《高三數(shù)學高考一本通立體幾何第一輪復習課件 第9課時 多面體與球》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學高考一本通立體幾何第一輪復習課件 第9課時 多面體與球（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考考 點點 詮詮 釋釋知知 識識 整整 合合基基 礎礎 再再 現(xiàn)現(xiàn) 例例 題題 精精 析析精精 彩彩 小小 結結第第9 9課時課時 正多面體、歐拉公式和球 考點詮釋 了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式。公式。高考對簡單多面體，球的考查要求不高，以考查基礎知高考對簡單多面體，球的考查要求不高，以考查基礎知識為主，簡單多面體的性質，球面距離與球有關的組合識為主，簡單多面體的性質，球面距離與球有關的組合體是主要考查對象。體是主要考查對象。球的體積和表面

2、積是高考中年年出現(xiàn)的題型，但不是單球的體積和表面積是高考中年年出現(xiàn)的題型，但不是單一知識，往往是與其他多面體綜合的試題，如正方體的一知識，往往是與其他多面體綜合的試題，如正方體的外接球、內切球、球內接正三棱錐、正四面體、正三棱外接球、內切球、球內接正三棱錐、正四面體、正三棱柱、長方體等等，形成了組合體的問題，估計高考試題柱、長方體等等，形成了組合體的問題，估計高考試題中還會出現(xiàn)。中還會出現(xiàn)。知識整合 多面體：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫多面體：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。它的基本元素有：面、棱、頂點。做多面體。它的基本元素有：面、棱、頂點。特別地，把多面體的任何一個面伸展為平面，

3、特別地，把多面體的任何一個面伸展為平面，如果所有其它各面都在這個平面的同側，這如果所有其它各面都在這個平面的同側，這樣的多面體叫做凸多面體；而表面能經(jīng)過連樣的多面體叫做凸多面體；而表面能經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體，叫做簡單多面體。續(xù)變形為球面的多面體，叫做簡單多面體。棱柱、正多面體及凸多面體都是簡單多面體。棱柱、正多面體及凸多面體都是簡單多面體。知識整合 2、正多面體、正多面體 每個面都是相同邊數(shù)的正多邊形，且以每每個面都是相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體。正多面體只有五種：面體，叫做正多面體。正多面體只有五種

4、：正四面體、正六面體、正八面體、正十二正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體、正二十面體的面是正三角形；正六面體、正二十面體的面是正三角形；正六面體的面是正方形，正十二面體的面是正面體的面是正方形，正十二面體的面是正五邊形。五邊形。知識整合 3、歐拉公式、歐拉公式 如果簡單多面體的頂點數(shù)為如果簡單多面體的頂點數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，棱數(shù)為，棱數(shù)為E，那么那么V+F-E=2，這個公式叫做歐拉公式。，這個公式叫做歐拉公式。 注：注：(1)歐拉公式的適用范圍為簡單多面體。歐拉公式的適用范圍為簡單多面體。 (2)弄清楚五種正多

5、面體的頂點數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)。弄清楚五種正多面體的頂點數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)。FVE過頂點過頂點數(shù)的數(shù)的棱數(shù)棱數(shù)各面邊各面邊數(shù)數(shù)面的特面的特征征正四面體正四面體 44633正三角正三角形形正六面體正六面體 681234正方形正方形正八面體正八面體 861243正三角正三角形形正十二面正十二面體體12203035正五邊正五邊形形正二十面正二十面體體20123053正三角正三角形形（3）對于簡單多面體來說最少的頂點數(shù)，最少的面數(shù)，）對于簡單多面體來說最少的頂點數(shù)，最少的面數(shù)，最少的棱數(shù)分別是：最少的棱數(shù)分別是：4，4，6 知識整合 4、球的概念、球的概念 與定點的距離等于或小于定長的點的集合，叫做與定點的距離

6、等于或小于定長的點的集合，叫做球體，簡稱為球，這里應注意球面與球體是兩個球體，簡稱為球，這里應注意球面與球體是兩個不同的概念。其中，定點叫球的球心，定長稱為不同的概念。其中，定點叫球的球心，定長稱為球的半徑。球的半徑。 5、球的截面性質、球的截面性質 （1）球的截面是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面）球的截面是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，不經(jīng)過球心的截面截得的圓截得的圓叫做大圓，不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫小圓。叫小圓。 （2）球心和截面圓心的連線垂直于截面。）球心和截面圓心的連線垂直于截面。 （3）球心到截面的距離）球心到截面的距離d與球半徑與球半徑R及截面圓半及截面圓半徑徑r的關系

7、是的關系是 。22dRr知識整合 6、兩點的球面距離、兩點的球面距離 （1）球面上，兩點之間的最短距離；就是）球面上，兩點之間的最短距離；就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點之間的一段劣弧經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點之間的一段劣弧的長度，這個弧長叫做兩點的球面距離。注的長度，這個弧長叫做兩點的球面距離。注意必須是在球面上的過兩點的大圓中所對應意必須是在球面上的過兩點的大圓中所對應的劣弧的長度，而不能在過此兩點的球的小的劣弧的長度，而不能在過此兩點的球的小圓中求。圓中求。 （2）當把地球看作一個球時，經(jīng)線是球面）當把地球看作一個球時，經(jīng)線是球面上從北極到南極的半個大圓，赤道是一個大上從北極到南極的半個大圓，

8、赤道是一個大圓，其余緯線都是一個小圓。圓，其余緯線都是一個小圓。 （3）在實際生活中，飛機、輪船都是盡可）在實際生活中，飛機、輪船都是盡可能以大圓弧為航線航行，因為這樣走或飛行能以大圓弧為航線航行，因為這樣走或飛行時，路線最短，用的時間最少。時，路線最短，用的時間最少。知識整合 7、經(jīng)度與緯度、經(jīng)度與緯度 數(shù)學上，某點的經(jīng)度是：經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的數(shù)學上，某點的經(jīng)度是：經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（平面與本初子午線（00經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點的緯度是：經(jīng)過這點的球半徑與的二面角的度數(shù)。某點的緯度是：經(jīng)過這點的球半徑與赤道

9、面所成的角的度數(shù)。赤道面所成的角的度數(shù)。知識整合 如圖所示，如圖所示，0經(jīng)線也叫本初子午線，東經(jīng)經(jīng)線也叫本初子午線，東經(jīng)180和西經(jīng)和西經(jīng)180同在一條經(jīng)線上，那就是同在一條經(jīng)線上，那就是180經(jīng)線。經(jīng)線。 圖（圖（1）：經(jīng)度）：經(jīng)度P點的經(jīng)度，也是點的經(jīng)度，也是AB的弧長或的弧長或AOB的度數(shù)。的度數(shù)。 圖（圖（2）：緯度）：緯度P點的緯度，也是點的緯度，也是 PB的弧長的弧長 或或POB的度數(shù)。的度數(shù)。知識整合 8、球的體積與表面積、球的體積與表面積 球的體積公式球的體積公式V 球的表面積公式球的表面積公式S 它們都是球半徑它們都是球半徑R的函數(shù)，這兩個公式的推導，運的函數(shù)，這兩個公式的推

10、導，運用了用了“分割分割求近似和求近似和化成準確值化成準確值”的方法，的方法，這是非常重要的方法，應能理解推導的思路，體會這是非常重要的方法，應能理解推導的思路，體會這種推導方法中包含有這種推導方法中包含有“化不足為零，又積零為整化不足為零，又積零為整”的的“無限細分，化曲為平，逼近精確值無限細分，化曲為平，逼近精確值”的數(shù)學思的數(shù)學思想。想。基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 1、給出下列命題：、給出下列命題：正四棱柱是正多面體；正四棱柱是正多面體；直直四棱柱是簡單多面體；四棱柱是簡單多面體；簡單多面體是凸多面體；簡單多面體是凸多面體；以正四面體各個面的中心為項點的四面體仍是以正四面體各個面的中心為項點的四面

11、體仍是正四面體，其中真命題的個數(shù)為（正四面體，其中真命題的個數(shù)為（ ） A：1個個 B：2個個 C：3個個 D：4個個l l l l31arccos B2、已知一個簡單多面體的各個頂點都有三、已知一個簡單多面體的各個頂點都有三條棱，則頂點數(shù)條棱，則頂點數(shù)V與面數(shù)與面數(shù)F滿足的關系是（滿足的關系是（ ）A：2FV4 B：2FV4 C：2FV2 D：2FV2基礎再現(xiàn)B基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 3、我國北極考察隊的考察船位于北緯、我國北極考察隊的考察船位于北緯30，東經(jīng)，東經(jīng)125處，則此時離南極極點的球面距離為（設地半處，則此時離南極極點的球面距離為（設地半徑為徑為R）（）（ ） A： B：2 C： D：

12、l l l llDRR21R32R基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 4、（、（2004年江蘇高考，年江蘇高考，4）一平面截一球得到直徑是）一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是的圓面，球心到這個平面的距離是4cm，則該球，則該球的體積是（的體積是（ ） A： B： C： D：l l l ll33100cm 33208cm33500cm3313416cmC例題精析 例例1、正四棱柱、長方體、正方體、正多面體、凸多面體、正四棱柱、長方體、正方體、正多面體、凸多面體、簡單多面體之間有什么關系？簡單多面體之間有什么關系？ 分析：要搞清楚這些概念之間的關系，必須嚴格按照定義分析：要搞清楚這些概念之間

13、的關系，必須嚴格按照定義 評注：掌握多面體、正多面體、簡單多面體的概念是判斷多面評注：掌握多面體、正多面體、簡單多面體的概念是判斷多面體有關問題的關鍵體有關問題的關鍵。例題精析 已知凸多面體每個面都是五邊形，每個頂點都有已知凸多面體每個面都是五邊形，每個頂點都有三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)。數(shù)。 分析；以棱數(shù)為主線，確定棱數(shù)與面數(shù)、棱數(shù)與頂分析；以棱數(shù)為主線，確定棱數(shù)與面數(shù)、棱數(shù)與頂點數(shù)的關系，再用歐拉公式求出棱數(shù)。點數(shù)的關系，再用歐拉公式求出棱數(shù)。 評注：設某正多面體的每個面都是正評注：設某正多面體的每個面都是正n邊形，以每個邊形

14、，以每個頂點為端點的棱有頂點為端點的棱有m條，頂點數(shù)為條，頂點數(shù)為V，棱數(shù)是棱數(shù)是E，面數(shù)是，面數(shù)是F，則有，則有E 。22mVEnF，例題精析 已知銅的單晶的外形是簡單幾何體，單晶銅有已知銅的單晶的外形是簡單幾何體，單晶銅有三角形和八邊形兩種晶面，如果銅的單晶有三角形和八邊形兩種晶面，如果銅的單晶有24個個頂點，每個頂點處都有三條棱，計算單晶銅的兩頂點，每個頂點處都有三條棱，計算單晶銅的兩種晶面的數(shù)目。種晶面的數(shù)目。 分析；從面數(shù)和棱數(shù)入手，尋找分析；從面數(shù)和棱數(shù)入手，尋找V、F、E的關系，的關系，再運用歐拉公式求解。再運用歐拉公式求解。 評注：本題利用了棱數(shù)評注：本題利用了棱數(shù)E，一方面滿

15、足歐拉公式，一方面滿足歐拉公式，另一方面棱數(shù)另一方面棱數(shù)E等于各頂點引出的棱數(shù)和的一半，等于各頂點引出的棱數(shù)和的一半，也等于各面的邊數(shù)之和的一半，列出了兩個含有也等于各面的邊數(shù)之和的一半，列出了兩個含有未知數(shù)的方程，體現(xiàn)了方程的思想。未知數(shù)的方程，體現(xiàn)了方程的思想。例題精析 例例2、(1)已知球的兩個平行截面的面積分別是已知球的兩個平行截面的面積分別是5和和8，且在，且在球心同側相距為球心同側相距為1，求這個球的表面積和體積。，求這個球的表面積和體積。 分析：由于球的表面積和體積都是關于球半徑分析：由于球的表面積和體積都是關于球半徑R的函數(shù)，的函數(shù)，所以應利用已知條件列出關于球半徑所以應利用已

16、知條件列出關于球半徑R的方程。的方程。 評注：球的截面問題關鍵是利用球的截面圓半徑、球心到評注：球的截面問題關鍵是利用球的截面圓半徑、球心到截面的距離、球半徑三者之間的關系建立等式。截面的距離、球半徑三者之間的關系建立等式。例題精析 （2）已知過球面上三點）已知過球面上三點A、B、C的面到球心的距離等于的面到球心的距離等于球半徑的一半，且球半徑的一半，且ACBC6，AB4。求球面積與球。求球面積與球的體積。的體積。 （3）一個倒置的等邊圓錐形容器中裝滿水，放一個半徑）一個倒置的等邊圓錐形容器中裝滿水，放一個半徑為為R的鐵球，有水溢出，若該球又恰與圓錐底面相切，取的鐵球，有水溢出，若該球又恰與圓

17、錐底面相切，取出球后，水面距底面距離是多少？剩下的水是原來的幾分出球后，水面距底面距離是多少？剩下的水是原來的幾分之幾？之幾？例題精析 例例3、如圖在北緯、如圖在北緯45的緯度圈上有的緯度圈上有A、B兩點，它們分別兩點，它們分別在東徑在東徑70與東徑與東徑160的經(jīng)度圈上，設地球的半徑為的經(jīng)度圈上，設地球的半徑為R，求求A、B兩點的球面距離。兩點的球面距離。 分析：求分析：求A、B兩地的球面距離，主要是求兩地的球面距離，主要是求A、B兩地的球兩地的球心角的大小。心角的大小。例題精析 評注：（評注：（1）為求）為求A、B兩點間球面的距離，要把它轉移到兩點間球面的距離，要把它轉移到AOB中去分析，

18、只要求得中去分析，只要求得AOB的度數(shù)便可求得球面距離，的度數(shù)便可求得球面距離，注意余弦定理的應用。注意余弦定理的應用。 （2）變題）變題1：把地球當作半徑為：把地球當作半徑為R的球，地球上的球，地球上A、B兩點兩點都在北緯都在北緯45的緯線上，的緯線上，A、B兩點的球面距離是兩點的球面距離是 R，A在東經(jīng)在東經(jīng)20，求，求B點的位置。點的位置。 分析：分析：本題本題B點的位置可能有兩種點的位置可能有兩種 要明確球面上要明確球面上A、B兩點的直線距離和球面距離，本題兩點的直線距離和球面距離，本題中中AB的直線距離為的直線距離為R，球面距離為，球面距離為 R；33例題精析（3）變題）變題2：球面

19、上有：球面上有3個點，其個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的周長的 ，經(jīng)過這，經(jīng)過這3個點的小圓個點的小圓的周長為的周長為 ，那么這個球的半，那么這個球的半徑為（徑為（ ）A： B： C：2 D：61434323B例題精析 例例4、（、（2004年連云港市高考模擬題）如圖，正八面年連云港市高考模擬題）如圖，正八面體的棱長為體的棱長為a , (1 )求求PQ的長；的長； （2）求二面角）求二面角PBCQ的大??；的大小； （3）求證：平面）求證：平面PBC平面平面ADQ； （4）求平面）求平面PAB與平面與平面QCD之間之間 的距離；的距離； （5）求正八面體

20、的內切球的體積。）求正八面體的內切球的體積。 （6）若一個正四面體邊長為）若一個正四面體邊長為a，使，使 正四面體的一個面與正八面體正四面體的一個面與正八面體 的一個面重合，則組合體一共的一個面重合，則組合體一共 有幾個面。有幾個面。例題精析 例例5、（、（1）如圖，三棱錐）如圖，三棱錐ABCD的兩條棱的兩條棱AB、CD滿足滿足ABCD6，其余各棱長均為，其余各棱長均為5，求三棱錐的內切球的半，求三棱錐的內切球的半徑，徑，例題精析 分析：（分析：（1）內切球與三棱錐各個面都相切，內切球的）內切球與三棱錐各個面都相切，內切球的半徑即為球心半徑即為球心O到各個面的距離，而各個面是全等的等到各個面的

21、距離，而各個面是全等的等腰三角形，所以三棱錐腰三角形，所以三棱錐ABCD可被分割成以球心可被分割成以球心O為為頂點，各面為底的四個等體積的三棱錐，利用割前后幾頂點，各面為底的四個等體積的三棱錐，利用割前后幾何體體積相等，即可求出半徑。何體體積相等，即可求出半徑。例題精析 （2）如圖，正四面體的四個頂點都在表面積為）如圖，正四面體的四個頂點都在表面積為36 的一的一個球面上，求這個正四面體的高。個球面上，求這個正四面體的高。例題精析 分析：（分析：（2）因為正四面體的所有棱長都相等，則正四面）因為正四面體的所有棱長都相等，則正四面體中有關的量都可以用棱長體中有關的量都可以用棱長 的代數(shù)式來表示，

22、所以通的代數(shù)式來表示，所以通過觀察幾何圖形，列出關于過觀察幾何圖形，列出關于 的方程式即可求解。的方程式即可求解。xx例題精析 （3）已知半徑為）已知半徑為R的半球內，有一個內接正四棱柱，正方的半球內，有一個內接正四棱柱，正方形的底面在半球的底面圓上，求內接正四棱柱的最大體積形的底面在半球的底面圓上，求內接正四棱柱的最大體積之值。之值。例題精析 分析：（分析：（3）畫出直觀圖，設正四棱柱底面邊長為）畫出直觀圖，設正四棱柱底面邊長為 ，高為高為 ，建立，建立 關于關于 的函數(shù)關系式，用均值不等式求出最值的函數(shù)關系式，用均值不等式求出最值xxxyy例題精析 評析：（評析：（1）解決點面距離的問題，

23、常通過研究三棱錐的）解決點面距離的問題，常通過研究三棱錐的體積，用等積法來解，（體積，用等積法來解，（2）解決幾何體中長度問題，常）解決幾何體中長度問題，常通過尋找待求量與已知量之間的關系，列出方程來解通過尋找待求量與已知量之間的關系，列出方程來解精彩小結 棱柱、棱錐都是凸多面體，研究多面體時，不要脫離棱柱、棱棱柱、棱錐都是凸多面體，研究多面體時，不要脫離棱柱、棱錐的概念和性質，而要以它們?yōu)榛A去認識多面體，并討論多錐的概念和性質，而要以它們?yōu)榛A去認識多面體，并討論多面體的特點和性質，四面體是立體幾何中的基本圖形，它既可面體的特點和性質，四面體是立體幾何中的基本圖形，它既可以從一個多面體中分

24、割出來，也可以由它補形成一個相關的多以從一個多面體中分割出來，也可以由它補形成一個相關的多面體。面體。2、利用歐拉公式推導簡單多面體的頂點數(shù)，面數(shù)、棱數(shù)時，、利用歐拉公式推導簡單多面體的頂點數(shù)，面數(shù)、棱數(shù)時，先根據(jù)已知條件找出三個數(shù)中兩個和第三個的關系，然后代入先根據(jù)已知條件找出三個數(shù)中兩個和第三個的關系，然后代入歐拉公式求第三個數(shù)，最后求出其他兩數(shù)。歐拉公式求第三個數(shù)，最后求出其他兩數(shù)。精彩小結 3、對于簡單多面體，其棱數(shù)、對于簡單多面體，其棱數(shù)E有以下三種計算方法：有以下三種計算方法： （1）利用歐拉公式；）利用歐拉公式；EVF2 （2）利用各面的邊數(shù)：即各面多邊形的邊數(shù)之和的一半，當各）

25、利用各面的邊數(shù)：即各面多邊形的邊數(shù)之和的一半，當各面邊數(shù)都為面邊數(shù)都為n時，時，E （3）利用過項點的棱數(shù)：即各項點引出的棱數(shù)之和的一半，當）利用過項點的棱數(shù)：即各項點引出的棱數(shù)之和的一半，當各項頂點引出的棱數(shù)都是各項頂點引出的棱數(shù)都是n時，時，E 2nF2nV精彩小結 4、“球球”是平面圖形是平面圖形“圓圓”在空間的引伸，因此在學習在空間的引伸，因此在學習“球球”的性質時，應聯(lián)系的性質時，應聯(lián)系“圓圓”的性質作類比。如將兩球外切（內切）的性質作類比。如將兩球外切（內切）與兩圓外切（內切）作類比，即知連心線過切點，連心線之長等與兩圓外切（內切）作類比，即知連心線過切點，連心線之長等于兩球半徑之

26、和（兩求半徑之差的絕對值）。于兩球半徑之和（兩求半徑之差的絕對值）。 5、計算球面上、計算球面上A、B兩點間的球面距離的一般步驟：（兩點間的球面距離的一般步驟：（1）計算）計算線段線段AB的長；（的長；（2）計算）計算A、B對球心對球心O的張角的張角AOB；（；（3）計算）計算大圓劣弧的長大圓劣弧的長 精彩小結 6、與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接，解題時、與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接，解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體量關系并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑，球外接于正方體，各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑，球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的對角線等于球的直徑，球與正方體的頂點均在球面上，正方體的對角線等于球的直徑，球與多面體的組合體，通過多面體的一條側棱和球心，或多面體的組合體，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點切點”、“接點接點”作出一個截面圖。作出一個截面圖。