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1、怎樣理解數(shù)學(xué)怎樣理解數(shù)學(xué) 引言：引言：三個(gè)理解三個(gè)理解（章建躍）（章建躍）u理解數(shù)學(xué)u理解教學(xué)u理解學(xué)生u加一個(gè)：理解教材 一、理解數(shù)學(xué)的定義一、理解數(shù)學(xué)的定義u什么是數(shù)學(xué)？ 一百多年前，恩格斯給數(shù)學(xué)下過一個(gè)定義：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！眜一百多年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展使得數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了“數(shù)”與“形”的范疇，于是出現(xiàn)了一些其他定義。u當(dāng)今數(shù)學(xué)家公認(rèn)的定義： 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。 數(shù)量關(guān)系，空間形式u數(shù)量關(guān)系偏重于“數(shù)”的研究，包括等量關(guān)系、不等量關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系、等價(jià)關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系（引出映射、函數(shù)、拓?fù)涞龋﹗空間形式偏重于“形”的研究，包括各種空

2、間，如0維空間、1維空間、2維空間、3維空間、n維空間、無窮維空間、分?jǐn)?shù)維空間，等 一、一、理解數(shù)學(xué)的定義理解數(shù)學(xué)的定義u數(shù)學(xué)一門“演”“算”的科學(xué)。這里的“演”是指演繹（演繹推理），“算”是指計(jì)算或算法，包括精算和估算，腦算、口算、筆算、珠算、機(jī)算等。u數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。（單墫） 理性思維，理性精神 數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操。u數(shù)學(xué)是模式（模型）的科學(xué)。u數(shù)學(xué)是一種文化，包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等。 一、一、理解數(shù)學(xué)的定義理解數(shù)學(xué)的定義u數(shù)學(xué)(mathematics)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。u數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是研究集合上各種結(jié)構(gòu)(關(guān)系)的科學(xué)。u20世紀(jì)30年代法國(guó)

3、的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為:數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論.結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng).他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)有三種基本的母結(jié)構(gòu):代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域，格)、序結(jié)構(gòu)(偏序，全序)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù))。 二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)1.高度的抽象性高度的抽象性u(píng)數(shù)學(xué)最重要的特征是其研究對(duì)象的抽象性，它決定了數(shù)學(xué)的其他特征，并使它區(qū)別于自然科學(xué)。例如，任何數(shù)字都是抽象的，它舍棄了觀察對(duì)象的一切其他屬性，而只關(guān)注其數(shù)量特性。數(shù)字“1”既可以表示1個(gè)蘋果的數(shù)量，也可以表示1頭牛的數(shù)量，或表示1條河的數(shù)量。數(shù)字“1”就是忽略了蘋果、牛、河等事物的差異，而只從數(shù)量上加以抽象

4、。 1.高度的抽象性高度的抽象性u(píng)從具體數(shù)字再發(fā)展到一個(gè)代表數(shù)量的文字“x”，是進(jìn)一步的抽象。至于函數(shù)y=f (x)，則是更進(jìn)一步的抽象。u在幾何中的點(diǎn)、直線、圓、平面同樣是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物的抽象，同樣是人們?yōu)槊枋霈F(xiàn)實(shí)生活中某些事物而創(chuàng)造的一種語言。比如，在世界地圖上，北京可以看成一個(gè)點(diǎn)，而在中國(guó)地圖中，天安門可以看成一點(diǎn)。數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”實(shí)際上就是我們所考察的事物位置的抽象，它沒有大小，沒有面積，只有位置的不同。 案例：線段案例：線段*射線射線*直線直線u有老師先給學(xué)生看孫悟空的金箍棒，然后問學(xué)生金箍棒像什么？u學(xué)生齊答：像直線。u問題：1.什么叫金箍棒？什么叫棒？ 2.棒能否抽象為直線？如果

5、能，怎樣抽象？u金箍棒棒圓柱（r趨近于0）線段 案例：應(yīng)怎樣引出射線？案例：應(yīng)怎樣引出射線？u華東師大2014年版七年級(jí)上P123-124：把線段向一方無線延伸所形成的圖形叫做射線.u手電筒的光線和激光燈的光束，給了我們射線的形象.u把線段向兩方無線延伸所形成的圖形叫做直線.u問題：射線適合用手電筒的光線來引入或解釋嗎？u點(diǎn)評(píng)：抽象過程是什么？ 案例：人教版課題順序合理嗎？案例：人教版課題順序合理嗎？u人教2014年版七年級(jí)上P125：u問題：課題“直線、射線、線段”的順序合理嗎？人教版初中順序人教版初中順序:體體-面面-線線-點(diǎn)點(diǎn) 人教版： 人教版 角的表示法角的表示法 u問題：只有這三種表

6、示法嗎？有邏輯問題嗎？ u點(diǎn)評(píng)：u分兩大類：具體數(shù)值表示法；字母表示法，又分為用一個(gè)字母表示，用三個(gè)字母表示 質(zhì)疑質(zhì)疑：因式分解的定義：因式分解的定義 u質(zhì)疑：什么叫積？2 3叫不叫積11xx叫不叫積提公因式法的例題和練習(xí)提公因式法的例題和練習(xí)-好啊好啊公式法的例題和練習(xí)公式法的例題和練習(xí)-好啊好啊 小學(xué)案例：百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)小學(xué)案例：百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)u百分?jǐn)?shù)：數(shù)量 比率百分?jǐn)?shù) u問題： 1.百分?jǐn)?shù)怎樣定義？（注：定義最基本方式：屬+種差=被定義概念） 2.教學(xué)重點(diǎn)：意義，符號(hào)，讀法，寫法概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞n概念是思維的細(xì)胞?！皵?shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧?！保ɡ畎詈驮菏浚﹏“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)

7、概括為基礎(chǔ)的能力”，因此重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。 二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓試?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓評(píng)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性決定了數(shù)學(xué)的演繹性。u數(shù)學(xué)中要確立一條規(guī)律（定理）只能依靠嚴(yán)格的邏輯推理，而不能靠經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，更不能靠人們的直覺或想當(dāng)然。u如，我們測(cè)量了很多三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180，但是不能因此而得出所有三角形都如此的結(jié)論，需要嚴(yán)格證明。 2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓試?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓栽缭?500多年之前，古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)在于，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)中的每一個(gè)命題，都要根據(jù)明白無誤的假定和事先給定的公理與公設(shè)，由形式邏輯推演出來。由此，古希臘人發(fā)現(xiàn)了無理

8、數(shù)，并導(dǎo)致歐幾里得幾何原本的誕生。 2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓試?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓詢汕Ф嗄?，很多?shù)學(xué)家試圖用其他公設(shè)來證明歐幾里得第五公設(shè)即平行公設(shè)。但都失敗了。黎曼等數(shù)學(xué)家從另一個(gè)角度考慮問題：放棄平行公設(shè)，并把一個(gè)與平行公設(shè)相反的命題作為新的公設(shè)，這就產(chǎn)生了非歐幾何。黎曼幾何是愛因斯坦的廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓試?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓評(píng)數(shù)學(xué)的理性精神，使人類擺脫了狹隘經(jīng)驗(yàn)的束縛，促使人們理性地思考與認(rèn)識(shí)世界，并頑強(qiáng)地追求理性的完美。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)，反對(duì)實(shí)用主義。把數(shù)學(xué)分成“有用的數(shù)學(xué)”與“無用的數(shù)學(xué)”的提法，是完全錯(cuò)誤的。（北大李忠教授） 2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓試?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓評(píng)數(shù)學(xué)的發(fā)展不是對(duì)于舊

9、的理論的否定。非歐幾何并不是對(duì)歐氏幾何的否定，兩者都成立，只不過是在不同的公理體系下而已。嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性案例嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性案例u點(diǎn)評(píng)：1.這里的“剪”、“折”嚴(yán)密嗎？ 2.這樣做浪費(fèi)嗎？（時(shí)間、材料） 3.實(shí)踐（實(shí)驗(yàn)）能代替數(shù)學(xué)證明嗎？小學(xué)案例：圓的面積能證明嗎小學(xué)案例：圓的面積能證明嗎u問題：1.在小學(xué)，圓的面積能證明嗎？ 2.在小學(xué)，圓的周長(zhǎng)公式能證明嗎？ 3.驗(yàn)證是數(shù)學(xué)證明嗎？ 4.什么叫數(shù)學(xué)證明？ 質(zhì)疑：一百萬有多大質(zhì)疑：一百萬有多大“一百萬有多大”是什么意思？點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)为?dú)的一個(gè)數(shù)何來大?。款愃频?，左右的判斷，秒的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)人民幣，數(shù)字編碼（身份證），秒的認(rèn)識(shí)，鐘表中的數(shù)學(xué)，植樹問題，雞兔同籠等

10、，無太大數(shù)學(xué)價(jià)值 質(zhì)疑：一百萬有多大質(zhì)疑：一百萬有多大“一百萬有多大”是什么意思？點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)为?dú)的一個(gè)數(shù)何來大小？類似的，左右的判斷，秒的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)人民幣，數(shù)字編碼（身份證），秒的認(rèn)識(shí)，鐘表中的數(shù)學(xué)，植樹問題，雞兔同籠等，無太大數(shù)學(xué)價(jià)值 0.999= ？問題：0.999 1嗎？ 0.999=1嗎？ 小學(xué)一年級(jí)：小學(xué)一年級(jí)：3+（ ）=12點(diǎn)評(píng)：本題重慶巴蜀小學(xué)70的學(xué)生都不會(huì)，該不該講，該不該考？ 到了小學(xué)三年級(jí)，本題不教就會(huì)。這說明了什么？ 生命的成長(zhǎng)意味著什么？ 每一位小學(xué)教師都是一位教育家。 二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)二、理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性決定了它的應(yīng)

11、用廣泛性。1+1=2不僅適用于蘋果、牛、河、物理中的力、和功、化學(xué)中的摩爾，而且適用于一切事物。一個(gè)函數(shù)y=Asinx可以代表電路的電流或電壓的變化規(guī)律，也可以代表某種波動(dòng)的規(guī)律。許多完全不同事物提出的問題可以歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 3. 應(yīng)用廣泛性應(yīng)用廣泛性伽利略說：“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字?！弊匀唤缰械囊磺惺挛?，都有“數(shù)”與“形”兩個(gè)側(cè)面。數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系與空間形式，就自然成為物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)和工具。如導(dǎo)數(shù)的物理學(xué)背景是瞬時(shí)速度，化學(xué)背景是化學(xué)反應(yīng)的速度，經(jīng)濟(jì)學(xué)背景是邊際成本或邊際利潤(rùn)，等。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)物理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)的

12、任何重大發(fā)展無不與數(shù)學(xué)的進(jìn)步息息相關(guān)。比如，u牛頓力學(xué)，特別是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，依賴于微積分創(chuàng)立；u而愛因斯坦的相對(duì)論則以黎曼幾何為其基礎(chǔ)； 著名數(shù)學(xué)家黎曼曾經(jīng)指出：“只有在微積分創(chuàng)立之后，物理才發(fā)展成為一門真正意義下的科學(xué)?！?3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)高科技的發(fā)展的基石是數(shù)學(xué)，而且高科技的發(fā)展才使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用達(dá)到空前的廣泛。u例如，分子生物學(xué)中DNA結(jié)構(gòu)的研究與數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論有關(guān)，而理論物理中的規(guī)范場(chǎng)論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān)。至于現(xiàn)代理論物理則用到了許多當(dāng)代純數(shù)學(xué)理論。20世紀(jì)80年代，美國(guó)自然科學(xué)基金會(huì)曾經(jīng)指出，當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)。 3. 應(yīng)

13、用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就首推電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，它使人類進(jìn)入信息時(shí)代、網(wǎng)絡(luò)時(shí)代。然而，大家公認(rèn)電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)家圖靈和馮諾依曼。在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，數(shù)理邏輯中就有一種理想機(jī)（后來人稱圖靈機(jī)），它實(shí)際上是電子計(jì)算機(jī)的雛形。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù)，u中文印刷排版的自動(dòng)化，u波音777的計(jì)算機(jī)模擬設(shè)計(jì)，u指紋的識(shí)別，u石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理，u網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全技術(shù)等，在這些形形色色的成就背后，數(shù)學(xué)都扮演著不可缺少的角色。數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域是非常關(guān)鍵的。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)1985年，美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)在一份報(bào)告中指出：數(shù)學(xué)是

14、推動(dòng)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展和促進(jìn)這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學(xué)，還強(qiáng)調(diào)指出，數(shù)學(xué)是一個(gè)大有潛力的資源，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā)。該委員會(huì)把數(shù)學(xué)與能源、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。 3. 應(yīng)用廣泛性應(yīng)用廣泛性u(píng)前美國(guó)總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華大衛(wèi)說過一句重要的話：很少人認(rèn)識(shí)到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。這句話不是要否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在高技術(shù)中的關(guān)鍵性，是要強(qiáng)調(diào)高技術(shù)中數(shù)學(xué)的不可或缺性。從這個(gè)意義上講，他的見解無疑是正確的，并且是富有遠(yuǎn)見的。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)及管理科學(xué)之間的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)模型研究宏觀經(jīng)濟(jì)與微觀經(jīng)濟(jì)，用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)

15、查與預(yù)測(cè)，用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析和指導(dǎo)金融投資。在數(shù)學(xué)中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、優(yōu)化與決策、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、隨機(jī)微分方程等，都是專門針對(duì)這些問題的數(shù)學(xué)理論。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性 中國(guó)科學(xué)院越來越多的數(shù)學(xué)工作者從事跟經(jīng)濟(jì)、管理、金融有關(guān)的研究。近年來，我國(guó)的許多高等院校都開設(shè)統(tǒng)計(jì)系，增設(shè)金融數(shù)學(xué)專業(yè)。這些反映了數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)的深刻聯(lián)系，也反映了社會(huì)對(duì)于這方面的數(shù)學(xué)人才的需求。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u(píng)在經(jīng)濟(jì)與金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊。大家知道數(shù)學(xué)沒有諾貝爾獎(jiǎng)。但數(shù)學(xué)家卻從經(jīng)濟(jì)學(xué)獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。在諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者當(dāng)中，數(shù)學(xué)家占了相當(dāng)大的比例（21世紀(jì)初的統(tǒng)計(jì)數(shù)字為17/

16、27）。美國(guó)電影美麗的心靈就是描述了這樣一位數(shù)學(xué)家納什。 初中案例初中案例： 余角與補(bǔ)角u追問：余角與補(bǔ)角有什么用？u在生活中有用嗎？點(diǎn)評(píng)：衣食住行，吃喝拉撒睡，交往等u在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么用？u本課題的教學(xué)重點(diǎn)到底應(yīng)是什么？教學(xué)時(shí)間應(yīng)怎樣分配？ 三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想三、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想u數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括概念，命題，推理，應(yīng)用。u概念的學(xué)習(xí)主要靠理解，包括借助直觀、典型案例（正反例的強(qiáng)化）、概念之間的關(guān)系。u命題的學(xué)習(xí)主要靠探索、發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、推廣。公式應(yīng)用的最低層次是套公式。u數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)主要靠猜想、靠證明，推理方法的學(xué)習(xí)主要靠訓(xùn)練。適量的做題是必要的。u數(shù)學(xué)思

17、想的學(xué)習(xí)主要靠悟。悟需要長(zhǎng)期思考。數(shù)學(xué)知識(shí)的五層次理論與教學(xué)智慧思想方法知識(shí)常識(shí) 數(shù)學(xué)知識(shí)的五層次理論與教學(xué)智慧 思想靠悟（覺悟，感悟，領(lǐng)悟，頓悟） 方法靠練 知識(shí)可以教會(huì)、學(xué)會(huì)。目標(biāo)是理解 常識(shí)不教就會(huì)，一看就會(huì) 數(shù)學(xué)知識(shí)的五層次理論與教學(xué)智慧靠創(chuàng)造，等 思想靠悟（覺悟，感悟，領(lǐng)悟，頓悟） 方法靠練 知識(shí)可以教會(huì)、學(xué)會(huì) 常識(shí)不教就會(huì)，一看就會(huì)四、理解數(shù)學(xué)的價(jià)值四、理解數(shù)學(xué)的價(jià)值u物理學(xué)家倫琴（W.K.Rntgen）因發(fā)現(xiàn)了X射線而成為1910 年開始的諾貝爾物理獎(jiǎng)的第一位獲得者。當(dāng)有人問他科學(xué)家需要什么樣的修養(yǎng)時(shí)，他的回答是：第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)。對(duì)計(jì)算機(jī)的發(fā)展做出過重大貢獻(xiàn)

18、的馮諾依曼（J.V.Neumman ）認(rèn)為“數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域”。他還指出：“數(shù)學(xué)方法滲透進(jìn)支配著一切自然科學(xué)的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標(biāo)志。” 四、理解數(shù)學(xué)的價(jià)值四、理解數(shù)學(xué)的價(jià)值u科學(xué)價(jià)值 假說，系統(tǒng)（體系），演繹推理，方法論u應(yīng)用價(jià)值 數(shù)學(xué)中，其他學(xué)科（自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、哲學(xué)），科學(xué)技術(shù)，生產(chǎn)生活，社會(huì)實(shí)踐u文化價(jià)值 歷史故事，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新創(chuàng)造精神，等u育人價(jià)值 立德，啟智，健腦，尚美（包括減肥）11數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的多樣化n數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)多種方式結(jié)合，不能只用一種所謂的好方法單打獨(dú)斗n自主、探究、合作學(xué)習(xí)都是有利有弊的n聽課、做題、自學(xué)、思考、討論、感悟、靈感、創(chuàng)新等一個(gè)都不能少n當(dāng)然，不是人人都能學(xué)好數(shù)學(xué)謝謝