《現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法》研究生課件,現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法,現(xiàn)代,設(shè)計(jì),理論,方法,研究生,課件 第第5章章 有限元法有限元法(1)Finite Element Method(FEM)第第5章章 有限元法有限元法內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介 有限元法有限元法是結(jié)構(gòu)分析的一種是結(jié)構(gòu)分析的一種數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法。它在。它在20世紀(jì)世紀(jì)50年代初年代初期隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展應(yīng)運(yùn)而生。期隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展應(yīng)運(yùn)而生。這一方法這一方法的的理論基礎(chǔ)牢靠理論基礎(chǔ)牢靠，物理概念清晰物理概念清晰，解題效率高解題效率高，適應(yīng)性適應(yīng)性強(qiáng)強(qiáng)，目前已成為，目前已成為機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)、靜靜、熱特性分析熱特性分析的重要手段，它的程序的重要手段，它的程序包是包是機(jī)械產(chǎn)品計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法庫(kù)機(jī)械產(chǎn)品計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法庫(kù)中不可缺少的內(nèi)容之一。中不可缺少的內(nèi)容之一。本章本章介紹了介紹了如下內(nèi)容如下內(nèi)容:有限元法的基本思想及應(yīng)用有限元法的基本思想及應(yīng)用 平面問(wèn)題有限元分析原理及步驟平面問(wèn)題有限元分析原理及步驟 有限元分析的前后處理有限元分析的前后處理 有限元法的設(shè)計(jì)應(yīng)用及計(jì)算實(shí)例有限元法的設(shè)計(jì)應(yīng)用及計(jì)算實(shí)例5.1 概述概述 在在工程分析工程分析和和科學(xué)研究科學(xué)研究中，常常會(huì)遇到大量的由中，常常會(huì)遇到大量的由常微分方程常微分方程、偏偏微分方程微分方程及相應(yīng)的及相應(yīng)的邊界條件邊界條件描述的描述的場(chǎng)問(wèn)題場(chǎng)問(wèn)題，如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度，如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)等問(wèn)題。目前求解這類(lèi)場(chǎng)等問(wèn)題。目前求解這類(lèi)場(chǎng)問(wèn)題場(chǎng)問(wèn)題的方法主要有的方法主要有兩種兩種：用用解析法解析法求得精確解；求得精確解；用用數(shù)值解法數(shù)值解法求其近似解。求其近似解。其中，其中，能用能用解析法解析法求出求出精確解精確解的只能是方程性質(zhì)比較簡(jiǎn)單且?guī)缀蔚闹荒苁欠匠绦再|(zhì)比較簡(jiǎn)單且?guī)缀芜吔缦喈?dāng)規(guī)則的少數(shù)問(wèn)題。邊界相當(dāng)規(guī)則的少數(shù)問(wèn)題。而對(duì)于絕大多數(shù)問(wèn)題，則很少能得出而對(duì)于絕大多數(shù)問(wèn)題，則很少能得出解析解解析解。這就需要研究它的。這就需要研究它的數(shù)值解法數(shù)值解法，以求出，以求出近似解近似解。目前，工程中實(shí)用的目前，工程中實(shí)用的數(shù)值解法數(shù)值解法數(shù)值解法數(shù)值解法主要有主要有三種三種：有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 邊界元法邊界元法 其中，以其中，以有限元法有限元法通用性最好通用性最好，解題效率高解題效率高，工程應(yīng)用最廣工程應(yīng)用最廣。目前它已成為目前它已成為機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)、靜靜、熱特性分析熱特性分析的重要手段，的重要手段，它的程它的程它的程它的程序包序包序包序包是是機(jī)械產(chǎn)品計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法庫(kù)機(jī)械產(chǎn)品計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法庫(kù)中不可缺少的內(nèi)容之一。中不可缺少的內(nèi)容之一?！坝邢拊ㄓ邢拊ㄓ邢拊ㄓ邢拊ā钡牡幕舅枷牖舅枷牖舅枷牖舅枷朐缭谠缭?0世紀(jì)世紀(jì)40年代初期就有人提出，年代初期就有人提出，但但真正用于工程中則是真正用于工程中則是電子計(jì)算機(jī)電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后。出現(xiàn)以后?！坝邢拊ㄓ邢拊ㄓ邢拊ㄓ邢拊?”這一名稱(chēng)是這一名稱(chēng)是1960年美國(guó)的年美國(guó)的克拉夫克拉夫（Clough，R.W.）在一篇題為在一篇題為“平面應(yīng)力分析的有限元法平面應(yīng)力分析的有限元法”論文中首先使用。此后，論文中首先使用。此后，有有限元法限元法的應(yīng)用得到蓬勃發(fā)展。的應(yīng)用得到蓬勃發(fā)展。到到20世紀(jì)世紀(jì)80年代初期國(guó)際上較大型的年代初期國(guó)際上較大型的結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析有限元通用程序有限元通用程序多多達(dá)達(dá)幾百種幾百種，從而為，從而為工程應(yīng)用工程應(yīng)用提供了方便條件。由于有限元通用程序提供了方便條件。由于有限元通用程序使用方便，計(jì)算精度高，其計(jì)算結(jié)果已成為使用方便，計(jì)算精度高，其計(jì)算結(jié)果已成為各類(lèi)工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)各類(lèi)工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和和性性能分析能分析的可靠依據(jù)。的可靠依據(jù)。有限元法的分析過(guò)程有限元法的分析過(guò)程有限元法的分析過(guò)程有限元法的分析過(guò)程可概括如下：可概括如下：連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化 單元分析單元分析 整體分析整體分析 確定約束條件確定約束條件 有限元方程求解有限元方程求解 結(jié)果分析與討論結(jié)果分析與討論1.連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化連續(xù)體連續(xù)體：是指所：是指所求解的對(duì)象求解的對(duì)象（如物體或結(jié)構(gòu)）。（如物體或結(jié)構(gòu)）。離散化離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化）：是將所求解的對(duì)象）：是將所求解的對(duì)象劃分劃分為有限為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的個(gè)具有規(guī)則形狀的微小塊體微小塊體，把每個(gè)微小塊體稱(chēng)為，把每個(gè)微小塊體稱(chēng)為單元單元，相鄰兩個(gè)，相鄰兩個(gè)單元單元之間只通過(guò)之間只通過(guò)若干點(diǎn)若干點(diǎn)互相連接，每個(gè)連接點(diǎn)稱(chēng)為互相連接，每個(gè)連接點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。相鄰相鄰單元單元只在只在節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)處連接，連接，載荷載荷也只通過(guò)也只通過(guò)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)在在各單元各單元之間傳之間傳遞，這些遞，這些有限個(gè)單元有限個(gè)單元的的集合體，集合體，即原來(lái)的即原來(lái)的連續(xù)體連續(xù)體。單元單元?jiǎng)澐趾?，給每個(gè)劃分后，給每個(gè)單元單元及及節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)；進(jìn)行編號(hào)；選定坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)選定坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；確定各個(gè)確定各個(gè)單元單元的的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及以及邊界條件邊界條件等。等。圖圖5-1 所示為將一所示為將一懸臂梁懸臂梁懸臂梁懸臂梁建立建立有限元分析模型有限元分析模型有限元分析模型有限元分析模型的例子。的例子。圖中將該圖中將該懸臂梁懸臂梁劃分為許多劃分為許多三角形單元三角形單元；三角形單元三角形單元的的三個(gè)頂點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)都是都是節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。圖圖5-1 懸臂梁及其有限元模型懸臂梁及其有限元模型 2.單元分析單元分析 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化后，即可對(duì)后，即可對(duì)單元體單元體進(jìn)行特性分析，簡(jiǎn)稱(chēng)為進(jìn)行特性分析，簡(jiǎn)稱(chēng)為單元分析單元分析。單元分析工作單元分析工作主要有主要有兩項(xiàng)兩項(xiàng)：(1)(1)選擇單元位移模式選擇單元位移模式(位移函數(shù)位移函數(shù))用用節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)單元體內(nèi)任一點(diǎn)的的位移位移、應(yīng)變應(yīng)變和和應(yīng)力應(yīng)力，就需，就需搞清搞清各單元各單元中的中的位移分布位移分布。一般是假定一般是假定單元位移單元位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，的分布規(guī)律，這種函數(shù)這種函數(shù)就稱(chēng)為就稱(chēng)為位移模式位移模式或或位移函數(shù)位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)。通常采用的函數(shù)形式多為多項(xiàng)式。形式多為多項(xiàng)式。根據(jù)所選定的根據(jù)所選定的位移模式位移模式，就可以導(dǎo)出用，就可以導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體來(lái)表示單元體內(nèi)內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。進(jìn)行進(jìn)行單元單元力學(xué)特性分析力學(xué)特性分析，將作用在，將作用在單元上單元上的的所有力所有力（表面（表面力、體積力、集中力）等效地移置為力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷；采用有關(guān)的力學(xué)原理建立采用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元的平衡方程單元的平衡方程，求得單元內(nèi)，求得單元內(nèi)節(jié)節(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移與與節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系矩陣之間的關(guān)系矩陣 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?2)分析單元的特性分析單元的特性，建立單元?jiǎng)偠染仃嚱卧獎(jiǎng)偠染仃?3.整體分析整體分析 把把各個(gè)單元各個(gè)單元的的剛度矩陣剛度矩陣集成為集成為總體剛度矩陣總體剛度矩陣，以及將，以及將各單各單元元的的節(jié)點(diǎn)力向量節(jié)點(diǎn)力向量集成集成總的力向量總的力向量，求得，求得整體平衡方程整體平衡方程。集成過(guò)程所依據(jù)的原理是集成過(guò)程所依據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件和和平衡條件平衡條件。4.確定約束條件確定約束條件由上述所形成的由上述所形成的整體平衡方程整體平衡方程整體平衡方程整體平衡方程是是一組線性代數(shù)方程一組線性代數(shù)方程，在求解，在求解之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定求解對(duì)象問(wèn)題求解對(duì)象問(wèn)題求解對(duì)象問(wèn)題求解對(duì)象問(wèn)題的的邊界約束條邊界約束條件件，并對(duì)，并對(duì)這些方程這些方程進(jìn)行適當(dāng)修正。進(jìn)行適當(dāng)修正。5.有限元方程求解有限元方程求解通過(guò)通過(guò)求解求解整體平衡方程整體平衡方程，即可求得，即可求得各節(jié)點(diǎn)各節(jié)點(diǎn)的的位移位移，進(jìn)而根據(jù)進(jìn)而根據(jù)位移位移可計(jì)算可計(jì)算單元單元的的應(yīng)力應(yīng)力及及應(yīng)變應(yīng)變。6.結(jié)果分析與討論結(jié)果分析與討論 應(yīng)用應(yīng)用有限元法有限元法有限元法有限元法求解機(jī)械結(jié)構(gòu)應(yīng)力類(lèi)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)求解機(jī)械結(jié)構(gòu)應(yīng)力類(lèi)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)未知量未知量和和分析分析方法方法的不同，有的不同，有三種基本解法三種基本解法：位移法位移法 力法力法 混合法混合法 (1)位移法位移法此法此法是以是以節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移作為作為基本未知量基本未知量，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)?，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)位移函數(shù)，進(jìn)行進(jìn)行單元單元的力學(xué)特性分析。在的力學(xué)特性分析。在節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)處建立建立單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠蹋俳M合成，再組合成整整體剛度矩陣體剛度矩陣，求解出，求解出節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移后，進(jìn)而由后，進(jìn)而由節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移求解出求解出應(yīng)力應(yīng)力。位移法優(yōu)點(diǎn)位移法優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。所以是比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。所以得到廣泛應(yīng)用，其缺點(diǎn)是精度稍低。得到廣泛應(yīng)用，其缺點(diǎn)是精度稍低。(2)力法力法該法該法是以是以節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力作作為為基本未知量基本未知量，在，在節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)處建立位移連續(xù)方建立位移連續(xù)方程，求解出程，求解出節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力后，再求解后，再求解節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移和和單元應(yīng)力單元應(yīng)力。力法的特點(diǎn)力法的特點(diǎn)是計(jì)算精度高。是計(jì)算精度高。(3)混合法混合法此法此法是取一部分是取一部分節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移和一部分和一部分節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力作為作為基本未知量基本未知量，建，建立立平衡方程平衡方程進(jìn)行求解。進(jìn)行求解。有限元法有限元法有限元法有限元法最初用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)的最初用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度設(shè)計(jì)，由于它在理論上的通用，由于它在理論上的通用性，因而它可用于解決工程中的許多問(wèn)題。性，因而它可用于解決工程中的許多問(wèn)題。目前，它可以解決幾乎所有的目前，它可以解決幾乎所有的連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì)和和場(chǎng)場(chǎng)的問(wèn)題，包括熱傳導(dǎo)、的問(wèn)題，包括熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體動(dòng)力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、原子工程和生物醫(yī)學(xué)等方面的問(wèn)題。電磁場(chǎng)、流體動(dòng)力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、原子工程和生物醫(yī)學(xué)等方面的問(wèn)題。機(jī)械設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機(jī)床、汽車(chē)、飛中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機(jī)床、汽車(chē)、飛機(jī)等機(jī)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形分析（包括熱應(yīng)力和熱變形分析）。的應(yīng)力和變形分析（包括熱應(yīng)力和熱變形分析）。有限元法有限元法有限元法有限元法不僅可以解決工程中的線性問(wèn)題、非線性問(wèn)題，而且對(duì)不僅可以解決工程中的線性問(wèn)題、非線性問(wèn)題，而且對(duì)于各種不同性質(zhì)的固體材料，如各向同性和各向異性材料，粘彈性和于各種不同性質(zhì)的固體材料，如各向同性和各向異性材料，粘彈性和粘塑性材料以及流體均能求解；粘塑性材料以及流體均能求解；對(duì)于工程中最有普遍意義的對(duì)于工程中最有普遍意義的非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題也能求解。也能求解。到到20世紀(jì)世紀(jì)80年代初期，國(guó)際上已開(kāi)發(fā)出了多種用于結(jié)構(gòu)分析的年代初期，國(guó)際上已開(kāi)發(fā)出了多種用于結(jié)構(gòu)分析的有有限元通用程序限元通用程序，其中著名的有，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、SAP等。等。表表5-1列出了列出了幾種國(guó)際上幾種國(guó)際上幾種國(guó)際上幾種國(guó)際上流行的流行的商用有限元程序商用有限元程序的的應(yīng)用范圍應(yīng)用范圍。表表5-1 幾種有限元程序及其應(yīng)用范圍幾種有限元程序及其應(yīng)用范圍 程序名程序名應(yīng)用應(yīng)用范圍范圍ADINAANSYSASKAMARCNASTRANSAP非線性分析非線性分析塑性分析塑性分析斷裂力學(xué)斷裂力學(xué)熱熱應(yīng)力與蠕變應(yīng)力與蠕變厚板厚板厚殼厚殼管道系統(tǒng)管道系統(tǒng)船舶結(jié)構(gòu)船舶結(jié)構(gòu)焊接接頭焊接接頭粘粘彈性材料彈性材料表表5-1(續(xù)續(xù))幾種有限元程序及其應(yīng)用范圍幾種有限元程序及其應(yīng)用范圍 程序名程序名應(yīng)用應(yīng)用范圍范圍ADINAANSYSASKAMARCNASTRANSAP熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)薄板薄殼薄板薄殼復(fù)合材料復(fù)合材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性流體力學(xué)流體力學(xué)氣動(dòng)彈性力學(xué)氣動(dòng)彈性力學(xué)電場(chǎng)電場(chǎng)5.2 單元特性的推導(dǎo)方法5.2.1 單元?jiǎng)澐址椒霸瓌t單元?jiǎng)澐址椒霸瓌t 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化時(shí)，要根據(jù)時(shí)，要根據(jù)設(shè)計(jì)對(duì)象設(shè)計(jì)對(duì)象的具體情況的具體情況（結(jié)構(gòu)物的形狀、結(jié)構(gòu)物的形狀、載荷特性、邊界條件等載荷特性、邊界條件等），確定確定單元（網(wǎng)格）的大小和形狀、單元的單元（網(wǎng)格）的大小和形狀、單元的數(shù)目以及劃分?jǐn)?shù)目以及劃分方案方案。圖圖5-2桿狀單元桿狀單元圖圖5-2 所示為所示為桿狀單元桿狀單元。可有。可有一維一維、二維二維和和三維梁?jiǎn)卧S梁?jiǎn)卧?。圖圖5-3 平面單元和多面體單元平面單元和多面體單元常用的常用的平面單元平面單元平面單元平面單元和和多面體單元多面體單元，如，如圖圖5-3所示。所示。單元的劃分單元的劃分單元的劃分單元的劃分基本上是任意的，一個(gè)結(jié)構(gòu)體可以有基本上是任意的，一個(gè)結(jié)構(gòu)體可以有多種劃分結(jié)果多種劃分結(jié)果多種劃分結(jié)果多種劃分結(jié)果。但應(yīng)遵循以下但應(yīng)遵循以下劃分原則劃分原則：(1)分析清楚所討論對(duì)象的性質(zhì)，例如，是分析清楚所討論對(duì)象的性質(zhì)，例如，是桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)還是還是結(jié)構(gòu)物結(jié)構(gòu)物，是是平面問(wèn)題平面問(wèn)題還是還是空間問(wèn)題空間問(wèn)題等等。等等。(2)單元單元的幾何形狀取決于結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力情況，的幾何形狀取決于結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力情況，單元單元的的幾何尺幾何尺寸寸(大小大小)要按照要求確定。一般來(lái)說(shuō)，要按照要求確定。一般來(lái)說(shuō)，單元幾何形體單元幾何形體各邊的長(zhǎng)度比各邊的長(zhǎng)度比不不能相差太大。能相差太大。(3)有限元模型的有限元模型的網(wǎng)格網(wǎng)格劃分越密，其計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算工劃分越密，其計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算工作量就越大。作量就越大。因此，在保證因此，在保證計(jì)算精度計(jì)算精度的前提下，單元網(wǎng)格數(shù)量應(yīng)盡量少。的前提下，單元網(wǎng)格數(shù)量應(yīng)盡量少。(4)在進(jìn)行在進(jìn)行網(wǎng)格疏密布局網(wǎng)格疏密布局時(shí)，時(shí)，應(yīng)力集中應(yīng)力集中或或變形較大變形較大的部位，的部位，單元單元網(wǎng)格網(wǎng)格應(yīng)取小一些，應(yīng)取小一些，網(wǎng)格網(wǎng)格應(yīng)劃分得密一些，而其他部分則可疏一些。應(yīng)劃分得密一些，而其他部分則可疏一些。(5)在在設(shè)計(jì)對(duì)象設(shè)計(jì)對(duì)象的的厚度厚度或者或者彈性系數(shù)彈性系數(shù)有突變有突變的情況下，應(yīng)該取相應(yīng)的情況下，應(yīng)該取相應(yīng)的突變線作為網(wǎng)格的的突變線作為網(wǎng)格的邊界線邊界線；(6)相鄰單元的相鄰單元的邊界邊界必須相容，不能從一必須相容，不能從一單元單元的邊或者面的內(nèi)部產(chǎn)的邊或者面的內(nèi)部產(chǎn)生另一個(gè)單元的頂點(diǎn)。生另一個(gè)單元的頂點(diǎn)。(7)網(wǎng)格劃分后，要將網(wǎng)格劃分后，要將全部單元全部單元和和節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)按順序編號(hào)，不允許有錯(cuò)漏按順序編號(hào)，不允許有錯(cuò)漏或者重復(fù)；或者重復(fù)；(8)劃分的劃分的單元單元集合成集合成整體整體后，應(yīng)精確逼近原設(shè)計(jì)對(duì)象。原設(shè)計(jì)后，應(yīng)精確逼近原設(shè)計(jì)對(duì)象。原設(shè)計(jì)對(duì)象的對(duì)象的各個(gè)頂點(diǎn)各個(gè)頂點(diǎn)都應(yīng)該取成都應(yīng)該取成單元的頂點(diǎn)單元的頂點(diǎn)。所有網(wǎng)格的所有網(wǎng)格的表面頂點(diǎn)表面頂點(diǎn)都應(yīng)該在都應(yīng)該在原設(shè)計(jì)對(duì)象原設(shè)計(jì)對(duì)象的的表面上表面上。所有原設(shè)計(jì)。所有原設(shè)計(jì)對(duì)象的邊和面都應(yīng)被對(duì)象的邊和面都應(yīng)被單元單元的的邊和面邊和面所逼近。所逼近。5.2.2 單元特性的推導(dǎo)方法單元特性的推導(dǎo)方法 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)是的推導(dǎo)是有限元分析有限元分析有限元分析有限元分析的的基本步驟之一基本步驟之一。目前，建立目前，建立單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨姆椒ㄖ饕幸韵碌姆椒ㄖ饕幸韵滤姆N四種：直接剛度法直接剛度法 虛功原理法虛功原理法 能量變分法能量變分法 加權(quán)殘數(shù)法加權(quán)殘數(shù)法 1.直接剛度法直接剛度法 直接剛度法直接剛度法直接剛度法直接剛度法是直接應(yīng)用物理概念來(lái)建立是直接應(yīng)用物理概念來(lái)建立單元的有限元方程單元的有限元方程和分析和分析單元特性的一種方法。單元特性的一種方法。這一方法這一方法僅能適用于僅能適用于簡(jiǎn)單形狀的單元簡(jiǎn)單形狀的單元，如，如梁梁?jiǎn)卧獑卧?。但它可以幫助理解。但它可以幫助理解有限元法有限元法的物理概念。的物理概念。圖圖5-4所示是所示是xoy平面中的一平面中的一簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖，現(xiàn)以它為例，來(lái)說(shuō)明用，現(xiàn)以它為例，來(lái)說(shuō)明用直接剛度法直接剛度法直接剛度法直接剛度法建立建立單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨乃枷牒瓦^(guò)程。的思想和過(guò)程。圖圖5-4平面簡(jiǎn)支梁元及其計(jì)算模型平面簡(jiǎn)支梁元及其計(jì)算模型 梁在梁在橫向外載荷橫向外載荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)生生彎曲變形彎曲變形，在，在水平載荷水平載荷作用下產(chǎn)生作用下產(chǎn)生線位移線位移。對(duì)于對(duì)于該平面簡(jiǎn)支梁該平面簡(jiǎn)支梁?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：梁上任一點(diǎn)梁上任一點(diǎn)受有受有三個(gè)力三個(gè)力的作用：的作用：水平力水平力Fx，剪切力剪切力Fy，和彎矩和彎矩Mz。相應(yīng)的位移相應(yīng)的位移為：為：水平線位移水平線位移u，撓度撓度v，和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 z。由由上圖上圖可見(jiàn)：可見(jiàn)：水平線位移水平線位移和和水平力水平力向右為正，向右為正，撓度撓度和和剪剪切力切力向上為正，向上為正，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角和和彎矩彎矩逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。通常?guī)定：通常規(guī)定：為使為使問(wèn)題簡(jiǎn)化問(wèn)題簡(jiǎn)化，可把，可把圖示的梁圖示的梁看作是一個(gè)看作是一個(gè)梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?。如如圖圖5-4所示，當(dāng)令所示，當(dāng)令左支承點(diǎn)左支承點(diǎn)為為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) i，右支承點(diǎn)右支承點(diǎn)為為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) j 時(shí)，時(shí)，則則該單元該單元的的節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移和和節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力可以分別表示為：可以分別表示為：稱(chēng)為稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。稱(chēng)為稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)力列陣單元的節(jié)點(diǎn)力列陣單元的節(jié)點(diǎn)力列陣單元的節(jié)點(diǎn)力列陣；若若 F 為為外載荷外載荷外載荷外載荷，則稱(chēng)為，則稱(chēng)為載荷列陣載荷列陣。（5-1）（5-2）寫(xiě)成寫(xiě)成矩陣形式矩陣形式為為顯然，顯然，梁的節(jié)點(diǎn)力梁的節(jié)點(diǎn)力和和節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移是有聯(lián)系的。在是有聯(lián)系的。在彈性小變形范圍彈性小變形范圍內(nèi)，內(nèi)，這種關(guān)系這種關(guān)系是線性的，可用是線性的，可用下式下式表示表示 或或（5-3b）（5-3a）上上式式(5-3b)稱(chēng)為稱(chēng)為單元有限元方程單元有限元方程單元有限元方程單元有限元方程，或稱(chēng)為，或稱(chēng)為單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠蹋?，它代表了了單元的載荷單元的載荷與與位移位移之間（或力與變形之間）的聯(lián)系；之間（或力與變形之間）的聯(lián)系；式中，式中，K(e)稱(chēng)為稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?，它是單元的特性矩陣。，它是單元的特性矩陣。?duì)于對(duì)于圖圖5-4所示的所示的平面梁?jiǎn)卧獑?wèn)題平面梁?jiǎn)卧獑?wèn)題，利用材料力學(xué)中的桿件受力與，利用材料力學(xué)中的桿件受力與變形間的關(guān)系及疊加原理，可以直接計(jì)算出變形間的關(guān)系及疊加原理，可以直接計(jì)算出單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嘖(e)中的中的各各系數(shù)系數(shù) kst(s,t=i,j)的數(shù)值，的數(shù)值，具體方法具體方法如下：如下：(1)假設(shè)假設(shè) ui=，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即 vi=iz=uj=vj=zj=0，此時(shí)梁?jiǎn)卧绱藭r(shí)梁?jiǎn)卧鐖D圖5-5(a)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得 圖圖5-5(a)伸縮伸縮：撓度撓度：轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：由由上述三式上述三式可以解得可以解得 根據(jù)根據(jù)靜力平衡條件靜力平衡條件 由由式式(5-3a)解得解得(2)同理，同理，設(shè)設(shè)vi=，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即ui=iz=uj=vj=zj=0,此時(shí)梁?jiǎn)卧绱藭r(shí)梁?jiǎn)卧鐖D圖5-5(b)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得伸縮伸縮：撓度撓度：轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：圖圖5-5(b)由由上述三式上述三式可以解得可以解得利用利用靜力平衡條件靜力平衡條件由由式式(5-3a)解得解得(3)同理，同理，設(shè)設(shè) ，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即此時(shí)梁?jiǎn)卧绱藭r(shí)梁?jiǎn)卧鐖D圖5-5(c)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得 伸縮伸縮：撓度撓度：轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：由由上述三式上述三式可以可以解得解得圖圖5-5(c)利用利用靜力平衡條件靜力平衡條件，可得，可得 由由式式(5-3a)解得解得 剩余三種情況剩余三種情況，仿此可推出。最后可以得到，仿此可推出。最后可以得到平面彎曲梁元平面彎曲梁元的的單元單元?jiǎng)偠染仃噭偠染仃嚍闉?這樣，便求得這樣，便求得式（式（5-3a）單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃囍星叭兄星叭袆偠认禂?shù)剛度系數(shù)?？梢钥闯?，可以看出，K(e)為為對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣。（5-4）2.虛功原理法虛功原理法下面以下面以平面問(wèn)題平面問(wèn)題中的中的三角形單元三角形單元為例，說(shuō)明利用為例，說(shuō)明利用虛功原理法虛功原理法來(lái)建來(lái)建立立單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨牟襟E。的步驟。如前所述，將一個(gè)如前所述，將一個(gè)連續(xù)的彈性體連續(xù)的彈性體分割為分割為一定形狀一定形狀和和數(shù)量數(shù)量的的單元單元，從而使從而使連續(xù)體連續(xù)體轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為有限個(gè)單元有限個(gè)單元組成的組成的組合體組合體。單元單元與與單元單元之間僅通之間僅通過(guò)過(guò)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)連結(jié)，除此之外再無(wú)其他連結(jié)。也就是說(shuō)，一個(gè)連結(jié)，除此之外再無(wú)其他連結(jié)。也就是說(shuō)，一個(gè)單元單元上的只能上的只能通過(guò)通過(guò)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)傳遞到傳遞到相鄰單元相鄰單元。從分析對(duì)象的從分析對(duì)象的組合體組合體中任取中任取一個(gè)一個(gè)三角形單元三角形單元：設(shè)設(shè)其編號(hào)其編號(hào)為為 e，三個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的的編號(hào)編號(hào)為為i、j、m，在定義的在定義的坐標(biāo)系坐標(biāo)系 xoy 中，中，節(jié)點(diǎn)坐節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)分別為分別為(xi,y i)、(x j,y j)、(xm,ym)，如如圖圖5-6所示。所示。圖圖5-6三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元由由彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的特點(diǎn)可知，平面問(wèn)題的特點(diǎn)可知，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有有兩個(gè)位移分兩個(gè)位移分量量，即，即每個(gè)單元每個(gè)單元有有6個(gè)自由度個(gè)自由度，相應(yīng)有，相應(yīng)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷，寫(xiě)成，寫(xiě)成矩陣形式矩陣形式，即即 單元單元節(jié)點(diǎn)載荷矩陣節(jié)點(diǎn)載荷矩陣：?jiǎn)卧獑卧?jié)點(diǎn)位移矩陣節(jié)點(diǎn)位移矩陣：圖圖5-6三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元(1)設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù) 按照按照有限元法有限元法的的基本思想基本思想：首先需設(shè)定：首先需設(shè)定一種函數(shù)一種函數(shù)來(lái)近似表達(dá)單元來(lái)近似表達(dá)單元內(nèi)部的內(nèi)部的實(shí)際位移分布實(shí)際位移分布，稱(chēng)為，稱(chēng)為位移函數(shù)位移函數(shù)，或，或位移模式位移模式。三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元有有6個(gè)自由度個(gè)自由度，可以確定，可以確定 6個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù)，故，故三三角形單元角形單元的的位移函數(shù)位移函數(shù)為為（5-5）式式(5-5)為為線性多項(xiàng)式線性多項(xiàng)式，稱(chēng)為，稱(chēng)為線性位移函數(shù)線性位移函數(shù)，相應(yīng)的單元相應(yīng)的單元稱(chēng)為稱(chēng)為線性單元線性單元。上上式式(5-5)也可用也可用矩陣形式矩陣形式表示，即表示，即 式中，式中，d為為單元內(nèi)任意點(diǎn)單元內(nèi)任意點(diǎn)的的位移列陣位移列陣。（5-6）由于由于節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) i、j、m 在在單元單元上，上，它們的位移它們的位移自然也就滿足自然也就滿足位移函位移函數(shù)式數(shù)式(5-5)。設(shè)設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的的位移值位移值分別為分別為(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm)，將將節(jié)節(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移和和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入代入式式(5-5)，得，得 （5-7）式中式中（5-8）由上可知，由上可知，共有共有6個(gè)方程個(gè)方程，可以求出，可以求出6個(gè)個(gè)待定系數(shù)待定系數(shù)。解方程，求得。解方程，求得各待定系數(shù)各待定系數(shù)和和節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移之間的之間的表達(dá)式表達(dá)式為為 為為三角形單元三角形單元的的面積面積。其中：。其中：（5-9）將將式式(5-7)及及式式(5-8)、式式(5-9)代入代入式式(5-6)中，得中，得到到 式中，式中，矩陣矩陣 N 稱(chēng)為單元的稱(chēng)為單元的形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣；為為單元單元節(jié)點(diǎn)位移列陣節(jié)點(diǎn)位移列陣。其中，其中，為為單元單元的的形函數(shù)形函數(shù)，它們反映單元內(nèi)位移的，它們反映單元內(nèi)位移的 分布形態(tài)，是分布形態(tài)，是x,y 坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，且有坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，且有（5-12）式式(5-10)又可以寫(xiě)成又可以寫(xiě)成（5-13）上式上式清楚地表示了清楚地表示了單元內(nèi)任意點(diǎn)位移單元內(nèi)任意點(diǎn)位移可由可由節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移插值求出。插值求出。(2)利用幾何方程由位移函數(shù)求應(yīng)變利用幾何方程由位移函數(shù)求應(yīng)變根據(jù)根據(jù)彈性力學(xué)彈性力學(xué)的的幾何方程幾何方程，線應(yīng)變線應(yīng)變 剪切應(yīng)變剪切應(yīng)變 則則應(yīng)變列陣應(yīng)變列陣可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成 式中，式中，B稱(chēng)為稱(chēng)為單元應(yīng)變矩陣單元應(yīng)變矩陣，它它是僅與是僅與單元幾何尺寸單元幾何尺寸有關(guān)的有關(guān)的常量矩陣常量矩陣，即即（5-14）（5-15）上述上述方程方程(5-14)稱(chēng)為稱(chēng)為單元應(yīng)變方程單元應(yīng)變方程，它的意義它的意義在于：在于：?jiǎn)卧獌?nèi)任意點(diǎn)單元內(nèi)任意點(diǎn)的的應(yīng)變分量應(yīng)變分量亦可用亦可用基本未知量基本未知量即即節(jié)點(diǎn)位移分量節(jié)點(diǎn)位移分量來(lái)表來(lái)表示。示。(3)利用廣義虎克定律求出單元應(yīng)力方程利用廣義虎克定律求出單元應(yīng)力方程根據(jù)根據(jù)廣義虎克定律廣義虎克定律，對(duì)于，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題上式上式（5-16）也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成（5-16）（5-17）式中，式中，為為應(yīng)力列陣應(yīng)力列陣；D 稱(chēng)為稱(chēng)為彈性力學(xué)平面問(wèn)題彈性力學(xué)平面問(wèn)題的的彈性矩陣彈性矩陣，并有，并有則有如下則有如下單元應(yīng)力方程單元應(yīng)力方程由由式式(5-19)可求可求單元內(nèi)任意點(diǎn)單元內(nèi)任意點(diǎn)的的應(yīng)力分量應(yīng)力分量，它它也可用也可用基本未知量基本未知量即即節(jié)點(diǎn)位移分量節(jié)點(diǎn)位移分量來(lái)表示。來(lái)表示。（5-18）（5-19）(4)由虛功原理求單元?jiǎng)偠染仃囉商摴υ砬髥卧獎(jiǎng)偠染仃?根據(jù)根據(jù)虛功原理虛功原理，當(dāng)，當(dāng)彈性結(jié)構(gòu)彈性結(jié)構(gòu)受到受到外載荷作用外載荷作用處于處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)，時(shí)，在任意給出的微小的在任意給出的微小的虛位移虛位移上，上，外力外力在在虛位移虛位移上所做的上所做的虛功虛功 AF等等于結(jié)構(gòu)內(nèi)于結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力應(yīng)力在在虛應(yīng)變虛應(yīng)變上所存儲(chǔ)的上所存儲(chǔ)的虛變形勢(shì)能虛變形勢(shì)能 A ，即即設(shè)處于設(shè)處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)的彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)任一單元任一單元發(fā)生發(fā)生一個(gè)一個(gè)微小的虛位移微小的虛位移，則則單元各節(jié)點(diǎn)的虛位移單元各節(jié)點(diǎn)的虛位移 為為（5-21）（5-22）（5-20）則則單元內(nèi)部單元內(nèi)部必定產(chǎn)生相應(yīng)的必定產(chǎn)生相應(yīng)的虛應(yīng)變虛應(yīng)變，故單元內(nèi)任一點(diǎn)的，故單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛應(yīng)變虛應(yīng)變 為為顯然，顯然，虛應(yīng)變虛應(yīng)變和和虛位移虛位移之間關(guān)系為之間關(guān)系為設(shè)設(shè)節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力為為 則則外力虛功外力虛功為為（5-25）（5-23）（5-24）單元內(nèi)的單元內(nèi)的虛變形勢(shì)能虛變形勢(shì)能為為 根據(jù)根據(jù)虛功原理虛功原理 因?yàn)橐驗(yàn)椋?-27）（5-26）代人代人式式(5-26)，則有，則有式中，式中，均與，均與坐標(biāo)坐標(biāo) x,y 無(wú)關(guān)，故可以從無(wú)關(guān)，故可以從積分符號(hào)積分符號(hào)中中提出，提出，可得：可得：其中，其中，單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?-28）式式(5-28)稱(chēng)為稱(chēng)為單元有限元方程單元有限元方程，或稱(chēng)，或稱(chēng)單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?，其中，其?是是單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?。?-29）因?yàn)橐驗(yàn)槿切螁卧切螁卧鞘浅?yīng)變單元常應(yīng)變單元，其，其應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣B、彈性矩陣彈性矩陣D均為均為常量常量，而，而 ，所以，所以式式(5-29)可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成（5-30）式中，式中，t 為三角形單元的厚度；為三角形單元的厚度；為三角形單元的面積。為三角形單元的面積。對(duì)于對(duì)于圖圖5-6所示的所示的三角形單元三角形單元，將，將D 及及B代入代入式式(5-29)，可以，可以得到得到單元?jiǎng)偠葐卧獎(jiǎng)偠葹闉椋?-31）式中式中:K為為66階矩陣階矩陣，其中，其中每個(gè)子矩陣每個(gè)子矩陣為為22階矩陣階矩陣，由下式給出，由下式給出（5-32）按照按照力學(xué)力學(xué)的一般說(shuō)法，任何一個(gè)實(shí)際狀態(tài)的的一般說(shuō)法，任何一個(gè)實(shí)際狀態(tài)的彈性體的總位能彈性體的總位能彈性體的總位能彈性體的總位能是是這個(gè)系統(tǒng)從實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到某一參考狀態(tài)這個(gè)系統(tǒng)從實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到某一參考狀態(tài)(通常取彈性體外載荷為通常取彈性體外載荷為零時(shí)狀態(tài)為參考狀態(tài)零時(shí)狀態(tài)為參考狀態(tài))時(shí)時(shí)它的所有作用力所做的功它的所有作用力所做的功它的所有作用力所做的功它的所有作用力所做的功。彈性體的。彈性體的總位總位能能 是一個(gè)是一個(gè)函數(shù)函數(shù)的的函數(shù)函數(shù)，即，即泛函泛函，位移位移是是泛函泛函的的容許函數(shù)容許函數(shù)。從從能量原理能量原理能量原理能量原理考慮，變形彈性體受考慮，變形彈性體受外力外力作用處于作用處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)，在時(shí)，在很多可能的變形狀態(tài)中，使很多可能的變形狀態(tài)中，使總位能總位能最小的就是彈性體的最小的就是彈性體的真正變形真正變形，這就是這就是最小位能原理最小位能原理。用。用變分法變分法變分法變分法求能量泛函的極值方法就是能量變求能量泛函的極值方法就是能量變分原理。能量變分原理除了可解機(jī)械結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)問(wèn)題以外，還擴(kuò)展分原理。能量變分原理除了可解機(jī)械結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)問(wèn)題以外，還擴(kuò)展到求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。到求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。3.能量變分原理法能量變分原理法該方法該方法是將假設(shè)的是將假設(shè)的場(chǎng)變量場(chǎng)變量的函數(shù)的函數(shù)(稱(chēng)為稱(chēng)為試函數(shù)試函數(shù))引入引入問(wèn)題的控制方問(wèn)題的控制方程式程式及及邊界條件邊界條件，利用，利用最小二乘法最小二乘法等方法使等方法使殘差最小殘差最小，便得到近似的，便得到近似的場(chǎng)變量函數(shù)形式場(chǎng)變量函數(shù)形式。該方法的優(yōu)點(diǎn)該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要建立要解決問(wèn)題的是不需要建立要解決問(wèn)題的泛函式泛函式，所以，即使沒(méi)，所以，即使沒(méi)有泛函表達(dá)式也能解題有泛函表達(dá)式也能解題。4.加權(quán)殘數(shù)法加權(quán)殘數(shù)法第第5章章 有限元法有限元法 (1)(1)結(jié)束結(jié)束Thank You！