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廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題四 分類討論問題課件

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1、20172017中考總復(fù)習(xí)中考總復(fù)習(xí)專題四 分類討論問題 分類討論問題就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形,然后再逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想. 分類討論問題是創(chuàng)新性問題之一,此類題綜合性強(qiáng),難度較大,在各地中考試題中多以壓軸題出現(xiàn),對考生的能力要求較高,具有選拔性.目前,深圳中考試卷中,常見的需分類討論的知識點(diǎn)有三大類:(1)代數(shù)類:有絕對值、方程及根的定義,函數(shù)的定義以及點(diǎn)(坐標(biāo)未給定)所在象限等.(2)幾何類:有各種圖形的位置關(guān)系,未明確對應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對應(yīng)情況等.(3)綜合類:代數(shù)與幾何類分類情況的綜合運(yùn)用. 在數(shù)學(xué)中,我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)

2、的差異,分各種不同情況予以考查.這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,同時(shí)也是一種解題策略.分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn),將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法,掌握分類的方法,領(lǐng)會其實(shí)質(zhì),對于加深基礎(chǔ)知識的理解,提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的. 分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;(2)一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);(3)分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.代數(shù)類常常涉及絕對值,方程及根的定義,分式、根式方程.【例題 1】已知|a|=5,|b|=3,且ab0,求a-b的值思路分析:根據(jù)已知條件和絕對值的性質(zhì),得a=5,b=3,且ab0,確定a,b的符號,求出a-b的值解:|a|=5,|b

3、|=3,a=5,b=3ab0,a,b異號當(dāng)a=5,b=-3時(shí),a-b=5-(-3)=8當(dāng)a=-5,b=3時(shí),a-b=-5-3=-8故a-b的值為8或-8題型一題型一 代數(shù)類代數(shù)類【例題 2】已知實(shí)數(shù)a,b分別滿足a2+2a=2,b2+2b=2,求 的值.思路分析:根據(jù)題意,a,b可看作方程x2+2x-2=0的兩根,則根據(jù)韋達(dá)定理得到a+b=-2,ab=-2,然后把原式變形得到原式= ,再利用整體代入的方法計(jì)算即可.解:若ab,可知a,b為方程x2+2x-2=0的兩實(shí)數(shù)根,由韋達(dá)定理,得a+b=-2,ab=-2,若a=b,則解關(guān)于a,b的方程,分別得a=b= 或a=b=, 或綜上所述, 或 或

4、11ab11ababab1121.2ababab13 13 1113ab 1113.ab 1113ab 1113.ab 111.ab【例題 3】已知直角三角形兩邊x,y的長滿足,則第三邊長為.思路分析:直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出x2=4,y2-5y+6=0,再利用分類討論得出即可解答: 兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這兩個(gè)非負(fù)數(shù)都為0,x2-4=0且y2-5y+6=0.x2=4,(y-2)(y-3)=0.又x0,x=2,y=2或y=3.當(dāng)x=2,y=2時(shí),x,y都是直角邊,第三邊為斜邊,根據(jù)勾股定理第三邊為;當(dāng)x=2,y=3,且x,y都是直角邊時(shí),根據(jù)勾股定理第三邊為斜邊即;當(dāng)x=2

5、,y=3,且y為斜邊時(shí),根據(jù)勾股定理第三邊為另一條直角邊即 故答案為 或 或 .22456xyy22456,xyy2 25.1313.2 25.【例題 4】(2016荊門市)已知3是關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長,則ABC的周長為( )A7B10C11D10或11思路分析:把x=3代入已知方程求得m的值;然后通過解方程求得該方程的兩根,即等腰三角形ABC的兩條邊長;最后利用三角形三邊關(guān)系和三角形的周長公式求解即可解答:把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0,解得m=6,則原方程為x2-7x+12=0,解得

6、x1=3,x2=4.因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰ABC的兩條邊長,所以當(dāng)ABC的腰為4,底邊為3時(shí),ABC的周長為4+4+3=11;當(dāng)ABC的腰為3,底邊為4時(shí),ABC的周長3+3+4=10綜上所述,該ABC的周長為10或11故答案選DD幾何類常涉及各種圖形的位置關(guān)系,未明確對應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對應(yīng)情況,函數(shù)的定義以及點(diǎn)(坐標(biāo)未給定)所在象限等;函數(shù)定義域變化、函數(shù)圖象未給出、函數(shù)對稱性(反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象)等,分類討論問題也常通過數(shù)形結(jié)合的方法來解答.題型二題型二 幾何類幾何類【例題 5】在半徑為5 cm的 O中,弦AB=6 cm,弦CD=8 cm,且ABCD,求AB與CD之

7、間的距離.思路分析:兩平行弦與圓心的位置關(guān)系一般有兩種:兩弦在圓心的同側(cè);兩弦在圓心的異側(cè).解:過點(diǎn)O作AB,CD的垂線,分別交AB,CD于點(diǎn)E,F(xiàn),連接OA,OC.在RtOAE中,在RtOCF中,2222534().OEOAAEcm2222543().OFOCCFcm當(dāng)AB,CD在圓心O的同側(cè)時(shí),如圖,AB和CD之間的距離為EF=4-3=1(cm);當(dāng)AB,CD在圓心O的異側(cè)時(shí),如圖,AB和CD之間的距離為EF=4+3=7(cm).AB和CD之間的距離為1 cm或7 cm.【例題 6】(2016臺州市)定義:有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形(1)三等角四邊形ABCD中,A=B=C,求A的

8、取值范圍.(2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點(diǎn)E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點(diǎn)A,C處,折痕分別為DG,DH求證:四邊形ABCD是三等角四邊形(3)三等角四邊形ABCD中,A=B=C,若CB=CD=4,則當(dāng)AD的長為何值時(shí),AB的長最大,其最大值是多少?并求此時(shí)對角線AC的長思路分析:(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360,確定出A的范圍;(2)由四邊形DEBF為平行四邊形,得到E=F,且E+EBF=180,再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等,判斷出DAB=DCB=ABC,即可;(3)分三種情況分別討論計(jì)算AB的長,從而得出當(dāng)AD=2時(shí),AB最長,最后計(jì)算出對角線AC的長解答:(1)解:A=B=C.3A

9、+ADC=360.ADC=360-3A0ADC180,0360-3A180.60A120.(2)證明:四邊形DEBF為平行四邊形,E=F,且E+EBF=180DE=DA,DF=DC,E=DAE=F=DCF.DAE+DAB=180,DCF+DCB=180,E+EBF=180,DAB=DCB=ABC.四邊形ABCD是三等角四邊形.(3)解:當(dāng)60A90時(shí),如答圖,過點(diǎn)D作DFAB交點(diǎn)BC于點(diǎn)F,DEBC交點(diǎn)AB于點(diǎn)E,四邊形BEDF是平行四邊形,DFC=B=DEA.EB=DF,DE=FB.A=B=C,DFC=B=DEA,DAEDCF,AD=DE,DC=DF=4.設(shè)AD=x,AB=y,AE=y-4,

10、CF=4-x.DAEDCF, 當(dāng)x=2時(shí),y的最大值是5,即當(dāng)AD=2時(shí),AB的最大值為5.AEADCFCD4.44yxx22114(2)5.44yxxx 當(dāng)A=90時(shí),三等角四邊形是正方形,AD=AB=CD=4.當(dāng)90A120時(shí),D為銳角,如答圖,AE=4-AB0,AB4.綜上所述,當(dāng)AD=2時(shí),AB的長最大,最大值是5;此時(shí),AE=1,如答圖.過點(diǎn)C作CMAB于點(diǎn)M,DNAB于點(diǎn)N.DA=DE,DNAB,AN= AE= .DAN=CBM,DNA=CMB=90,DANCBM.BM=1.AM=4, 12122215.CMBCBM22161531.ACAMCM.ADANBCBM代數(shù)與幾何類分類情

11、況的綜合運(yùn)用.【例題 7】(2016齊齊哈爾市)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A( ,0)的兩條直線分別交y軸于B,C兩點(diǎn),且B,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根(1)求線段BC的長度(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由(3)若點(diǎn)D在直線AC上,且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點(diǎn)P,使以A,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由題型三題型三 綜合類綜合類3思路分析:(1)解出方程后,即可求出B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出BC的長度;(2)由A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA2=

12、OCOB,AOC=BOA,所以可證明AOCBOA,利用對應(yīng)角相等即可求出CAB=90;(3)容易求得直線AC的表達(dá)式,由DB=DC可知,點(diǎn)D在BC的垂直平分線上,所以D的縱坐標(biāo)為1,將其代入直線AC的表達(dá)式即可求出D的坐標(biāo);(4)以A,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,可分為以下三種情況:AB=AP;AB=BP;AP=BP;然后分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解:(1)x2-2x-3=0,x=3或x=-1B(0,3),C(0,-1)BC=4(2)ACAB.理由如下:A( ,0),B(0,3),C(0,-1),OA=,OB=3,OC=1OA2=OBOC又AOC=BOA=90,AOCBOACAO=ABO

13、CAO+BAO=ABO+BAO=90BAC=90ACAB33(3)設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b.把點(diǎn)A(3,0)和C(0,-1)代入y=kx+b, 解得直線AC的表達(dá)式為DB=DC,點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上D的縱坐標(biāo)為1把y=1代入解得x= D的坐標(biāo)為( ,1)1,03,bkb 1,3.3bk 31.3yx 31.3yx 2 32 3(4)設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=mx+n,直線BD與x軸交于點(diǎn)E.把B(0,3)和D( ,1)代入y=mx+n,解得直線BD的表達(dá)式為 令y=0代入 ,解得x= E( ,0)OE= tanBEO= BEO=302 33,12 3,nmn 3,3.3nm333

14、yx333yx3 33 33 33.3OBOE同理,可求得ABO=30,ABE=30當(dāng)PA=AB時(shí),如答圖此時(shí),BEA=ABE=30,EA=AB點(diǎn)P與點(diǎn)E重合點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,0)當(dāng)PA=PB時(shí),如答圖此時(shí),PAB=PBA=30,ABE=ABO=30,PAB=ABOPABCPAO=90點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 3 33令x= 代入,解得y=2.P( ,2)當(dāng)PB=AB時(shí),如答圖由勾股定理,可求得AB= ,EB=6若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí),記此時(shí)點(diǎn)P為P1,過點(diǎn)P1作P1Fx軸于點(diǎn)F.P1B=AB=EP1=6-sinBEO= FP1=3令y=3 代入 ,解得x=-3P1(-3,3 )3333yx32 32 32 311.FPEP33333yx3若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí),記此時(shí)點(diǎn)P為P2,過點(diǎn)P2作P2Gx軸于點(diǎn)G.P2B=AB= EP2=6+ sinBEO= GP2=3+ 令y=3+ 代入 ,解得x=3P2(3,3+ )綜上所述,當(dāng)以A,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,0),( ,2),(-3,3- ),(3,3+ )2 32 322.GPEP33333yx33 3333完成真題演練:第 題.完成課后作業(yè):第 題.

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