《四川省開江縣高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列課件 新人教A版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《四川省開江縣高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列課件 新人教A版必修5（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.4 等比數(shù)列等比數(shù)列 （1）請(qǐng)你觀察：上面數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？上面數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？從第從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的項(xiàng)的比比都等于都等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)。1, 2, 4, 8, 16, ,263; 1111,;248 1, 1, 1, 1,;1.0198, 1.01982, 1.01983, .定義：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第如果一個(gè)數(shù)列從第2 2項(xiàng)起，項(xiàng)起，每一項(xiàng)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) 的的比比都等于都等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)。那么這個(gè)數(shù)列就叫做那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列. .叫做等比數(shù)列的叫做等比數(shù)列的公比公比，公比通常用，公比通常用 q表示

2、表示1.nnaqa 這個(gè)常數(shù)這個(gè)常數(shù)即即(q0 ).當(dāng)當(dāng) q1，a10，數(shù)列是遞增數(shù)列數(shù)列是遞增數(shù)列.或或 0q1，a11，a10，數(shù)列是遞減數(shù)列數(shù)列是遞減數(shù)列.或或 0q0 時(shí)時(shí)，qaann1說明：說明： (1) 因?yàn)榈缺葦?shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，因?yàn)榈缺葦?shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，所以每一項(xiàng)均不為所以每一項(xiàng)均不為0， 因此因此 q0 .(2) 當(dāng)當(dāng)q0時(shí)，時(shí)， 數(shù)列單調(diào)性不定數(shù)列單調(diào)性不定.當(dāng)當(dāng) d = 0 時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列；時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列；當(dāng)當(dāng) d 0 時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)當(dāng) d 0 時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列.等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義：daann 1對(duì) 比

3、)(Rd 思考思考:(1) 等比數(shù)列中有為等比數(shù)列中有為0的項(xiàng)嗎？的項(xiàng)嗎？ (2) 公比為公比為1的數(shù)列是什么數(shù)列？的數(shù)列是什么數(shù)列？(3) 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列 存在嗎？存在嗎？(4) 常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？由此得到由此得到：分析分析1：根據(jù)等比數(shù)列的定義：從第二項(xiàng)起每一根據(jù)等比數(shù)列的定義：從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)乘以公比項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)乘以公比 q ，所以，所以，qaa12qaa23，211)(qaqqaqaa34，3121)(qaqqa11 nnqaa問：問：若已知等比數(shù)列若已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng) a1 ，公比

4、，公比 q , 能確定這個(gè)數(shù)列嗎？能確定這個(gè)數(shù)列嗎？分析分析2：根據(jù)等比數(shù)列的定義：根據(jù)等比數(shù)列的定義：1 nnqaa)2(1 nqaann)(2 nqaq22 naq33 naq)(32 nqaq （當(dāng)（當(dāng)n=1時(shí)等式也成立）時(shí)等式也成立）11aqn 11 nnqaaqaa12）（ 1）（2）（3）（1n個(gè)等式相乘得：將上面1n分析分析2：根據(jù)等比數(shù)列的定義：根據(jù)等比數(shù)列的定義：qaa23qaa34qaann111nnqaa11 nnqaa3124123211nnnnnaaaaaq qqaaaaa 個(gè)例如：例如：1，2， 4，8， 263 . 首項(xiàng)首項(xiàng) a1=1 ，公比，公比 q=2 ，.

5、)64(221 nann即即11 nnqaa通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式 an=12n-1= 2n-1(n64)從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列通項(xiàng)公式：從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列通項(xiàng)公式：11 nnqaa.1nqqa 時(shí)，時(shí)，且，且當(dāng)當(dāng)10 qq，是一個(gè)指數(shù)函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)xqy ，的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積是一個(gè)不為是一個(gè)不為 01xqqay .1群孤立的點(diǎn)群孤立的點(diǎn)圖象上一圖象上一的圖象是函數(shù)的圖象是函數(shù)等比數(shù)列等比數(shù)列xnqqaya anOn1 2 3 4 5 6 710987654321等比數(shù)列圖象等比數(shù)列圖象是函數(shù)是函數(shù) 圖象上一群孤立的點(diǎn)圖象上一群孤立的點(diǎn)nna221 xy221 :2

6、21的圖象的圖象等比數(shù)列等比數(shù)列nna 想一想：想一想：如果在如果在a與與b中間插入一個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)G，使，使a, G, b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么G應(yīng)滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？)0(,2 ababGbGa成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列，得成等比數(shù)列，得，由由bGa，GbaG abG 2.,成等比數(shù)列成等比數(shù)列bGa結(jié)論：結(jié)論：即即.abG ，如如果果，反反過過來來)0( ababG即即abG 2)0( ab則則，GbaG 等比中項(xiàng)：等比中項(xiàng)：，的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)與與叫做叫做成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么，如果如果baGbGa由此得由此得,在等比數(shù)列在等比數(shù)列a1 , a2

7、 , a3 , a4 , a5 , an , 中中,112 nnnaaa）（2 n11 nnnnaaaa）（2 n).0(2 ababG且且結(jié)論：結(jié)論：)2, 0(112 naaaaannnnn是是等等比比數(shù)數(shù)列列341218121.一一個(gè)個(gè)等等比比數(shù)數(shù)列列的的第第 項(xiàng)項(xiàng)與與第第 項(xiàng)項(xiàng)分分別別是是與與，求求它它的的第第 項(xiàng)項(xiàng)與與第第例例項(xiàng)項(xiàng)。1aq設(shè)設(shè)此此等等比比數(shù)數(shù)列列的的首首項(xiàng)項(xiàng)為為， 公公比比解解為為：，則則181243aa18123121qaqa即，解得233161qa.82331612qaa。與分別是項(xiàng)項(xiàng)與第答：這個(gè)數(shù)列它的第831621得，由11nnqaa，11mmqaa，mnmn

8、mnqqaqaaa1111.mnmnqaa（這是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式（這是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式 ）想一想：想一想：由一個(gè)等比數(shù)列由一個(gè)等比數(shù)列 an 中的任意兩項(xiàng)中的任意兩項(xiàng) an ， am是否可以確定這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？是否可以確定這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？ 解法解法2：，181243aa121834aaq.23得：由mnmnqaa3131qaa2)23(12，316qaa12.823316341218121.一一個(gè)個(gè)等等比比數(shù)數(shù)列列的的第第 項(xiàng)項(xiàng)與與第第 項(xiàng)項(xiàng)分分別別是是與與，求求它它的的第第 項(xiàng)項(xiàng)與與第第例例項(xiàng)項(xiàng)。例例2. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn

9、, )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列.（1）解解:1(1) ,3nnSa111(1) ,3Sa即即111(1) ,3aa11.2a 又又221(1) ,3Sa即即1221(1) ,3aaa21.4a例例2. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn , )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列.（2）證明證明:當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，1nnnaSS 111(1)(1)33nnaa 11133nnaa 12133nnaa 11.2nnaa 數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 ，公比為

10、，公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列.12 12 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，11.2a 解：解： 由由知：知：121 nna，1)21( n數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 a1=1，公比為，公比為q= 的等比數(shù)列的等比數(shù)列.21又由又由 1nnbb122loglog nnaa12log nnaa即即21log2 1nnbb，1 )2( n所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 b1=1，公差為，公差為d=1的等差數(shù)列的等差數(shù)列. 本題揭示了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的一種代數(shù)變換本題揭示了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的一種代數(shù)變換關(guān)系關(guān)系.不失一般性，設(shè)不失一般性，設(shè)c0，c1, 則：則：說說 明：明：naclogcna

11、若數(shù)列若數(shù)列an是等差數(shù)列，那么數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列 是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；反之反之,若若an是等比數(shù)列且是等比數(shù)列且an 0,則數(shù)列則數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列.易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)：審題不細(xì)心根據(jù)a7是a5與a9的等比中項(xiàng)求出a7 后易忽視對(duì)a7 符號(hào)的討論等比數(shù)列等比數(shù)列an 的判定方法：的判定方法：)0()1(1 qqqaaannn是常數(shù)且是常數(shù)且是等比數(shù)列是等比數(shù)列)20()2(112 naaaaannnnn，是等比數(shù)列是等比數(shù)列)0()3(的常數(shù)的常數(shù)為非為非、是等比數(shù)列是等比數(shù)列qccqaannn 等比數(shù)列常用性質(zhì)等比數(shù)列常用性質(zhì).，則若)1(qpnmaaaaqpnm.且公比為數(shù)列，組

12、成的數(shù)列仍然是等比，)3(2mmkmkkqaaa.數(shù)列比 等組成的數(shù)列仍然是，)2(232kkkkkSSSSS.仍為等比數(shù)列)常數(shù)0(與則數(shù)列，均為等比數(shù)列與若)4(mbmabmabannnnnn(前提條件：連續(xù)前提條件：連續(xù)k項(xiàng)的和不為項(xiàng)的和不為0).2727,2，求此四個(gè)數(shù)，求此四個(gè)數(shù)其和為其和為后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其積為其積為，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列有四個(gè)數(shù)有四個(gè)數(shù)例例，設(shè)這四個(gè)數(shù)為設(shè)這四個(gè)數(shù)為解：解：aqaqa，273 aaqaqa.3633 qq ，后三個(gè)數(shù)為后三個(gè)數(shù)為，又又2793633 qqq.15931，故所求的四個(gè)數(shù)為故所求的四個(gè)數(shù)為，aaq

13、 2.3 a得得.3 q得得則則例例4.，設(shè)設(shè)這這四四個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為：法法daada 2.2727,2，求此四個(gè)數(shù)，求此四個(gè)數(shù)其和為其和為后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其積為其積為，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列有四個(gè)數(shù)有四個(gè)數(shù)例例，ada2)( 則則，27 daada.9 a.999)9(2，前三個(gè)數(shù)為前三個(gè)數(shù)為dd ，又又279)9(9)9(2 dd，即即27)9(3 d，39 d.6 d.15931，故所求的四個(gè)數(shù)為故所求的四個(gè)數(shù)為例例4.61求這三個(gè)數(shù)求這三個(gè)數(shù)，的和為的和為且這三個(gè)數(shù)且這三個(gè)數(shù)比數(shù)列，比數(shù)列，這三個(gè)數(shù)，又可構(gòu)成等這三個(gè)數(shù)，又可構(gòu)成等如果適當(dāng)排列如果適當(dāng)排

14、列，三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列例例則則，：由由已已知知可可設(shè)設(shè)這這三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為解解：daada 6 daada，即即2 a.222dd ，這這三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為：例例5.則則，為為等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)若若 2)1(，)2)(2(22dd ，解解得得0 d.222，此此時(shí)時(shí)三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為：則則，為為等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)若若d 2)3(，)2(2)2(2dd ，或或解解得得06 dd.222248，或或，此此時(shí)時(shí)三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為： 則則，為為等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)若若d 2)2(，)2(2)2(2dd ，或或解解得得06 dd.222842，或或，此此時(shí)時(shí)三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為： ：綜綜上上所所述述所所求求三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為.222824，或或， .222dd ，這這三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為：