高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題數(shù)形結(jié)合思想
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1、高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題:第二講 數(shù)形結(jié)合思想 【思想方法詮釋】 一、數(shù)形結(jié)合的思想 所謂的數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái),并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問(wèn)題,拓寬了解題思路,是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合. 數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是
2、代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化. 二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種: 1.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍; 2.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍; 3.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系; 4.構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式; 5.構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題; 6.構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題; 7.構(gòu)建方程模型,求根的個(gè)數(shù); 8.研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。 三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見(jiàn)方法與技巧,特別是在解選擇題、填空題時(shí)
3、發(fā)揮奇特功效,具體操作時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 1.準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域; 2.用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法,值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整,以便于作圖)然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,由圖求解。 四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí),需做到以下四點(diǎn): 1.要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征; 2.要恰當(dāng)設(shè)參,合理用參,建立關(guān)系,做好轉(zhuǎn)化; 3.要正確確定參數(shù)的取值范圍,以防重復(fù)和遺漏; 4.精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”,使一些較難解決的代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化,以便于問(wèn)
4、題求解。 【核心要點(diǎn)突破】 要點(diǎn)考向1:利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題 例1:實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求: (1)點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積; (2)的取值范圍; (3)(a-1)2+(b-2)2的值域. 思路精析:列出a,b滿(mǎn)足的條件→畫(huà)出點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域→求面積→根據(jù)的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域. 解析:方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是:函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在
5、區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi), 由此可得不等式組 由,解得A(-3,1). 由,解得C(-1,0). ∴在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi),滿(mǎn)足條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC(不包括邊界). (1)△ABC的面積為(h為A到Oa軸的距離). (2)幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線(xiàn)的斜率. 由圖可知 (3)∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方, 注:如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征,就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題,即所謂的幾何法求解,比較常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)有: (1)連線(xiàn)的斜率; (2)之
6、間的距離; (3)為直角三角形的三邊; (4)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=.只要具有一定的觀察能力,再掌握常見(jiàn)的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類(lèi)型,就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法. 要點(diǎn)考向2:用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù),解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題 例2:(1)已知:函數(shù)f(x)滿(mǎn)足下面關(guān)系:①f(x+1)=f(x-1);②當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是( ) (A)5 (B)7 (C)9 (D)10 (2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]時(shí),恒有f(x)≤g(x),求實(shí)數(shù)a的范圍. 思
7、路精析:(1)畫(huà)出f(x)的圖象→畫(huà)出y=lgx的圖象→數(shù)出交點(diǎn)個(gè)數(shù). (2)f(x)≤g(x)變形為→畫(huà)出的圖象→畫(huà)出的圖象→尋找成立的位置 解析:(1)選C.由題間可知,f(x)是以2為周期,值域?yàn)閇0,1]的函數(shù).又f(x) =lgx,則x∈(0,10],畫(huà)出兩函數(shù)圖象,則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn). (2)f(x)≤g(x),即,變形得,令…………①,………………② ①變形得,即表示以(-2,0)為圓心,2為半徑的圓的上半圓; ②表示斜率為,縱截距為1-a的平行直線(xiàn)系.設(shè)與圓相切的直線(xiàn)為AT,其傾斜角為,則有tan=,, 要使f(x)≤g(x)在x∈
8、[-4,0]時(shí)恒成立,則②成立所表示的直線(xiàn)應(yīng)在直線(xiàn)AT的上方或與它重合,故有1-a≥6,∴a≤-5. 注:(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法,其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí),需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)),然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù). (2)解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題,往往可以避免繁瑣的運(yùn)算,獲得簡(jiǎn)捷的解答. (
9、3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降;奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性;最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo). 要點(diǎn)考向2:數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用 例3:已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線(xiàn),分別交橢圓于另外兩點(diǎn),,求證:直線(xiàn)的斜率為定值; (Ⅲ)求面積的最大值. 解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為. 由題意………………………………………………2分 解得 ,. 所以橢圓的方程為.………………………………………………4分 (Ⅱ)由題意知,兩直線(xiàn),的斜
10、率必存在,設(shè)的斜率為,則的直線(xiàn)方程為. 由得 .………………6分 設(shè),,則 , 同理可得, 則,. 所以直線(xiàn)的斜率為定值. ……………………………………8分 (Ⅲ)設(shè)的直線(xiàn)方程為. 由得. 由,得.……………………………………10分 此時(shí),. 到的距離為, 則 . 因?yàn)槭古袆e式大于零, 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 所以面積的最大值為.………………………………………………………13分 注:1.?dāng)?shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)輔形,通過(guò)方程等代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題,也就是解析法,解析法與幾何法結(jié)合來(lái)解題,會(huì)有更大的功效. 2.此類(lèi)題目的求解
11、要結(jié)合該類(lèi)圖形的幾何性質(zhì),將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言,即方程(組)或不等式(組),從而將問(wèn)題解決. 要點(diǎn)考向2:數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用 例4:如圖1,在直角梯形中,,,,為線(xiàn)段的中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示. (Ⅰ) 求證:平面; (Ⅱ) 求二面角的余弦值. 解析:(Ⅰ)在圖1中,可得,從而,故. 取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面, 面面,面,從而平面. …………………4分 ∴,又,. ∴平面. ………………………………………………6分 (Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,
12、,. ………………………………………………8分 設(shè)為面的法向量, 則即,解得. 令,可得. 又為面的一個(gè)法向量, ∴. ∴二面角的余弦值為. 注:1.應(yīng)用空間向量可以解決的常見(jiàn)問(wèn)題有空間角中的異面直線(xiàn)所成的角、線(xiàn)面角、二面角;位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置.其一般思路是:盡量建立空間直角坐標(biāo)系,將要證、要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算. 2.立體幾何問(wèn)題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì),結(jié)合該類(lèi)圖形的幾何性質(zhì),將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,為代數(shù)法求解找到突破口. 【跟蹤模擬訓(xùn)練】 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1.方程lgx=si
13、nx的根的個(gè)數(shù)( ) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 2.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( ) A.(3,5) B.(-2,+) C.(-2,5) D.(5,+) 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為( ) (A)2 (B)1 (C) (D) 4.函數(shù)圖象如圖,則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(
14、 )
-2
3
y
x
0
A. B.C. D.
5.不等式組有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
6.已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0 15、(x,y)|x+y+m≥0},則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
三、解答題(10、11題每題15分,12題16分,共46分)
10.如圖,已知四棱錐的底面是正方形,⊥底面,且,點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上,且
(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面的所成銳
二面角的大小
11.如圖,,是通過(guò)某市開(kāi)發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路,連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線(xiàn)弧,它所在的拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)L1對(duì)稱(chēng).M到L1、L2的距離分別是2 km、4km,N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線(xiàn)弧MN的方程;
(Ⅱ) 16、該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠,考慮到環(huán)境問(wèn)題,要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過(guò)8km,并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于km.求此廠離點(diǎn)0的最近距離.(注:工廠視為一個(gè)點(diǎn))
12.已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案
1.【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象,如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3.
2.答案:B
3.
作出 17、不等式組表示的平面區(qū)域B,如圖所示,根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?,可求出面積,所以平面區(qū)域B的面積為1.
4.答案:D
5.答案:A
6.【解析】選B.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出
f(x)在(-3,0)上的圖象如
圖,結(jié)合y=cosx在(-3,0),
(0,3)上函數(shù)值的正負(fù),
易知不等式f(x)cosx<0的解集是
7.【解析】由題意知,設(shè),則k為過(guò)圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線(xiàn)斜率,作圖如下:
又由對(duì)稱(chēng)性,可得答案:
答案:
8.【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,其圖象如圖.
畫(huà)直線(xiàn)y=m,由圖象知當(dāng)1 18、5時(shí),方程有四個(gè)不相等的實(shí)根.
答案:(1,5)
9.【解析】由于集合A,B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個(gè)圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個(gè)不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使AB,則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含(如圖),
即直線(xiàn)x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方),而當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)有
故m的取值范圍是m≥-1.
答案:m≥-1
10.解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系又
PA=AD=2,則有P(0,0,2),D(0,2,0)
……3分
(Ⅰ)
又……………7分
(Ⅱ)設(shè)則有
同理可得即得…… 19、…………9分
由
而平面PAB的法向量可為
故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為…………12分
11.解析:(1)分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則M(2,4),N(3,9)
設(shè)MN所在拋物線(xiàn)的方程為,則有
,解得
∴所求方程為(2≤≤3) 5分
(說(shuō)明:若建系后直接射拋物線(xiàn)方程為,代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)方程,本問(wèn)扣2分)
(2)設(shè)拋物線(xiàn)弧上任意一點(diǎn)P(,)(2≤≤3)
廠址為點(diǎn)A(0,)(5<t≤8,由題意得≥
∴≥0 7分
令,∵2≤≤3,∴4≤≤9
∴對(duì)于任意的,不等式≥0恒成立(*) 8分
設(shè),∵≤8
20、∴≤.
要使(*)恒成立,需△≤0,即≤0 10分
解得≥,∴的最小值為
所以,該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km 12分
12.【解析】(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
①當(dāng)t+1<4即t<3時(shí),f(x)在
[t,t+1]上單調(diào)遞增(如圖①).
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7.
②當(dāng)t≤4≤t+1即3≤t≤4時(shí),f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖②)
③當(dāng)t>4時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減(如圖③),
h(t)=f(t)=-t2+8t.
(2)函數(shù)y=f(x 21、)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x=1或x=3時(shí),φ′(x)=0.
∴φ(x)極大值=φ(1)=m-7,
φ(x)極小值=φ(3)=m+6ln3-15.
∵當(dāng)x充分接近0時(shí),φ(x)<0,
當(dāng)x充分大時(shí),φ(x)>0,
∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交 22、點(diǎn),
即7 23、)+c=0有兩個(gè)不同的根.且一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根為1.
∴b 24、x|-1 25、60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如圖,
建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵M(jìn)N是l1、l2的公垂線(xiàn),l1⊥l2,∴l(xiāng)2⊥平面ABN,
∴l(xiāng)2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是
內(nèi)容總結(jié)
(1)高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題:第二講 數(shù)形結(jié)合思想
【思想方法詮釋】
一、數(shù)形結(jié)合的思想
所謂的數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái),并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法
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