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1、第第21講講直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理 第第21講講 考點聚焦考點聚焦考點聚焦考點聚焦考點考點1 1 直角三角形的概念、性質與判定直角三角形的概念、性質與判定 定義定義有一個角是有一個角是_的三角形叫做直角三角形的三角形叫做直角三角形性質性質(1)直角三角形的兩個銳角互余直角三角形的兩個銳角互余(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于那么它所對的直角邊等于_(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于在直角三角形中，斜邊上的中線等于_斜邊的一半斜邊的一半 直角直角 斜邊的一半斜邊的一半 第第21講講 考點聚焦考點聚焦第第21講講

2、 考點聚焦考點聚焦考點考點2 2 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理勾股勾股定理定理直角三角形兩直角邊直角三角形兩直角邊a a、b b的平方和，等于斜邊的平方和，等于斜邊c c的平方即：的平方即：_勾股勾股定理定理的逆的逆定理定理逆定逆定理理如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a a、b b、c c有關系：有關系： _ _ ，那么這個三角形是直角三角，那么這個三角形是直角三角形形用途用途(1)(1)判斷某三角形是否為直角三角形；判斷某三角形是否為直角三角形；(2)(2)證明兩條線段垂直；證明兩條線段垂直；(3)(3)解決生活實際問解決生活實際問題題勾股數勾股數能構成直角三角形的三條邊長的三個正整

3、數，稱能構成直角三角形的三條邊長的三個正整數，稱為勾股數為勾股數a2b2c2 a2b2c2 考點考點3 3 互逆命題互逆命題 第第21講講 考點聚焦考點聚焦互逆互逆命題命題如果兩個命題的題設和結論正好相反，我們如果兩個命題的題設和結論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果我們把其中一個叫做把其中一個叫做_，那么另一個叫做它，那么另一個叫做它的的_互逆互逆定理定理若一個定理的逆定理是正確的，那么它就是若一個定理的逆定理是正確的，那么它就是這個定理的這個定理的_，稱這兩個定理為互逆，稱這兩個定理為互逆定理定理原命題原命題 逆命題逆命題 逆定理逆定理

4、考點考點4 4 命題、定義、定理、公理命題、定義、定理、公理 第第21講講 考點聚焦考點聚焦定義定義在日常生活中，為了交流方便，我們就要對名稱和術語在日常生活中，為了交流方便，我們就要對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給他們下定的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給他們下定義義命命題題定義定義判斷一件事情的句子叫做命題判斷一件事情的句子叫做命題分類分類正確的命題稱為正確的命題稱為_錯誤的命題稱為錯誤的命題稱為_組成組成每個命題都由每個命題都由_和和_兩個部分組成兩個部分組成公理公理公認的真命題稱為公認的真命題稱為_定理定理除公理以外，其他真命題的正確性都經過推理的方法證除公理

5、以外，其他真命題的正確性都經過推理的方法證實，推理的過程稱為實，推理的過程稱為_經過證明的真命題稱為經過證明的真命題稱為_真命題真命題 假命題假命題 條件條件 結論結論 公理公理 證明證明 定理定理 第第21講講 歸類示例歸類示例歸類示例歸類示例 類型之一利用勾股定理求線段的長度類型之一利用勾股定理求線段的長度命題角度：命題角度：1. 利用勾股定理求線段的長度；利用勾股定理求線段的長度；2. 利用勾股定理解決折疊問題利用勾股定理解決折疊問題例例1 2011黃石黃石 將一個有將一個有45度角的三角板的直角頂點放度角的三角板的直角頂點放在一張寬為在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另

6、一的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖度角，如圖211，則三角板的最大邊的長為，則三角板的最大邊的長為()圖圖211D 第第21講講 歸類示例歸類示例第第21講講 歸類示例歸類示例 勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)(1)已知直角三角形的兩邊求第已知直角三角形的兩邊求第三邊；三邊；(2)(2)已知直角三角形的一邊求另兩邊的關系；已知直角三角形的一邊求另兩邊的關系；(3)(3)用于證明平方關系的問題用于證明平方關系的問題 類型之二實際問題中勾股定理的應用類型之二實際問題中勾股定理的應

7、用命題角度：命題角度：1. 1. 求最短路線問題；求最短路線問題；2. 2. 求有關長度問題求有關長度問題第第21講講 歸類示例歸類示例 例例2 如圖如圖212，一個長方體形的木柜放在墻角處，一個長方體形的木柜放在墻角處(與墻與墻面和地面均沒有縫隙面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表處沿著木柜表面爬到柜角面爬到柜角C1處處(1)請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2)當當AB4，BC4，CC15時，求螞蟻爬過的最短路徑時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；的長； (3)求點求點B1到最短路徑的距離到最短路徑的距離 第第

8、21講講 歸類示例歸類示例圖圖212第第21講講 歸類示例歸類示例第第21講講 歸類示例歸類示例 利用勾股定理求最短線路問題的方法：將起點和終利用勾股定理求最短線路問題的方法：將起點和終點所在的面展開成為一個平面，進而利用勾股定理求最點所在的面展開成為一個平面，進而利用勾股定理求最短長度短長度 類型之三類型之三 勾股定理逆定理的應用勾股定理逆定理的應用 例例3 3 20122012廣西廣西 已知三組數據：已知三組數據：2，3，4；3，4，5；1，2.分別以每組數據中的三個數為三角形的三邊分別以每組數據中的三個數為三角形的三邊長，構成直角三角形的有長，構成直角三角形的有()A BC D第第21講

9、講 歸類示例歸類示例命題角度：命題角度：勾股定理逆定理勾股定理逆定理D 第第21講講 歸類示例歸類示例解析解析 根據勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第根據勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構成直角三角形只要判斷兩個較小的數三邊的平方即可構成直角三角形只要判斷兩個較小的數的平方和是否等于最大數的平方即可判斷的平方和是否等于最大數的平方即可判斷22321342，以這三個數為長度的線段不能構成直角三角形，故不符以這三個數為長度的線段不能構成直角三角形，故不符合題意；合題意；324252 ，以這三個數為長度的線段能構成直角三角形，故符合題以這三個數為長度的線段能構成直角三角形

10、，故符合題意；意；12(3)222，以這三個數為長度的線段能構成直角三角形，故符合題以這三個數為長度的線段能構成直角三角形，故符合題意意故構成直角三角形的有故構成直角三角形的有.故選故選D.第第21講講 歸類示例歸類示例 判斷是否能構成直角三角形的三邊，判斷的方法是：判斷是否能構成直角三角形的三邊，判斷的方法是：判斷兩個較小的數的平方和是否等于最大數的平方即可判斷兩個較小的數的平方和是否等于最大數的平方即可判斷判斷第第21講講 回歸教材回歸教材巧用勾股定理探求面積關系巧用勾股定理探求面積關系 回歸教材回歸教材教材母題教材母題人教版八下人教版八下P71T11如圖如圖21213 3，C C9090

11、，圖中有陰影的三個半圓的，圖中有陰影的三個半圓的面積有什么關系？面積有什么關系？圖圖21213 3第第21講講 回歸教材回歸教材 點析點析 若將半圓換成正三角形、正方形或任意的若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形，相似形，S S1 1S S2 2S S3 3都成立都成立第第21講講 回歸教材回歸教材中考變式12011貴陽貴陽 如圖如圖214，已知等腰，已知等腰RtABC的直的直角邊長為角邊長為1，以，以RtABC的斜邊的斜邊AC為直角邊，畫第二為直角邊，畫第二個等腰個等腰RtACD，再以，再以RtACD的斜邊的斜邊AD為直角邊為直角邊，畫第三個等腰，畫第三個等腰RtADE，依此類推直到第

12、五，依此類推直到第五個等腰個等腰RtAFG，則由這五個等腰直角三角形所構，則由這五個等腰直角三角形所構成的圖形的面積為成的圖形的面積為_圖圖214第第21講講 回歸教材回歸教材第第21講講 回歸教材回歸教材2 220102010樂山樂山 勾股定理揭示了直角三角形三勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值圖價值圖21215 5是一棵由正方形和含是一棵由正方形和含3030角的直角三角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S S1 1，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S S2 2，第，第n n個正方形和第個正方形和第n n個直角三角形的面積之和個直角三角形的面積之和為為S Sn n. .設第一個正方形的邊長為設第一個正方形的邊長為1.1.請解答下列問題：請解答下列問題：(1)(1)S S1 1_；(2)(2)通過探究，用含通過探究，用含n n的代數式表示的代數式表示S Sn n，則，則S Sn n_._.圖圖21215 5