《數(shù)學(xué)第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、8.3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)平行的判定和性質(zhì)考點(diǎn)平行的判定和性質(zhì) 一、線面、面面平行的判定一、線面、面面平行的判定1.直線與平面的位置關(guān)系知識(shí)清單位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線在平面內(nèi)直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)直線在平面外直線和平面相交直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)直線和平面平行直線與平面沒有公共點(diǎn)2.直線和平面平行(1)定義:直線l與平面沒有公共點(diǎn),則稱直線l與平面平行,記作l.(2)判定定理:如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行”).3.兩個(gè)平面平行(1)定義:沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.符號(hào)表示:平面、平面

2、,若=,則.(2)判定定理(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理1如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a,b,ab=P,a,b判定定理2如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線,那么這兩個(gè)平面平行判定定理3平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行l(wèi)l二、線面、面面平行的性質(zhì)二、線面、面面平行的性質(zhì)1.直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”).2.兩平面平行的性質(zhì)定理(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理1

3、如果兩個(gè)平面平行,那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面且aa性質(zhì)定理2如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行(簡(jiǎn)記為“面面平行線線平行”)且=a且=bab性質(zhì)定理3如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)垂直于一條直線,那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線且ll 線面、面面平行的判定的解題策略線面、面面平行的判定的解題策略1.線面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點(diǎn),通常要借助于反證法來(lái)證明.(2)判定定理法:在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行.(3)利用面面平行的性質(zhì)定理證明直線為一平面與兩平行平面的一條交線.(4)向量法:證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;或證明直

4、線的方向向量能被平面上的兩個(gè)不共線向量線性表示.2.面面平行的判定方法:(1)定義法:證明直線與平面沒有公共點(diǎn),通常要借助于反證法來(lái)證明.(2)判定定理法:證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面.方法技巧方法1(3)轉(zhuǎn)化為證明線線平行:證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行.(4)利用平行平面的傳遞性:若,則.(5)向量法:證明兩平面的法向量共線.例1(2016課標(biāo)全國(guó),19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN平面PAB;(2)求直線A

5、N與平面PMN所成角的正弦值.解題導(dǎo)引(1)設(shè)PB的中點(diǎn)為T利用中位線性質(zhì)得四邊形AMNT為平行四邊形利用線面平行的判定定理得線面平行(2)建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算平面PMN的法向量利用向量的數(shù)量積得線面角的正弦值解析(1)由已知得AM=AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TN=BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN 平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)2312(2)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD,且AE=.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的

6、空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=.設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則即(10分)22ABBE222BCAB5AE55,1,22PMPN5,1, 22AN5,1,22PM0,PN0,nn240,520,2yzxyz可取n=(0,2,1).于是|cos|=.即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.(12分)AN|AN|AN|nn8 5258 525方法總結(jié)第(1)問中線面平行的證明,可以通過(guò)構(gòu)造平行四邊形得出線線平行,從而進(jìn)行證明,也可以取BC的中點(diǎn),構(gòu)造面面平行從而獲證線面平行.注意空間向量法是解決立

7、體幾何問題的常用方法.評(píng)析本題主要考查線面平行的判定以及線面角的求法,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. 線面、面面平行的性質(zhì)的解題策略線面、面面平行的性質(zhì)的解題策略1.線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是過(guò)直線找到(或作出)一個(gè)平面,使它與已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行.2.面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用有兩個(gè):一是轉(zhuǎn)化為線線平行,一般是找到(或作出)第三個(gè)平面,使它與兩已知平面相交,從而轉(zhuǎn)化為線線平行;二是轉(zhuǎn)化為線面平行.例2(2017浙江寧波二模(5月),18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAD為正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,CDAB,BCAB,平面P

8、AD平面ABCD,點(diǎn)E,F分別為AD,CP的中點(diǎn),AD=AB=2CD=2.(1)證明:直線EF平面PAB;(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.方法2解題導(dǎo)引(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M利用中位線性質(zhì)得線線平行利用線面平行的判定定理得線面平行利用面面平行的判定定理得面面平行利用面面平行的性質(zhì)得結(jié)論(2)過(guò)點(diǎn)E找到一個(gè)與平面PBC垂直的平面PEM過(guò)點(diǎn)E作平面PBC的垂線,得線面角解三角形得結(jié)論解析(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接EM,FM,易知EMAB,FMPB,(2分)因?yàn)镋MAB,EM 平面PAB,AB平面PAB,所以EM平面PAB.同理FM平面PAB.(4分)又EMFM=M,EM平面FEM,FM平面FEM,所以平面EFM平面PAB,(6分)又EF平面FEM,所以直線EF平面PAB.(8分)(2)連接PE,PM.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,且PEAD,所以PE平面ABCD,所以PEBC.又因?yàn)镋MBC,所以BC平面PEM,(10分)所以平面PBC平面PEM.過(guò)點(diǎn)E作EHPM于點(diǎn)H,連接FH,由平面PBC平面PEM可知,EH平面PBC.所以直線EF與平面PBC所成角為EFH.(12分)易求得EF=PC=,EH=,12623 77所以sinEFH=.(15分)EHEF3 7762427