2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 數(shù)學(xué)應(yīng)用題
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1、數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題怎么解 數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學(xué)會(huì)文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化,這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,這當(dāng)中,函數(shù),數(shù)列,不等式,排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應(yīng)在復(fù)課時(shí)引起重視. 高中數(shù)學(xué)下載平臺(tái) :數(shù)學(xué)1618 () 為您分享 例1某校有教職員工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時(shí)開放健身房和娛樂室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時(shí)間的推移,去健
2、身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定? 講解: 引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型. 設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an,去娛樂室的人數(shù)為bn,則. . ,于是 即. .故隨著時(shí)間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右. 上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習(xí)題(代數(shù)下冊P.132第34題) 已知數(shù)列的項(xiàng)滿足 其中,證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 有趣的是, 用此模型可以解決許多實(shí)際應(yīng)用題, 特別, 2002年全國高考解答題中的應(yīng)用題(下文例9)就屬此類模型. 例2某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米/小時(shí)(4≤V≤20)從A港出發(fā)前往50千米處的B港,然后乘汽車以勻速W千米/小時(shí)(30
3、≤W≤100)自B港向300千米處的C市駛?cè)ィ谕惶斓?6時(shí)至21時(shí)到達(dá)C市, 設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x小時(shí)、y小時(shí),若所需經(jīng)費(fèi)元,那么V、W分別為多少時(shí),所需經(jīng)費(fèi)最少?并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi). 戰(zhàn)略合作伙伴:有機(jī)蔬菜專賣網(wǎng):http://www.like- 講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解. 由于又 則z最大時(shí)P最小. 作出可行域,可知過點(diǎn)(10,4)時(shí), z有最大值38, ∴P有最小值93,這時(shí)V=12.5,W=30. 視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法. 例3 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào),24小時(shí)后將有一場超歷
4、史記錄的大暴雨,為確保萬無一失,指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測算,其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外,還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是,除了有一輛車可以立即投入施工外,其余車輛需要從各處緊急抽調(diào),每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工,而指揮部最多可組織25輛車。問24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程?并說明理由. 講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型. 由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知,每輛車,每小時(shí)的工作效率為,設(shè)從第一輛車投入施工算起,各車的工作時(shí)間為a1,a2,…, a25小時(shí),依題意它們組成公差(小時(shí))的等差數(shù)列,且
5、 ,化簡可得. 解得. 可見a1的工作時(shí)間可以滿足要求,即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成. 對照此題與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用題, 你一定會(huì)感覺二者的解法是大同小異的. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方案. 例4 某學(xué)校為了教職工的住房問題,計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2,且每層的建筑面積相同,土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算,第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為445元/m2,以后每增高一層,其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.試設(shè)計(jì)這幢
6、宿舍樓的樓高層數(shù),使總費(fèi)用最少,并求出其最少費(fèi)用.(總費(fèi)用為建筑費(fèi)用和征地費(fèi)用之和). 講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學(xué)模型? 設(shè)樓高為n層,總費(fèi)用為y元,則征地面積為,征地費(fèi)用為元,樓層建筑費(fèi)用為 [445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30×(n-2)]·元,從而 (元) 當(dāng)且僅當(dāng) , n=20(層)時(shí),總費(fèi)用y最少. 故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí), 最少總費(fèi)用為1000A元. 實(shí)際應(yīng)用題的數(shù)列模型是近兩年高考命題的熱門話題, 涉及到等差數(shù)列, 等比數(shù)列, 遞歸數(shù)列等知識點(diǎn), 化歸轉(zhuǎn)化是解答的通性同法. 例5 在一很大
7、的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風(fēng)刮跑,其方向與湖岸成15°角,速度為2.5km/h,同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開始追趕小船,已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少? 講解: 不妨畫一個(gè)圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型. 設(shè)船速為v,顯然時(shí)人是不可能追上小船,當(dāng)km/h時(shí),人不必在岸上跑,而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船,因此只要考慮的情況,由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕,當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游
8、水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí),人才能追上小船。設(shè)船速為v,人追上船所用 時(shí)間O A B vt 2(1-k)t 4kt 15° 為t,人在岸上跑的時(shí)間為,則人在水中游的時(shí)間 為,人要追上小船,則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形. 由余弦是理得 即 整理得. 要使上式在(0,1)范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解,則有且 解得. 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí),人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為,由此可見當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船. 涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注. 例6 一
9、根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比,與它的厚度 d的平方成正比,與它的長度l的平方成反比. (1)將此枕木翻轉(zhuǎn)90°(即寬度變?yōu)榱撕穸龋?,枕木的安全?fù)荷變大嗎?為什么? (2)現(xiàn)有一根橫斷面為半圓(半圓的半徑為R)的木材,用它來截取成長方形的枕木,其長度即為枕木規(guī)定的長度,問如何截取,可使安全負(fù)荷最大? a d l 講解:(1)安全負(fù)荷為正常數(shù)) 翻轉(zhuǎn) ,安全負(fù)荷變大.…4分當(dāng) ,安全負(fù)荷變小. (2)如圖,設(shè)截取的寬為a,高為d,則. ∵枕木長度不變,∴u=ad2最大時(shí),安全負(fù)荷最大. ,當(dāng)且僅當(dāng),即取,
10、 取時(shí),u最大, 即安全負(fù)荷最大. 三次函數(shù)最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學(xué)過導(dǎo)數(shù)知識, 其解法就更為方便, 省去了應(yīng)用均值不等式時(shí)配湊“定和”或“定積”的技巧性. 例7 已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表,若用 甲、乙、丙三種食物各x千克,y千克,z千克配成100千克混合食物,并使混合食物 內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B. 甲 乙 丙 維生素A(單位/千克) 600 700 400 維生素B(單位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用x,y表示混合食
11、物成本c元; (2)確定x,y,z的值,使成本最低. 講解:(1)依題意得 . (2)由 , 得 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立., ∴當(dāng)x=50千克,y=20千克,z=30千克時(shí),混合物成本最低為850元. 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容, 涉及此類問題的求解還可利用圖解法, 試試看. 例8 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行,各單位要減員增效,有一家公司現(xiàn)有職員人(140<<420,且為偶數(shù)),每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估,在經(jīng)營條件不變的前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元,但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費(fèi),并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的,為獲得最大
12、的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人? 講解 設(shè)裁員人,可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬元,則 = 依題意 ≥ ∴0<≤. 又140<<420, 70<<210. (1)當(dāng)0<≤,即70<≤140時(shí),,取到最大值; (2)當(dāng)>,即140<<210時(shí), ,取到最大值; 綜上所述,當(dāng)70<≤140時(shí),應(yīng)裁員人;當(dāng)140<<210時(shí),應(yīng)裁員人. 在多字母的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中,分類求解時(shí)需要搞清:為什么分類?對誰分類?如何分類? 例9 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛,預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境,要求該城市汽車保有量不超過60萬
13、輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛? 講解設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛,以后各年末汽車保有量依次為萬輛,萬輛,……,每年新增汽車萬輛,則 , 所以,當(dāng)時(shí),,兩式相減得: (1)顯然,若,則,即,此時(shí) (2)若,則數(shù)列為以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,. (i)若,則對于任意正整數(shù),均有,所以,,此時(shí), (ii)當(dāng)時(shí),,則對于任意正整數(shù),均有,所以,, 由,得 , 要使對于任意正整數(shù),均有恒成立, 即 對于任意正整數(shù)恒成立,解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得 , 上式恒成立的條件為:,由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減,所以,. 本題是2002年全國高考題,上面
14、的解法不同于參考答案,其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題,其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 例10 為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程,我國1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下: 貸款期(年數(shù)) 公積金貸款月利率(‰) 商業(yè)性貸款月利率(‰) …… 11 12 13 14 15 …… …… 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 …… …… 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 …… 汪先生家要購買一套商品房,計(jì)劃貸款25萬元,其中公積金貸款10萬元,分十二年還清
15、;商業(yè)貸款15萬元,分十五年還清.每種貸款分別按月等額還款,問: (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元? (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款,如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清;那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少? (參考數(shù)據(jù):1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651) 講解 設(shè)月利率為r,每月還款數(shù)為a元,總貸款數(shù)為A元,還款期限為n月 第1月末欠款數(shù) A(1+r)-a 第2月末欠款數(shù) [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a 第3月末欠款數(shù) [A(1+
16、r)2-a (1+r)-a](1+r)-a=A(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a…… 第n月末欠款數(shù) 得: 對于12年期的10萬元貸款,n=144,r=4.455‰∴ 對于15年期的15萬元貸款,n=180,r=5.025‰∴ 由此可知,汪先生家前12年每月還款942.37+1268.22=2210.59元,后3年每月還款1268.22元. (2)至12年末,汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款 其中A=150000,a=1268.22,r=5.025‰∴X=41669.53 再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元,當(dāng)月共還款4388
17、0.12元. 需要提及的是,本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器,就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算,這在2002年全國高考第(12)題中得到考查. 例11 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),經(jīng)檢測,病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%. (1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天) (2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天) 天數(shù)t 病毒細(xì)胞總數(shù)N 1
18、 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … 已知:lg2=0.3010. 講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由 兩邊取對數(shù)得 n27.5, 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物. (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為, 再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為, 由題意≤108,兩邊取對數(shù)得 , 故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物. 本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”,這對實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的. 例12有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水
19、的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +[g(0)- ]·e(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù). (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); (2)求證:當(dāng)g(0)< 時(shí),湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重; (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5
20、%?
講解(1)∵g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0,∴g(0)= .
(2) 我們易證得0
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