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數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 理

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1、第第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理;2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理任意(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_都垂直,則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線_兩條相交直線lalbab平行ab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定

2、義兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是_,就說這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條_,則這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面垂線ll交線alal常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.2.直線與平面垂直的

3、五個(gè)結(jié)論診 斷 自 測1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.()解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則有l(wèi)或l與斜交或l或l,故(1)錯(cuò)誤.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交,故(2)錯(cuò)誤.(3)若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面,也可能與另一平面平行,也可能與另一平面相交,也可能在另一平面內(nèi),故(3)錯(cuò)誤.(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的

4、所有直線,則,故(4)錯(cuò)誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯(cuò)誤的是()A.如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析對(duì)于D,若平面平面,則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面,即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi),其他選項(xiàng)易知均是正確的.答案D3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面,交于直線l,若直線m,n滿足m,n,則()A.ml B.mnC.nl D.mn解析因?yàn)閘,所以l,又n,所以nl,故選

5、C.答案C4.(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖,由題設(shè)知,A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1,從而A1B1BC1,又B1CBC1,且A1B1B1CB1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1.答案C答案B6.(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐PABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O,(1)若PAPBPC,則點(diǎn)O是ABC的_心.(2)若PAPB,PBPC,PCPA,則點(diǎn)O是ABC的_心.解析(1)如圖1,連接OA,OB,OC,OP,

6、在RtPOA、RtPOB和RtPOC中,PAPCPB,所以O(shè)AOBOC,即O為ABC的外心.圖1圖2(2)如圖2,PCPA,PBPC,PAPBP,PC平面PAB,AB平面PAB,PCAB,又ABPO,POPCP,AB平面PGC,又CG平面PGC,ABCG,即CG為ABC邊AB的高.同理可證BD,AH分別為ABC邊AC,BC上的高,即O為ABC的垂心.答案(1)外(2)垂考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中,PA底面

7、ABCD,CD平面ABCD,PACD,又ACCD,且PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中點(diǎn),AEPC.由(1)知AECD,且PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,AB平面ABCD,PAAB.又ABAD,且PAADA,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有:判定定理;垂直于平面的傳遞性(ab,ab);面面平行的性質(zhì)(a,a);面面垂直的性質(zhì)(,a,la,ll).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直,而證

8、明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.求證:PACD.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 (2017江蘇卷)如圖,在三棱錐ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi),ABAD,EFAD,則ABEF.AB平面ABC,EF 平面ABC,EF平面ABC.(2)BCBD,平面ABD平面BCDBD,平面ABD平面BCD,BC平面BCD,BC平面ABD.AD平面ABD,BCAD.又ABAD,BC,AB平面ABC

9、,BCABB,AD平面ABC,又因?yàn)锳C平面ABC,ADAC.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法:面面垂直的定義;面面垂直的判定定理.(2)已知兩平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD.(1)證明:A1O平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,由于A

10、BCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C,又O1C平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因?yàn)锽1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEME,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 如圖,在直三棱柱ABC

11、A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DEAC,于是DEA1C1.又因?yàn)镈E 平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1A1,所以A1C

12、1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1FA1,所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問題,求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度2平行垂直中探索性問題【例32】 如圖所示,平面ABCD平面BCE,四邊形ABCD為矩形,BCCE,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明:AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn),在線段AE上是否存在

13、點(diǎn)P,使得PMBE?若存在,確定點(diǎn)P的位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明連接AC交BD于O,連接OF,如圖.四邊形ABCD是矩形,O為AC的中點(diǎn),又F為EC的中點(diǎn),OF為ACE的中位線,OFAE,又OF平面BDF,AE 平面BDF,AE平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí),有PMBE,證明如下:取BE中點(diǎn)H,連接DP,PH,CH,P為AE的中點(diǎn),H為BE的中點(diǎn),PHAB,又ABCD,PHCD,P,H,C,D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE,平面ABCD平面BCEBC,CD平面ABCD,CDBC.CD平面BCE,又BE平面BCE,CDBE,BCCE,H為BE的中點(diǎn),CHBE,又C

14、DCHC,BE平面DPHC,又PM平面DPHC,BEPM,即PMBE.規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑:先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明;先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明充分性.(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè),也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).(1)求證:AC平面FBC.(2)求四面體FBCD的體積.(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M,使EA平面FDM?若存在,請(qǐng)說明其位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)解線段AC上存在點(diǎn)M,且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí),有EA平面FDM.證明如下:連接CE,與DF交于點(diǎn)N,取AC的中點(diǎn)M,連接MN.因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形,所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn).所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM,EA 平面FDM,所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M,且M為AC的中點(diǎn),使得EA平面FDM成立.

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