōu)化程序優(yōu)化程序求解自己的實(shí)際問(wèn)題求解自己的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按要求時(shí)，應(yīng)按要求編寫主程序編寫主程序編寫主程序編寫主程序和優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的和優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的函數(shù)子程序函數(shù)子程序，將，將它們它們與與優(yōu)化程序庫(kù)優(yōu)化程序庫(kù)優(yōu)化程序庫(kù)優(yōu)化程序庫(kù)聯(lián)成一個(gè)完整的應(yīng)用軟件系統(tǒng)。聯(lián)成一個(gè)完整的應(yīng)用軟件系統(tǒng)。然后然后上機(jī)調(diào)試和計(jì)算，求得優(yōu)化問(wèn)題的上機(jī)調(diào)試和計(jì)算，求得優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)果最優(yōu)結(jié)果。4.對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析，確定最優(yōu)解對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析，確定最優(yōu)解 求得求得優(yōu)化結(jié)果優(yōu)化結(jié)果優(yōu)化結(jié)果優(yōu)化結(jié)果后，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分析、比較，看其是否符合實(shí)際，后，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分析、比較，看其是否符合實(shí)際，是否滿足設(shè)計(jì)要求，以決定是否采用。若發(fā)現(xiàn)它不符合實(shí)際或不滿足是否滿足設(shè)計(jì)要求，以決定是否采用。若發(fā)現(xiàn)它不符合實(shí)際或不滿足設(shè)計(jì)要求，應(yīng)考慮修改設(shè)計(jì)要求，應(yīng)考慮修改數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型或選擇或選擇不同的算法不同的算法不同的算法不同的算法求解。求解。為了給為了給工程設(shè)計(jì)人員工程設(shè)計(jì)人員工程設(shè)計(jì)人員工程設(shè)計(jì)人員提供一個(gè)提供一個(gè)求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有力工具有力工具，目前國(guó)內(nèi)、外許多目前國(guó)內(nèi)、外許多CAD軟件中均開發(fā)有軟件中均開發(fā)有優(yōu)化軟件包優(yōu)化軟件包優(yōu)化軟件包優(yōu)化軟件包或或優(yōu)化算法庫(kù)優(yōu)化算法庫(kù)優(yōu)化算法庫(kù)優(yōu)化算法庫(kù)，如：如：我國(guó)我國(guó)“六五六五”期間研制的期間研制的“常用優(yōu)化方法程序庫(kù)常用優(yōu)化方法程序庫(kù)OPB-1”和和“七五七五”期間開發(fā)的期間開發(fā)的“優(yōu)化方法及計(jì)算方法軟件庫(kù)優(yōu)化方法及計(jì)算方法軟件庫(kù)OPB-2”等等。這樣，這樣，工程技術(shù)人員工程技術(shù)人員在掌握工程問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟悉在掌握工程問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟悉工程優(yōu)化軟件有關(guān)功能的基礎(chǔ)上，調(diào)用優(yōu)化工具箱的函數(shù)，可簡(jiǎn)捷方工程優(yōu)化軟件有關(guān)功能的基礎(chǔ)上，調(diào)用優(yōu)化工具箱的函數(shù)，可簡(jiǎn)捷方便地處理便地處理工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。Pro/Engineer MATLAB2.7.2 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例工程優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例 已已知知單單單單級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)直直直直齒齒齒齒圓圓圓圓柱柱柱柱齒齒齒齒輪輪輪輪減減減減速速速速器器器器的的輸輸入入扭扭矩矩T1=2674Nm，傳傳動(dòng)動(dòng)比比i=5，現(xiàn)現(xiàn)要要求求確確定定該該減減速速器器的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)參參數(shù)數(shù)，在在保保證證承承載載能能力力條條件件下下，使使減減速速器器的的重重量量最最輕輕。小小齒齒輪輪擬擬選選用用實(shí)實(shí)心心輪輪結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，大大齒齒輪輪為為四四孔孔輻輻板板式式結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，其其結(jié)構(gòu)尺寸如結(jié)構(gòu)尺寸如圖圖2-43所示，圖中所示，圖中1=280mm，2=320mm。實(shí)例實(shí)例實(shí)例實(shí)例1 1 單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)圖圖2-43 單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器結(jié)構(gòu)圖單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器結(jié)構(gòu)圖(a)傳動(dòng)圖；傳動(dòng)圖；(b)小齒輪；小齒輪；(C)大齒輪大齒輪解：解：1.建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型：(1)齒輪幾何計(jì)算公式齒輪幾何計(jì)算公式，于是于是該減速器該減速器該減速器該減速器的的齒輪與軸的體積之和齒輪與軸的體積之和齒輪與軸的體積之和齒輪與軸的體積之和則為則為 從上述從上述計(jì)算計(jì)算齒輪減速器體積齒輪減速器體積（簡(jiǎn)化為齒輪和軸的體積簡(jiǎn)化為齒輪和軸的體積）的的基本基本公式公式中可知，中可知，體積體積V 取決于：取決于：齒輪寬度齒輪寬度B、小齒輪齒數(shù)小齒輪齒數(shù)z1、模數(shù)模數(shù)m、軸的支承跨距軸的支承跨距 、主動(dòng)軸直徑主動(dòng)軸直徑、從動(dòng)軸直徑從動(dòng)軸直徑 和傳動(dòng)比和傳動(dòng)比等等7個(gè)參數(shù)。個(gè)參數(shù)。其中其中傳動(dòng)比傳動(dòng)比 為為常量常量，由已知條件給定。，由已知條件給定。(2)確定設(shè)計(jì)變量確定設(shè)計(jì)變量所以，所以，該優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題該優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可取可取設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量為為 以以齒齒輪輪減減速速器器的的重重量量最最輕輕為為優(yōu)優(yōu)化化目目標(biāo)標(biāo)，而而此此減減速速器器的的重重量量可可以以一對(duì)齒輪一對(duì)齒輪和和兩根軸兩根軸的的重量之和重量之和重量之和重量之和近似求出。近似求出。由此，由此，減速器的重量減速器的重量 ，因鋼的因鋼的密度密度 為常數(shù)，為常數(shù)，所以可取所以可取減速器的體積減速器的體積為為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)。將將設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量代入減速器的代入減速器的體積公式體積公式，經(jīng)整理后得，經(jīng)整理后得目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為：為：(3)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù) 1）為）為避免發(fā)生根切避免發(fā)生根切，小齒輪的齒數(shù)，小齒輪的齒數(shù) 不應(yīng)小于最小齒數(shù)不應(yīng)小于最小齒數(shù) ，即即 ，于是得，于是得約束條件約束條件 2）傳遞動(dòng)力傳遞動(dòng)力的齒輪，要求的齒輪，要求齒輪模數(shù)齒輪模數(shù)一般應(yīng)大于一般應(yīng)大于2mm，故得故得本問(wèn)題本問(wèn)題的的約束條件約束條件，由，由強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件、剛度條件剛度條件、結(jié)構(gòu)工