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1、第4講萬有引力與航天 【知識導圖】橢圓一個焦點面積半長軸周期質量m1和m2的乘積它們之間距離r的二次方122m mGr質量分布均勻GMRgR【微點撥】1.同步衛(wèi)星的六個“一定”:(1)軌道平面一定:軌道平面與赤道平面共面。(2)周期一定:與地球自轉周期相同。(3)角速度一定:與地球自轉的角速度相同。(4)高度一定:h= 6R。(5)速率一定:v= 。(6)繞行方向一定:與地球自轉的方向一致。232GMTR4GMR h2.近地衛(wèi)星特點:(1)近地衛(wèi)星的軌道半徑約等于地球半徑。(2)近地衛(wèi)星的速度即第一宇宙速度,是最大環(huán)繞速度?！净垩奂m錯】(1)只有較大物體如天體間存在萬有引力。糾錯:_。(2)所

2、有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓,太陽位于橢圓的中心。糾錯:_。所有物體間都存在萬有引力太陽位于橢圓的一個焦點上(3)兩物體間的距離趨近于零時,萬有引力趨近于無窮大。糾錯:_。(4)同步衛(wèi)星可以定點在北京市的上方。糾錯:_。兩物體間的距離趨近于零時,萬有引力定律不適用同步衛(wèi)星只能定點于赤道正上方(5)各天體的第一宇宙速度都是7.9 km/s。糾錯:_。(6)第一宇宙速度是最大發(fā)射速度、最小環(huán)繞速度。 糾錯:_。不同天體的第一宇宙速度不同第一宇宙速度是最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度考點1中心天體質量和密度的估算【典題探究】 【典例1】(多選)(2016海南高考)通過觀測冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的

3、質量。假設衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動,除了引力常量外,至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質量。這兩個物理量可以是()導學號04450092A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質量和角速度D.衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑【解題探究】(1)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動,_提供向心力,_= (2)衛(wèi)星質量對運算結果有無影響?提示:因為關系式中的衛(wèi)星質量m被約掉,所以衛(wèi)星質量對運算結果無影響。萬有引力2MmGr2222v4 rmm rmrT 【解析】選A、D。根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r= 根據(jù)萬有引力提供向心力: 整理可以得到: 故選項A正確,B、C錯誤;若知道衛(wèi)星的周期和半徑

4、,則 整理得到:M= 故選項D正確。v，22GMmvmrr，23v rvMGG，22GMm2m() rrT，2 324 rGT， 【通關秘籍】 天體質量和密度計算兩法1.“g、R”法:已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由 ，得天體質量 。(2)天體密度 2MmGmgR2gRMG3MM3g4V4 GRR3。2.“T、r”法:測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由 ,得M= 。(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度 222Mm4GmrrT2 324 rGT3MM4VR33233 rGT R。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行,可認為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度 故只

5、要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。23GT?！究键c沖關】 1.(多選)我國計劃在2018年發(fā)射“嫦娥四號”,它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星,主要任務是更深層次、更加全面地科學探測月球地貌、資源等方面的信息,完善月球檔案資料。已知月球的半徑為R,月球表面的重力加速度為g,引力常量為G,“嫦娥四號”離月球中心的距離為r,繞月周期為T。根據(jù)以上信息可求出()A. “嫦娥四號”繞月運行的速度為 B. “嫦娥四號”繞月運行的速度為 C.月球的平均密度為 D.月球的平均密度為 2gRr2grR3233 rGT R23GT【解析】選A、C。月球表面任意一物體重

6、力等于萬有引力mg= ,則有GM=R2g,“嫦娥四號”繞月運行時,萬有引力提供向心力 =m ,得v= ,由得v= ,故A正確,B錯誤;“嫦娥四號”繞月運行時,根據(jù)萬有引力提供向心力,有 ,得M= ;月球的平均密度為= ,故C正確,D錯誤。2GMmR2GMmR2vrGMr2gRr222GMm4mrrT2 324 rGT2 3322334 rM3 rGT4VGT RR32.假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉的周期為T,引力常量為G。地球的密度為()0022000223 gg3 gA. B. GT gGT gg3 g3C. D.GT

7、GT g【解析】選B。在兩極時有G =mg0,得地球質量M= ;在赤道時有mg0-mg=m R,得地球半徑R= ,所以地球密度= ,選項B正確。2MmR20g RG224T202gg T40230gM34GT ggR3【加固訓練】(多選)如圖所示, 飛行器P繞某星球做勻速圓周運動,星球相對飛行器的張角為。下列說法正確的是()A.軌道半徑越大,周期越長B.軌道半徑越大,速度越大C.若測得周期和張角,可得到星球的平均密度D.若測得周期和軌道半徑,可得到星球的平均密度【解析】選A、C。萬有引力提供向心力 ,可得 ,軌道半徑越大,周期越長,A項正確;萬有引力提供向心力 可得 ,軌道半徑越大,速度越小,

8、B項錯誤;如果測出周期,則有 ,如果再知道張角,則能通過幾何222Mm4GmRRT3RT 2GM 22MmvGmRRGMvR2324 RMGT關系求得該星球半徑為 ,從而求出星球的體積 ,兩者結合可求得星球的平均密度 ,C項正確;而D項中由軌道半徑無法求得星球半徑,故不能得到星球的平均密度,D項錯誤。rRsin234Vr3 334R (sin )32 MV23233234 R3GT4R (sin )GT (sin )322考點2衛(wèi)星的運動規(guī)律【典題探究】 【典例2】(2017全國卷)2017年4月,我國成功發(fā)射的“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室完成了首次交會對接,對接形成的組合體仍

9、沿“天宮二號”原來的軌道(可視為圓軌道)運行。與“天宮二號”單獨運行時相比,組合體運行的()導學號04450093 A.周期變大B.速率變大C.動能變大D.向心加速度變大【解析】選C。根據(jù)萬有引力提供向心力有 ,可得周期T=2 ,速率v= ,向心加速度a= ,對接前后,軌道半徑不變,則周期、速率、向心加速度均不變,質量變大,則動能變大,選項C正確,選項A、B、D錯誤。222GMm2vm(rmmarTr）3rGMGMr2GMr 【遷移訓練】 遷移1:衛(wèi)星的定性判斷問題(多選)(2017江蘇高考)“天舟一號”貨運飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空,與“天宮二號”空間實驗室對接

10、前,“天舟一號”在距離地面約380 km的圓軌道上飛行,則其 ()A.角速度小于地球自轉角速度B.線速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自轉周期D.向心加速度小于地面的重力加速度【解析】選B、C、D。根據(jù)G =m2r=ma知,“天舟一號”的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度,而同步衛(wèi)星的角速度等于地球自轉的角速度,所以“天舟一號”的角速度大于地球自轉角速度,周期小于地球自轉的周期,選項A錯誤、C正確;第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度,2Mmr所以“天舟一號”的線速度小于第一宇宙速度,B正確;地面重力加速度為 g= ,故“天舟一號”的向心加速度a小于地面的重力加速度g,故D正確。2GMR遷移2:衛(wèi)星的定量計

11、算問題(2016全國卷)利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星,可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊。目前,地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍,假設地球的自轉周期變小,若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的,則地球自轉周期的最小值約為()A.1 h B.4 hC.8 hD.16 h【解析】選B。由于地球同步衛(wèi)星的運轉周期與地球自轉周期相同,假設地球的自轉周期變小,則同步衛(wèi)星的運轉周期變小,軌道半徑變小,由幾何關系可知軌道半徑最小值為2R,據(jù) 可得T最小= T自=4 h,故選B。222Mm4GmrrT322R()6.6R遷移3:幾類特殊衛(wèi)星的比較(2018淄博模擬)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星

12、,a還未發(fā)射,在赤道表面上隨地球一起轉動,b是近地軌道衛(wèi)星,c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測衛(wèi)星,它們均做勻速圓周運動,各衛(wèi)星排列位置如圖所示,則()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.在相同時間內(nèi)b轉過的弧長最長C.c在4小時內(nèi)轉過的圓心角是 D.d的運動周期有可能是20小時6【解析】選B。a與c的角速度相等,由a向=2r知a的向心加速度小于c的向心加速度,c的向心加速度小于g,所以a的向心加速度小于g,A錯誤。a、b、c、d四顆衛(wèi)星中,b的線速度最大,所以在相同時間內(nèi)b轉過的弧長最長,B正確。c的周期為24小時,c在4小時內(nèi)轉過的圓心角=t= ,C錯誤。由T= 知d的周期大于c的周期,大于

13、24小時,D錯誤。24243 2 34 rGM 【通關秘籍】 利用萬有引力解決衛(wèi)星運動問題的思路:(1)一個模型:衛(wèi)星的運動可簡化為質點的勻速圓周運動。(2)兩組公式。 =mg(g為星體表面的重力加速度)。222n22Mmv4GmmrmrmarrT 2MmGr(3)一句口訣:越遠越慢,越遠越小。越遠越慢:衛(wèi)星離中心天體越遠,v、越小、T越大。越遠越小:衛(wèi)星離中心天體越遠,an越小?？键c3航天器的變軌問題【典題探究】 【典例3】(2016天津高考)我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室,之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接。假設“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現(xiàn)飛

14、船與空間實驗室的對接,下列措施可行的是導學號04450094()A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行,然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行,然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實驗室,兩者速度接近時實現(xiàn)對接D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間實驗室,兩者速度接近時實現(xiàn)對接 【解題探究】(1)原來做勻速圓周運動的飛船,若速度增大,飛船將如何運動?提示:飛船加速后,萬有引力不足以提供向心力,飛船將遠離原來的軌道。(2)原來做勻速圓周運動的飛船,若速度減小,飛船將如何運

15、動?提示:飛船減速后,萬有引力大于所需向心力,飛船將進入低軌道?！窘馕觥窟xC。若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行,然后飛船加速,則由于所需向心力變大,F供F需,空間實驗室將脫離原軌道而進入更低的軌道,不能實現(xiàn)對接,選項B錯誤;要想實現(xiàn)對接,可使飛船在比空間實驗室半徑較小的軌道上加速,F供F需,則飛船將進入更低的軌道,從而不能實現(xiàn)對接,選項D錯誤。 【通關秘籍】 1.變軌分析:(1)衛(wèi)星在圓軌道上穩(wěn)定運行時, 222mMvGmm rrr 22m() rT。(2)當衛(wèi)星的速度突然增大時, ,即萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運動,脫離原來的圓軌道,軌道半徑變大。當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時

16、,由 v= 可知其運行速度比原軌道時減小,但重力勢能、機械能均增加。22MmvGmrrGMr(3)當衛(wèi)星的速度突然減小時, ,即萬有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運動,脫離原來的圓軌道,軌道半徑變小。當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時,由 v= 可知其運行速度比原軌道時增大,但重力勢能、機械能均減小。22MmvGmrrGM r2.三個運行物理量的大小比較:(1)速度:變軌前后,航天器在不同軌道上的速度大小,或根據(jù)離心運動的條件判斷,或根據(jù)近心運動的條件判斷,或根據(jù)開普勒第二定律判斷,或根據(jù)“越遠越慢”判斷。(2)加速度:變軌前后,航天器的加速度大小可根據(jù)牛頓第二定律判斷。(3)周期:變軌前后,

17、航天器在不同軌道上的運行周期的大小可根據(jù)開普勒第三定律 =k判斷。32rT 【考點沖關】 1.(多選)(2018鄂州模擬)目前,在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運轉,其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓,且軌道半徑逐漸變小。若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中,只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用,則下列判斷正確的是()A.衛(wèi)星的動能逐漸減小B.由于地球引力做正功,引力勢能一定減小C.由于氣體阻力做負功,地球引力做正功,機械能保持不變D.衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢能的減小量【解析】選B、D。當衛(wèi)星的半徑減小時,由v= 可知,其動能增大;由于引力做正功,故引力勢能一定減小,選項A錯誤,B正確。氣體阻力

18、做功,使系統(tǒng)的機械能減小,且有 =E,由于動能增加,故引力勢能的減小量大于機械能的減小量,選項C錯誤,D正確。GMrfFW2.(2016北京高考改編)如圖所示,一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運行,在P點變軌后進入軌道2做勻速圓周運動。下列說法正確的是()A.不論在軌道1還是軌道2運行,衛(wèi)星在P點的速度都相同B.不論在軌道1還是軌道2運行,衛(wèi)星在P點的加速度都相同C.衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度D.衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同速度【解析】選B。衛(wèi)星在軌道1經(jīng)過P點后做近心運動,則有 ,衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運動,則有 ,故vP2vP1,因此衛(wèi)星從軌道1變軌到軌道2,需要加速,

19、選項A錯誤;不論在軌道1還是軌道2運行,衛(wèi)星在P點只受萬有引力,由牛頓第二定律 =ma得a= ,故只要半徑相同,加速度的大小就相同,由于衛(wèi)2P12vMmGmrr2P22vMmGmrr。2MmGr2GMr星在軌道1做橢圓運動時,運動半徑在變化,所以加速度在變化,故選項B正確,C錯誤;衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運動,速度的大小不變,方向時刻改變,故選項D錯誤。3.(多選)發(fā)射地球同步衛(wèi)星時,先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點火,使其沿橢圓軌道2運行,最后再次點火,將衛(wèi)星送入同步圓軌道3,軌道1和2相切于Q點,軌道2和3相切于P點,設衛(wèi)星在軌道1和軌道3正常運行的速度和加速度分別為v1、v3和a1、a

20、3,在軌道2經(jīng)過P點時的速度和加速度為v2和a2,且當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時周期分別為T1、T2、T3,以下說法正確的是導學號04450095()A.v1v2v3B.v1v3v2C.a1a2a3D.T1T2a3,在軌道2經(jīng)過P點時的加速度a2=a3,選項C錯誤。根據(jù)開普勒第三定律,衛(wèi)星在軌道1、2、3上正常運行時周期T1T2T3,選項D正確?！炯庸逃柧殹恳阎承l(wèi)星在赤道上空軌道半徑為r1的圓形軌道上繞地運行的周期為T,衛(wèi)星運動方向與地球自轉方向相同,赤道上某城市的人每三天恰好五次看到衛(wèi)星掠過其正上方,假設某時刻,該衛(wèi)星在A點變軌進入橢圓軌道(如圖所示),近地點B到地心距離為r2。

21、設衛(wèi)星由A到B運動的時間為t,地球自轉周期為T0,不計空氣阻力,則()A.T= T0B.t= C.衛(wèi)星在圖中橢圓軌道由A到B時,機械能增大D.衛(wèi)星由圖中圓軌道進入橢圓軌道過程中,機械能不變38121211rrT rr2r2r（）【解析】選A。根據(jù)題意有: ,得T= T0,所以A正確;由開普勒第三定律有得t= ,所以B錯誤;衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時,機械能是守恒的,所以C錯誤;衛(wèi)星從圓軌道進入橢圓軌道過程中在A點需點火減速,衛(wèi)星的機械能減小,所以D錯誤。000223T3T 52TT38 33121221rr r2,T2t121211rr Trr4r2r考點4雙星或多星問題【典題探究】 【典例4】(

22、2018丹東模擬)2016年2月11日,美國科學家宣布探測到引力波的存在,引力波的發(fā)現(xiàn)將為人類探索宇宙提供新視角,這是一個劃時代的發(fā)現(xiàn)。在如圖所示的雙星系統(tǒng)中,A、B兩個恒星靠著相互之間的引力正在做勻速圓周運動,已知恒星A的質量為太陽質量的29倍,恒星B的質量為太陽質量的36倍,兩星之間的距離L=2105 m,太陽質量M=21030 kg,萬有引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2。若兩星在環(huán)繞過程中會輻射出引力波,該引力波的頻率與兩星做圓周運動的頻率具有相同的數(shù)量級,則根據(jù)題目所給信息估算該引力波頻率的數(shù)量級是()A.102 HzB.104 HzC.106 HzD.108 Hz【題眼

23、直擊】(1)雙星系統(tǒng)_提供向心力。(2)引力波的頻率與兩星做圓周運動的頻率具有相同的數(shù)量級。相互的引力【解析】選A。A、B的周期相同,角速度相等,靠相互的引力提供向心力,由牛頓第二定律得,對A有 對B有 又有rA+rB=L,解得則 1.6102 Hz,故選項A正確。2ABAA22m m4 rGmLT，2ABBB22m m4 rGmLT，3BABB36Lm363665LLL T 2mm36 2965Gm ，1130B35 3Gm1116.67 1036 2 10fHz 3636T22 3.14L(2 10 )6565 【通關秘籍】 1.“雙星”問題:(1)特點。兩顆行星做勻速圓周運動所需的向心力

24、是由它們之間的萬有引力提供的,故兩行星做勻速圓周運動的向心力大小相等。兩顆行星均繞它們連線上的一點做勻速圓周運動,因此它們的運行周期和角速度是相等的。兩顆行星做勻速圓周運動的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關系:r1+r2=L。(2)規(guī)律。G =m12r1G =m22r2(3)推論:由(2)中兩式可得:m1r1=m2r2。122mmL122mmL2.“多星”問題:(1)多顆行星在同一軌道繞同一點做勻速圓周運動,每顆行星做勻速圓周運動所需的向心力由其他各個行星對該行星的萬有引力的合力提供。(2)每顆行星轉動的方向相同,運行周期、角速度和線速度大小相等。 【考點沖關】 1. (多選)(2018西

25、安模擬)如圖,甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠的三顆恒星,甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行,若三顆星質量均為M,引力常量為G,則()A.甲星所受合外力為 B.乙星所受合外力為 C.甲星和丙星的線速度相同D.甲星和丙星的角速度相同225GM4R22GMR【解析】選A、D。由萬有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之間的萬有引力為F1=G ,甲、丙之間的萬有引力為F2=G ,甲星所受兩個引力的方向相同,故合力為F1+F2= ,A項正確;乙星所受兩個引力等大、反向,合力為零,B項錯誤;甲、丙兩星線速度方向始終不同,C項錯誤;由題知甲、丙兩星周期相同,由角速度定義可知,兩星角速度相同,D項正確。

26、2MMR222MMGM2R4R（ ）225GM4R2.美國宇航局利用開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了一個新的雙星系統(tǒng),命名為“開普勒-47”,該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi),距離地球大約5 000光年。這一新的系統(tǒng)有一對互相圍繞運行的恒星,運行周期為T,其中一顆大恒星的質量為M,另一顆小恒星質量只有大恒星質量的三分之一。已知引力常量為G,則下列判斷正確的是()A.兩顆恒星的轉動半徑之比為1 1B.兩顆恒星的轉動半徑之比為1 2C.兩顆恒星相距 D.兩顆恒星相距 232GMT3232GMT4【解析】選C。兩恒星運動的周期相同,向心力都來源于萬有引力,所以M r1= r2,解得 。又r1+r2=L,G =M r1,聯(lián)立

27、得L= ,選項C正確。22()T2M 2()3T12r1r322M3L22()T232GMT33.宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m,半徑均為R,四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上,其中L遠大于R。已知萬有引力常量為G。忽略星體自轉效應,關于四星系統(tǒng),下列說法正確的是()A.四顆星圓周運動的軌道半徑均為 B.四顆星圓周運動的線速度均為 C.四顆星圓周運動的周期均為 D.四顆星表面的重力加速度均為 L2Gm22L4（）32L242 Gm2mGR【解析】選C、D。如圖所示,四顆星均圍繞正方形對

28、角線的交點做勻速圓周運動,軌道半徑均為 取任一頂點上的星體為研究對象,它受到相鄰的兩個星體與對角線上的星體的萬有引力的合力為 由2rL2。2222mmF2GGL( 2L)合。222v4FFmmrrT合向 ，可解得 故選項A、B錯誤,C正確;對于星體表面質量為m0的物體,受到的重力等于萬有引力,則有m0g= 故g= 選項D正確。3Gm22Lv(1T 2L442 Gm)， ，02mmGR，2mGR，4.雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成,兩恒星在相互引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發(fā)現(xiàn),雙星系統(tǒng)演化過程中,兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T,經(jīng)過一段時間演化后,兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍,兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍,則此時圓周運動的周期為()3322nnnnA.T B.T C.T D.Tkkkk【解析】選B。設兩顆星的質量分別為m1、m2,做圓周運動的半徑分別為r1、r2,根據(jù)萬有引力提供向心力得 解得m1+m2= 即T2= 因此當兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍,兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時,兩星圓周運動的周期為T= T,故選項B正確,A、C、D錯誤。221212112222221212m mm m44Gmr,Gmr ,TTrrrr321224rr,GT3212124rr,G mm3nk