《高三數(shù)學一輪復(fù)習 第八章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學一輪復(fù)習 第八章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 理（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、理數(shù)課標版第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理教材研讀教材研讀文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行abababOlalb 、ab2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所

2、成的角是0的角.如圖所示,PAO就是斜線AP與平面所成的角.(2)線面角的范圍:.0,23.二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直線l.若直線m,n滿足m,n,則()A.mlB.mnC.nlD.mn答案答案C對于A,m與l可能平行或異面,故A錯;對于B、D,m與n可能平行、相交或異面,故B、D錯;對于C,

3、因為n,l,所以nl,故C正確.故選C.2.已知直線a,b和平面,且ab,a,則b與的位置關(guān)系為()A.bB.bC.b或bD.b與相交答案答案C由ab,a知b或b,但直線b不與平面相交.3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1答案答案 D易知AC平面BB1D1D.A1C1AC,A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故選D.4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關(guān)系是.答案答案垂直解析解析由線面平行的性質(zhì)定理知,若一直線平行于一平面,則該面內(nèi)必有

4、一直線與已知直線平行,再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面,另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論.5.如圖,已知PA平面ABC,BCAC,則圖中直角三角形的個數(shù)為.答案答案4解析解析題圖中直角三角形為PAC、PAB、BCP、BCA,故直角三角形的個數(shù)為4.考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)典例典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.考點突破考點突破證明證明(1)在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,P

5、AAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中點,AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.方法技巧方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與一平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線與另一個平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.1-1 S是RtABC

6、所在平面外一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD面SAC.證明證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,在RtABC中,D、E分別為AC、AB的中點,DEBC,DEAB,SA=SB,SAB為等腰三角形,SEAB.又SEDE=E,AB面SDE.又SD面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D為AC的中點,SDAC.又ACAB=A,SD面ABC.(2)由于AB=BC,則BDAC,由(1)知,SD面ABC,又BD面ABC,SDBD,又SDAC=D,BD面SAC.考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點二平面與平面垂直的判定與性

7、質(zhì)典例典例2(2016天津,17改編)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,BAD=60,G為BC的中點.(1)求證:FG平面BED;(2)求證:平面BED平面AED.證明證明(1)取BD的中點O,連接OE,OG.在BCD中,因為G是BC的中點,所以O(shè)GDC且OG=DC=1,又因為EFAB,ABDC,EF=1,所以EFOG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FGOE.又FG 平面BED,OE平面BED,所以FG平面BED.12(2)在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=,進而ADB=90,即BDAD

8、.又因為平面AED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因為BD平面BED,所以平面BED平面AED.3方法技巧方法技巧面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,進而把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.(1)設(shè)M是PC上的一點,證明:平

9、面MBD平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.3解析解析(1)證明:在ABD中,AD=4,BD=4,AB=8,AD2+BD2=AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD,3平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,BD平面PAD.又BD平面MBD,平面MBD平面PAD.(2)過點P作POAD于O,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD.即PO為四棱錐P-ABCD的高.又PAD是邊長為4的等邊三角形,PO=4=2.在RtADB中,斜邊AB上的高為=2,此即為梯形ABCD的高.S梯形ABCD=2=12.3234 4 38348233VP-ABCD=12

10、2=24.1333考點三平行與垂直的綜合問題考點三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明典例典例3 (2016江蘇,16,14分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.證明證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DEAC,于是DEA1C1.又因為DE 平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱

11、柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因為B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題典例典例4如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,S

12、A=SD,SAAB,N是棱AD的中點.(1)求證:AB平面SCD;(2)求證:SN平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一點P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.SPPC解析解析(1)證明:因為ABCD是矩形,所以ABCD,又因為AB 平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD.(2)證明:因為ABSA,ABAD,SAAD=A,所以AB平面SAD,又因為SN平面SAD,所以ABSN.因為SA=SD,且N為AD的中點,所以SNAD.又因為ABAD=A,所以SN平面ABCD.(3)在棱SC上存在一點P,使得平面PBD平面ABCD.理由:如圖,連接BD交NC于點

13、F,在SNC中,過F作FPSN,交SC于點P,連接PB,PD.因為SN平面ABCD,所以FP平面ABCD.又因為FP平面PBD,所以平面PBD平面ABCD.在矩形ABCD中,因為NDBC,且N為AD的中點,所以=.在SNC中,因為FPSN,所以=.所以在棱SC上存在一點P,使得平面PBD平面ABCD,此時=.NFFCNDBC12NFFCSPPC12SPPC12命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題典例典例5(2016課標全國,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到

14、DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱錐D-ABCFE的體積.542解析解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得=.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以O(shè)D平面ABC.(8分)AEADCFCDOHDOAEAD1422ABAO2

15、又由=得EF=.五邊形ABCFE的面積S=68-3=.(10分)所以五棱錐D-ABCFE的體積V=2=.(12分)EFACDHDO9212129269413694223 22方法技巧方法技巧平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似知識取點.(2)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.3-1如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分別是CD和PC的中點.求證:(1)PA底面

16、ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.證明證明(1)因為平面PAD底面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線AD,所以PA底面ABCD.(2)因為ABCD,CD=2AB,E為CD的中點,所以ABDE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BEAD.又因為BE 平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因為ABAD,且四邊形ABED為平行四邊形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD,又PAAD=A,所以CD平面PAD.所以CDPD.因為E和F分別是CD和PC的中點,所以PDEF,故CDEF.又因為EF平面BEF,BE平面B

17、EF,且EFBE=E,所以CD平面BEF.又因為CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD.3-2如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點,F為AE的中點.現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:(1)在線段AB上是否存在一點K,使BC平面DFK?若存在,請證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求證:平面BDE平面ADE.解析解析(1)如圖,線段AB上存在一點K,且當AK=AB時,BC平面DFK.證明如下:14設(shè)H為AB的中點,連接EH,則BCEH,AK=AB,F為AE的中點,KFEH,KFBC,KF平面DFK,BC 平面DFK,BC平面DFK.14(2)證明:在折起前的圖形中E為CD的中點,AB=2,BC=1,在折起后的圖形中,AE=BE=,2從而AE2+BE2=4=AB2,AEBE.平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,BE平面ADE,BE平面BDE,平面BDE平面ADE.