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1、2集合的基本關系集合的基本關系1.集合的表示方法有 、 .2.元素與集合間的關系用符號 或 表示.3.(1)若A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，用列舉法表示集合B .(2)用描述法表示集合A1,4,7,10,13列舉法列舉法描述法描述法4,9,16.x|x3n2，nN，n51.子集、真子集、集合相等的概念概念概念定義定義符號表示符號表示圖形表示圖形表示子集子集如果集合如果集合A中中 元素都是集元素都是集合合B中的元素，就說這兩個集合有中的元素，就說這兩個集合有 關系，稱集合關系，稱集合A為集合為集合B的子集的子集.AB(或或BA)真子集真子集如果集合如果集合AB，但存在元素，但存在元素 且

2、且 ，則稱集合，則稱集合A是集合是集合B的真子的真子集集.A B(或或B A)集合集合相等相等如果如果 ，那么就說集合，那么就說集合A與集合與集合B相等相等.A B任意一個任意一個包含包含xBxAAB且且BA2.空集空集(1)定義：定義： 的集合，叫做空集的集合，叫做空集.(2)用符號表示為：用符號表示為： .(3)規(guī)定：空集是任何集合的規(guī)定：空集是任何集合的 .3.子集的有關性質子集的有關性質(1)任何一個集合是它本身的任何一個集合是它本身的 ，即，即 .(2)對于集合對于集合A，B，C，如果，如果A B，BC，那么，那么 .不含任何元素不含任何元素子集子集ACAA子集子集1.任何一個集合都

3、是它本身的子集，對嗎？任何一個集合都是它本身的子集，對嗎？【提示提示】正確，對于任何一個集合正確，對于任何一個集合A，它的任何一個元素都屬于集合，它的任何一個元素都屬于集合A本本身，即身，即AA.2.包含關系包含關系aA與從屬關系與從屬關系aA有什么區(qū)別？有什么區(qū)別？【提示提示】兩者的區(qū)別是：兩者的區(qū)別是：(1)從符號上看，從符號上看，“”表示的是兩個集合間的表示的是兩個集合間的關系，而關系，而“”表示的是元素與集合間的關系；表示的是元素與集合間的關系；(2)a是含一個元素是含一個元素a的集合，而的集合，而a通常表示一個元素；通常表示一個元素；(3)aA表示表示a是是A的一個子集，而的一個子集

4、，而aA表示表示a是是A的一個元素的一個元素.兩集合相等的應用兩集合相等的應用 若若 0，a2，ab，則，則a2009b2010的值為的值為.【思路點撥思路點撥】先從特殊元素先從特殊元素0著手，結合集合元素的特性求解著手，結合集合元素的特性求解.【解析解析】 0，a2，ab，0.b0，此時有，此時有1，a,00，a2，a，a21，a1.當當a1時，不滿足互異性，時，不滿足互異性，a1.a2009b20101.【答案答案】1 (1)兩個集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關，但兩個集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關，但要注意檢驗，排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形要注意檢驗，排除與

5、集合元素互異性或與已知相矛盾的情形.(2)若兩個集合中元素均無限多個，要看兩集合的代表元素是否一致，且看若兩個集合中元素均無限多個，要看兩集合的代表元素是否一致，且看代表元素滿足的條件是否一致，若均一致，則兩集合相等代表元素滿足的條件是否一致，若均一致，則兩集合相等.(3)證明兩個集合相等的思路是證：證明兩個集合相等的思路是證：A B且且B A. 1. Mx|x1a2，aR，Px|xa24a5，aR，試問試問M與與P的關系怎樣？的關系怎樣？【解析解析】aR，x1a21，xa24a5(a2)211，Mx|x1，Px|x1，MP子集、真子集的概念問題子集、真子集的概念問題 寫出滿足寫出滿足a，bA

6、a，b，c，d的所有集合的所有集合A.【思路點撥思路點撥】解答本題可根據(jù)子集、真子集的概念求解解答本題可根據(jù)子集、真子集的概念求解.【解析解析】由題設可知，一方面由題設可知，一方面A是集合是集合a，b，c，d的子集，另一方面的子集，另一方面A又真包含集合又真包含集合a，b，故集合，故集合A中至少含有兩個元素中至少含有兩個元素a，b，且含有，且含有c，d兩個兩個元素中的一個或兩個元素中的一個或兩個.故滿足條件的集合有故滿足條件的集合有a，b，c，a，b，d，a，b，c，d. (1)正確區(qū)分子集與真子集概念是解題的關鍵正確區(qū)分子集與真子集概念是解題的關鍵.(2)寫一個集合的子集時，按子集中元素個數(shù)

7、多少，以一定順序來寫避免發(fā)生寫一個集合的子集時，按子集中元素個數(shù)多少，以一定順序來寫避免發(fā)生重復和遺漏現(xiàn)象重復和遺漏現(xiàn)象.(3)集合中含有集合中含有n個元素，則此集合有個元素，則此集合有2n個子集，記住這個結論可以提高解答個子集，記住這個結論可以提高解答速度，其中要注意空集速度，其中要注意空集和集合本身易漏掉和集合本身易漏掉. 2.已知集合已知集合AxN|1x4，且，且A中至少有一個元素中至少有一個元素為奇數(shù)，問：這樣的集合為奇數(shù)，問：這樣的集合A有多少個？并用恰當?shù)姆椒ū硎具@些集合有多少個？并用恰當?shù)姆椒ū硎具@些集合.【解析解析】這樣的集合這樣的集合A共有共有11個個.xN|1x40,1,2

8、,3，又又A0,1,2,3，且，且A中至少含有一個奇數(shù)，中至少含有一個奇數(shù)，故故A中只含有一個元素時，中只含有一個元素時，A可以為可以為1，3.A中含有兩個元素時，中含有兩個元素時，A可以為可以為1,0，1,2，1,3，3,0，3,2.A中含有三個元素時，中含有三個元素時，A可以為可以為1,0,2，3,0,2，1,3,0，1,3,2.（真）子集的綜合應用（真）子集的綜合應用 已知集合已知集合Ax|2x4，Bx|xa.若若AB，求實數(shù)求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍.【思路點撥思路點撥】解答本題可采用數(shù)軸分析法，將集合解答本題可采用數(shù)軸分析法，將集合A、B表示在數(shù)軸上，表示在數(shù)軸上，利用數(shù)軸分析利用

9、數(shù)軸分析a的取值的取值.【解析解析】將數(shù)集將數(shù)集A表示在數(shù)軸上表示在數(shù)軸上(如圖所示如圖所示)，要滿足，要滿足AB，表示數(shù)，表示數(shù)a的點的點必須在表示必須在表示4的點處或在表示的點處或在表示4的點的右邊，所以所求的點的右邊，所以所求a的集合為的集合為a|a4. 解決此類問題的常用方法是數(shù)形結合，首先將各個已知集解決此類問題的常用方法是數(shù)形結合，首先將各個已知集合在數(shù)軸上畫出來，以形定數(shù)，然后利用數(shù)軸分析，再結合合在數(shù)軸上畫出來，以形定數(shù)，然后利用數(shù)軸分析，再結合(真真)子集的定子集的定義，義，列出參數(shù)滿足的不等式，進而求出參數(shù)的取值范圍列出參數(shù)滿足的不等式，進而求出參數(shù)的取值范圍.值得注意的是

10、要檢驗端值得注意的是要檢驗端點值是否滿足題意，做到準確無誤點值是否滿足題意，做到準確無誤. 3.(1)本例中本例中AB換成換成A B，Ax|2x4，則，則a的取值范的取值范圍又是什么？圍又是什么？(2)本例中，若集合本例中，若集合Bx|2a9xa，其他條件不變，則，其他條件不變，則a的取值范圍又的取值范圍又如何呢？如何呢？【解析解析】(1)將集合將集合A表示在數(shù)軸上表示在數(shù)軸上.要使要使A B，需，需a4.所以所求所以所求a的取值范圍為的取值范圍為a4.(2)由于由于A B，A，所以，所以B.由數(shù)軸知由數(shù)軸知 ，解得，解得4a .故所求故所求a的取值范圍是的取值范圍是4a .1.子集、真子集的

11、概念的理解子集、真子集的概念的理解(1)集合集合A是集合是集合B的子集，不能簡單地理解為集合的子集，不能簡單地理解為集合A是由集合是由集合B的的“部分元部分元素素”所組成的集合所組成的集合.如如A，則集合，則集合A不含不含B中的任何元素中的任何元素.(2)如果集合如果集合A中存在著不屬于集合中存在著不屬于集合B的元素，那么的元素，那么A不包含于不包含于B，或，或B不包含不包含A.這有兩方面的含義，其一是這有兩方面的含義，其一是A、B互不包含，如互不包含，如Aa，b，Bb，c，d；其二是，其二是，A包含包含B，如，如Aa，b，c，Bb，c.2.集合相等集合相等(1)集合相等的定義有兩方面含義：集

12、合相等的定義有兩方面含義：若若AB且且BA，那么，那么AB；若；若AB，那么，那么A B且且B A.(2)證明兩個集合相等的方法：若證明兩個集合相等的方法：若A、B兩個集合是元素較少的有限集，兩個集合是元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，說明兩個集合的元素完全相同，從而可用列舉法將元素列舉出來，說明兩個集合的元素完全相同，從而AB；若若A、B是無限集，欲證是無限集，欲證AB，只需證，只需證A B與與B A都成立即可都成立即可.3.注意一些容易混淆的符號注意一些容易混淆的符號(1)與與的區(qū)別：的區(qū)別：表示元素與集合之間的關系，因此有表示元素與集合之間的關系，因此有0N，但，但0N；表示集

13、合與集合之間的關系，因此有表示集合與集合之間的關系，因此有N R，R.(2)a與與a的區(qū)別：一般地的區(qū)別：一般地a表示一個元素，而表示一個元素，而a表示只有一個元素的集表示只有一個元素的集合，因此有合，因此有11,2,3,00，11,2,3等，不能寫成等，不能寫成1 1,2,3,0 0，11,2,3.(3)0與與的區(qū)別：的區(qū)別：0是僅含有一個元素的集合，是僅含有一個元素的集合，是不含任何元素的是不含任何元素的集合，因此有集合，因此有0，不能寫成，不能寫成0，0等等.若集合若集合Ax|x2x60，Bx|mx10，且，且BA，求，求m的值的值.【錯解錯解】Ax|x2x603,2.BA，mx10的解

14、為的解為3或或2.當當mx10的解為的解為3時，時，由由m(3)10，得，得m ；當當mx10的解為的解為2時，由時，由m210得得m .綜上所述，綜上所述，m 或或m .【錯因錯因】上述解法是初學者解此類問題的典型錯誤解法上述解法是初學者解此類問題的典型錯誤解法.原因是考慮不全原因是考慮不全面，由集合面，由集合B的含義及的含義及BA，忽略了集合為，忽略了集合為的可能，而漏掉解的可能，而漏掉解.因此題目若出因此題目若出現(xiàn)包含關系時，應首先想到有沒有出現(xiàn)現(xiàn)包含關系時，應首先想到有沒有出現(xiàn)的可能的可能.【正解正解】Ax|x2x603,2.BA，當當B時，時，m0適合題意適合題意.當當B 時，時，方

15、程方程mx10的解為的解為x ，則則 3或或 2，m 或或m綜上可知，所求綜上可知，所求m的值為的值為0或或 或或1.集合集合0,1的子集有的子集有()A.1個個B.2個個C.3個個 D.4個個【答案答案】D2.下列各式中，正確的是下列各式中，正確的是()A.2 x|x3 B.2 x|x3C.2 x|x3 D.2 x|x3【解析解析】2 表示一個元素，表示一個元素，x|x3表示一個集合，但表示一個集合，但2 不在集合不在集合 中，故中，故2 x|x3，A、C不正確，又集合不正確，又集合2 x|x3，故，故D不正確不正確.【答案答案】B3.集合集合A1與集合與集合Bx|x24x30的關系為的關系為.【答案答案】A B4.已知集合已知集合AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)0要要使使APB，求滿足條件的集合，求滿足條件的集合P.【解析解析】由題意得，由題意得，AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)01,1，4，由由APB知集合知集合P非空，且其元素全屬于非空，且其元素全屬于B，即有滿足條件的集合，即有滿足條件的集合P為：為：1或或1或或4或或1,1或或1，4或或1，4或或1,1，4.