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1、 數(shù)陣圖(二) 　　上一講我們講了僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問(wèn)題，這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。 例1 將1～8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。 分析與解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以?xún)蓚€(gè)重疊數(shù)之和為 　　21×2-(1+2+…+8)=6。 　　在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有 　　2+6+7=15和3+4+8=15， 　　故有左下圖的

2、填法。 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁(yè)右下圖的填法。 例2 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。 分析與解：本題有三個(gè)重疊數(shù)，即三角形三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　11×3-(1+2+…+6)=12。 　　1～6中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。 　　如果三個(gè)重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是1～6，不合題意。 　　同理，三個(gè)重疊數(shù)也不能是3，4，5。 　　經(jīng)試驗(yàn)，當(dāng)重疊數(shù)是

3、2，4，6時(shí)，可以得到符合題意的填法(見(jiàn)右上圖)。 推薦精選 例3 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○中，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3，得到每邊的三數(shù)之和等于 　　[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]÷3 　　=(21+重疊數(shù)之和)÷3 　　=7+重疊數(shù)之和÷3。 　　因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)。考慮到重疊數(shù)是1～6中的數(shù)，所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10

4、，11或12。 　　與例2的方法類(lèi)似，可得下圖的四種填法： 　　每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12 例4將2～9這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。 分析與解：四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　18×4-(2+3+…+9)=28。 　　而在已知的八個(gè)數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有： 　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八個(gè)數(shù)之一，所以，8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法： 　　“試填”的結(jié)果，

5、只有右上圖的填法符合題意。 　　以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。 　　一般地，在m邊形中，每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱(chēng)為封閉型m-n圖。 推薦精選 　　與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。 　　對(duì)于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次，所以 　　已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和 　　=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。 　　由這個(gè)關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問(wèn)題。 　　前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問(wèn)題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析，就能解決很多數(shù)陣問(wèn)題。 例5把1～7

6、分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。 分析與解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個(gè)數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有 　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3， 　　即 a+a+b+c+d=11。 　　因?yàn)?+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見(jiàn)右上圖。 　 ?練習(xí) 　　1.把1～8填入下頁(yè)左上圖的八個(gè)○里，使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。 　　2.把1～6這六個(gè)數(shù)填入右上圖的○里，使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 推

7、薦精選 　　3.將1～8填入左下圖的八個(gè)○中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。 　　4.將1～8填入右上圖的八個(gè)○中，使得每條直線(xiàn)上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 　　5.將1～7填入右圖的七個(gè)○，使得每條直線(xiàn)上的各數(shù)之和都相等。 　　6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。 　答案與提示 　　 　 　　每個(gè)圓周的四數(shù)之和=12每個(gè)圓周的四數(shù)之和=13 　　每個(gè)圓周的四數(shù)之和=14 推薦精選 　 　每個(gè)圓周的四數(shù)之和=15每個(gè)圓周的四數(shù)之和=16 　　3.提示：四個(gè)頂

8、點(diǎn)數(shù)之和為15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗(yàn)只有左下圖一個(gè)解。 　　4.提示：每條直線(xiàn)或每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都等于 　　(1＋2＋…＋8)÷7＝18。 　　填法見(jiàn)右上圖。(填法不唯一) 　　5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。 　　(1＋2＋…＋7)×2＋頂上數(shù)=每條線(xiàn)上的和×5， 　　56＋頂上數(shù)=每條線(xiàn)上的和×5。 　　由上式等號(hào)左端是5的倍數(shù)，推知“頂上數(shù)”=4。所以每條線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和為 　　(56＋4)÷5＝12。 　 　　經(jīng)試驗(yàn)填法如上圖。(填法不唯一) 　　6.與例5類(lèi)似(見(jiàn)上圖)。 （注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝!） 推薦精選