《高中數(shù)學 本章歸納整合(三)課件 蘇教版選修21》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 本章歸納整合(三)課件 蘇教版選修21（28頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、知識網絡知識網絡本本 章章 歸歸 納納 整整 合合 空間向量 (1)空間向量的知識脈絡： 向量的概念向量的運算基本定理直角坐標系向量的坐標運算應用 (2)空間向量的概念： 定義：具有大小和方向的量稱為向量；向量相等：長度相等且方向相同 (3)空間向量的運算： 加法法則：平行四邊形法則，三角形法則； 減法法則：三角形法則； 向量的數(shù)量積：ab|a|b|cos (為a與b的夾角)要點歸納要點歸納1 (4)空間向量的坐標運算： 若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則 加減法：ab(x1x2，y1y2，z1z2)； 實數(shù)與向量積：a(x1，y1，z1)； 數(shù)量積：abx1x2y1y2z1

2、z2； (6)空間向量平行、垂直的條件： 兩向量垂直：abab0； 兩向量平行：abba(a為非零向量) (7)空間向量基本定理： 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組x、y、z，使pxaybzc. (8)空間共面向量定理： 如果兩個向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的一對實數(shù)x、y，使cxayb. 平面的法向量 若向量 a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量 用空間向量處理立體幾何問題的常用方法 (1)證明空間的平行 證明直線與平面平行，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂

3、直；證明平面與平面平行，可轉化為證明這兩個平面的法向量平行 證明直線和平面平行，也可以使用下面的定理：23 (2)證明空間的垂直 證明直線與平面垂直，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，可轉化為證明這兩個平面的法向量互相垂直圖圖圖圖圖圖 (3)求空間的角度 立體幾何中的角的計算，均可轉化為兩個向量的夾角的計算：平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對值平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對值等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成的角的角如圖如圖，設，設n1，n2分別是二面角分別是二

4、面角l中平面中平面，的法向的法向量，則量，則n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角所成的角就是所求二面角的平面角或其補角(4)求空間的距離求空間的距離專專題一題一空間向量及其運算空間向量及其運算 向量是數(shù)形結合的典范，向量的幾何表示法(有向線段表示法)是運用幾何性質解決向量問題的基礎【例例1】 如圖，以點O為原點，建立空間直角坐標系， 設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)， 由點O在底面上的射影G為ABC的中心可得 點評：由二維到三維，任意一個向量可以用三個不共面的向量線性表示，求這樣的表示式的常用方法有幾何法(即上面的解法一)和代數(shù)法(即引入坐標

5、，上面的解法二) 向量作為數(shù)學運算的一種重要工具，在解決立體幾何問題中有著廣泛的應用如向量共線定理有兩方面的應用：一是利用定理證明向量共線(或三點共線、線線平行)；二是逆用，即已知兩個向量共線，那么其中一個向量必然可用另一個向量線性表示專專題題二二向量法解決共線、共面問題向量法解決共線、共面問題【例例2】 已知：已知：E、F、G、H分別是空間四邊形分別是空間四邊形ABCD的邊的邊AB、BC、CD、DA的中點，的中點，求證：求證：(1)E、F、G、H四點共面；四點共面；(2)BD平面平面EFGH. 點評：利用空間向量解決立體幾何中的問題，首先要探索如何用空間向量來表示點線面在空間中的位置以及它們

6、之間的關系，即要建立立體圖形與向量之間的聯(lián)系，然后將立體幾何問題轉化為空間向量問題 法向量為我們通過計算解決幾何證明提供了方便，如證明直線與平面平行，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明平面與平面平行，可轉化為證明這兩個平面的法向量平行專題三專題三向量法證明空間的平行與垂直向量法證明空間的平行與垂直【例例3】 解建立空間直角坐標系后，證明直線與平面垂直，可轉化為證明直線的方向向量與平面上的某兩個向量垂直；證明直線與平面平行，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明如下： 點評：通過本例的論證，我們充分體會到向量工具的優(yōu)越性：幾何問題數(shù)量化，使得論證更快捷，計算更簡化，證

7、明過程更易于表達，同學們可細細體會 如圖，已知三棱錐OABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中點 (1)求異面直線BE與AC所成角的余弦值； (2)求二面角ABEC的余弦值專專題題四四向量法計算空間的角度向量法計算空間的角度【例例4】 解(1)利用向量法求出兩異面直線的方向向量的夾角，即可轉化為異面直線所成角；具體過程如下：以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系 則有A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0) 點評：(1)異面直線所成角為銳角或直角，利用向量法求出兩異面直線的方向向量夾角以后一定要注意等價轉化

8、； (2)二面角與兩平面法向量夾角的關系是相等或互補，而二面角到底是銳角還是鈍角，要根據條件或結合圖形得到，本題二面角是鈍角 立體幾何中的距離問題是高中數(shù)學的一個難點，也是一個重點；若用向量來處理這些距離問題，則思路簡單、解法固定；如點到直線距離的求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應的距離專專題題五五向量法計算空間的距離向量法計算空間的距離【例例5】(1)求證：求證：AO平面平面BCD；(2)求點求點E到平面到平面ACD的距離的距離 解利用向量法求空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉化為向量間的計算問題本題的距離，通過適當建立坐標系后，

9、正確地寫出相關點的坐標及向量的坐標，即可運算求解；具體過程如下：而而AC2，AO2CO2AC2，AOC90， 即即AOOC，且且BDOCO，AO平面平面BCD. 點評：本題考查直線與平面的位置關系、點到平面的距離等基本知識，考查向量法解決立體幾何問題，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力 空間向量是求解立體幾何問題的一個重要工具，也是高考的一個重點高考對空間向量的考查一般不單獨命題，而是以一些綜合性問題的形式進行考查，如空間中線面位置關系的論證，空間各種角的求解等，此外高考特別注重考查在給出的幾何體中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，通過空間向量的坐標運算解決問題的能力因此應熟練掌握空間向量的概念及運算，特別是坐標運算，掌握向量法解決垂直、平行問題和空間角的求解問題等預測在今后的高考中，仍然會考查利用向量法解決立體幾何問題，通常涉及在空間幾何體中證明垂直、平行以及求空間角與距離命題趨勢命題趨勢