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1、2013年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元 第14講 數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．【課標(biāo)要求】 1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)； 2．通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 二．【命題走向】 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公

2、式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高 預(yù)測2013年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題 三．【要點(diǎn)精講】 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 （2）通項(xiàng)

3、公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 例如，數(shù)列①的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列②的通項(xiàng)公式是= （）。 說明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； ② 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列 （4）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前

4、幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè) 數(shù)列的遞推公式 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：； 說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 （3）等差中項(xiàng)的概念：，，成等差數(shù)列。 （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 四．【典例解析】 題型1：數(shù)列概念 例1（1）、已知為等差

5、數(shù)列，，則等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 選B。 解：∵即∴同理可得∴公差∴. （2）、根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式： 1）1，3，5，7……；2），，，；3），，，。 解：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 例2．?dāng)?shù)列中，已知， （1）寫出，，； （2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？ 解：（1）∵，∴， ，； 2）令，解得，∵，∴， 即為該數(shù)列的第15項(xiàng)。 題型2：數(shù)列的遞推公式 例3．（1）已知數(shù)列適合：，，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式； 2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)

6、造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項(xiàng) 解：（1） ，，，，，……，； （2），，，，，． 點(diǎn)評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。 題型3：數(shù)列的應(yīng)用 例5、如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差． (1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列，求和的關(guān)系式； (2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列； (3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，若將這種順 序的排列作為某種密碼，求這種密碼的

7、個(gè)數(shù)． (1)解：由等方差數(shù)列的定義可知： (2)證法一：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則又是等方差數(shù)列，∴∴即，∴，即是常數(shù)列．證法二：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則……又是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為，則……代入得，……同理有，……兩式相減得：即，∴，即是常數(shù)列． (3)依題意， ，，∴，或， 即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種 確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來時(shí)，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種，故，這種密碼共種． 。 例6．在某報(bào)《自測健康狀況》的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_____）內(nèi)

8、 答案：140 85 解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140；85. 點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動。 題型4：等差數(shù)列的概念 例7．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則{an}是（ ） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D

9、.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 答案：B； 解：an=∴an=2n－1（n∈N） 又an+1－an=2為常數(shù)，≠常數(shù)∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列. 點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運(yùn)用遞推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活 例8．設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1,2,3,…）， 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…） 證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則： ==-=0， ∴（n=1,2,3,…）成立； 又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,…） ∴數(shù)列為等差數(shù)列。

10、 充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,…）， ∵……① ∴……② ①－②得：= ∵ ∴……③ 從而有……④ ④－③得：……⑤ ∵，，，∴由⑤得：（n=1,2,3,…）， 由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,…），則（常數(shù)） 故……⑥ 從而……⑦ ⑦－⑥得：， 故（常數(shù)）（n=1,2,3,…），∴數(shù)列為等差數(shù)列。 綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）。 點(diǎn)評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果 題型5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式 例9．已知等差數(shù)列的公差d

11、不為0，設(shè) （Ⅰ）若 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若成等比數(shù)列，求q的值。 （1）解：由題設(shè)， 代入解得，所以 （2）解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得 點(diǎn)評：本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力 例10．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，設(shè)。 （1）求數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大，最大值為多少？ （2）令，試判斷數(shù)列的增減性？ 解：（1）由已知得： 設(shè)等比數(shù)列{xn}的公比為q(q≠1) 由得為等差數(shù)列，設(shè)公差為d ∵，∴d=－2；∴ 設(shè)前k項(xiàng)為最大，則∴前11

12、項(xiàng)和前12項(xiàng)和為最大，其和為132 (2) an= ∵ ∴∴時(shí)數(shù)列{an}為遞減數(shù)列 點(diǎn)評：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律 題型6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 例11．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ） A.13項(xiàng) B.12項(xiàng) C.11項(xiàng) D.10項(xiàng) （2）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ） A.1 B.2 C.4

13、 D.6 解：（1）答案：A 設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng) ∵∴∴n＝13 （2）答案：B 前三項(xiàng)和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4 a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B. 點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問題、解決問題的能力 例12．（1）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求Tn。 （2）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1

14、=1，b1+b2+…+b10=100，求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn； 解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75， ∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）。 ∵，∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為，∴Tn＝n2－n． 2）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得解得∴bn=2n－1. 點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解 題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例13．（1）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞

15、S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 （2）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 解：（1）答案：C； 由S50， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0， 由題設(shè)a7

16、=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯誤的。 （2）答案：C 解法一：由題意得方程組， 視m為已知數(shù)，解得， ∴。 解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110∴前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基

17、本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 五．【思維總結(jié)】 1．?dāng)?shù)列的知識要點(diǎn)： （1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。 （2）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，

18、就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；③一個(gè)數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛an｝中，前n 項(xiàng)和Sn 與通項(xiàng)公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。即an＝。特別要注意的是，若a1 適合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表達(dá)式，則an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子 2．等差數(shù)列的知識要點(diǎn)： （1）等差數(shù)列定義an＋1－

19、an＝d（常數(shù)）（nN），這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項(xiàng)，如a3－a2＝a2－a1＝d（常數(shù)）就說｛an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 來判斷。 （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)為an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），當(dāng)d≠0時(shí)，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合 （3）對于A 是a、b 的等差中項(xiàng)，可以表示成2 A＝a＋b。 （4）等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式Sn＝·n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。當(dāng)d≠0時(shí)是n 的一

20、個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次式。 （5）等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列； ②等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)； （2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差數(shù)列中，對任意，，，； （4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則； 5．說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①奇偶； ②；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①偶奇；②。 6．（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。 內(nèi)容總結(jié) （1）2013年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元 第14講 數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．【課標(biāo)要求】 1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法 （2）例如，1，1.4，1.41，1.414， （3），，，， （4）（3）在等差數(shù)列中，對任意，，， （5）（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則