《初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第22講 園冪定理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第22講 園冪定理(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二十二講 園冪定理
相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理.圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理,其本質(zhì)是與比例線段有關(guān).
相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系,主要體現(xiàn)在:
1.用運動的觀點看,切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形,即移動圓內(nèi)兩條相交弦使其交點在圓外的情況;
2.從定理的證明方法看,都是由一對相似三角形得到的等積式.
熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:
【例題求解】
【例1】 如圖,PT切⊙O于點T,PA交⊙O于A、B兩點,且與直徑CT交于點D,CD=2,AD=3,
2、BD=6,則PB= .
思路點撥 綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長.
注:比例線段是幾何之中一個重要問題,比例線段的學(xué)習(xí)是一個由一般到特殊、不斷深化的過程,大致經(jīng)歷了四個階段:
(1)平行線分線段對應(yīng)成比例;
(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例;
(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來;
(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來.
【例2】 如圖,在平行四邊形ABCD中,
3、過A、B、C三點的圓交AD于點E,且與CD相切,若AB=4,BE=5,則DE的長為( )
A.3 B.4 C. D.
思路點撥 連AC,CE,由條件可得許多等線段,為切割線定理的運用創(chuàng)設(shè)條件.
注:圓中線段的算,常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識,通過代數(shù)化獲解,加強對圖形的分解,注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵.
【例3】 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是∠O的直徑,PA是過A點的直線,∠
4、PAC=∠B.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果弦CD交AB于E,CD的延長線交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,,AE:BE=2:3,求AB的長和∠ECB的正切值.
思路點撥 直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識.(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件;引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式,把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示,并尋找x與k的關(guān)系,建立x或k的方程.
【例4】 如圖,P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點,DP與A
5、C、BC分別交于點E、E,EG是過B、F、P三點圓的切線,G為切點,求證:EG=DE
思路點撥 由切割線定理得EG2=EF·EP,要證明EG=DE,只需證明DE2=EF·EP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明.
注:圓中的許多問題,若圖形中有適用圓冪定理的條件,則能化解問題的難度,而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁.
需要注意的是,圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明,可拓展到平面幾何各種類型的問題中.
【例
6、5】 如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑,在正方形內(nèi)部作半圓,圓心為O,DF切半圓于點E,交AB的延長線于點F,BF=4.
求:(1)cos∠F的值;(2)BE的長.
思路點撥 解決本例的基礎(chǔ)是:熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE,AE);熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法.對于(1),先求出EF,F(xiàn)O值;對于(2),從△BE F∽△EAF,Rt△AEB入手.
注:當(dāng)直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的圖形,善于分析圖形是解與圓
7、相關(guān)綜合題的關(guān)鍵,分析圖形可從以下方面入手:
(1)多視點觀察圖形.如本例從D點看可用切線長定理,從F點看可用切割線定理.
(2)多元素分析圖形.圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形.
(3)將以上分析組合,尋找聯(lián)系.
學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,PT是⊙O的切線,T為切點,PB是⊙O的割線,交⊙O于A、B兩點,交弦CD于點M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,則PT的長為 .
2.如圖
8、,PAB、PCD為⊙O的兩條割線,若PA=5,AB=7,CD=11,則AC:BD= .
3.如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長線上的一點,CD是⊙O的切線,D為切點,過點B作⊙O的切線交CD于點F,若AB=CD=2,則CE= .
4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC為直徑作圓與斜邊交于點P,則BP的長為( )
A.6.4 B.3.2 C .3.6 D.8
9、
5.如圖,⊙O的弦AB平分半徑OC,交OC于P點,已知PA、PB的長分別為方程的兩根,則此圓的直徑為( )
A. B. C. D.
⌒
⌒
⌒
6.如圖,⊙O的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合),連結(jié)PC、PD、PA、AD,點E在AP的延長線上,PD與AB交于點F,給出下列四個結(jié)論:①CH2=AH·BH;②AD=A
10、C:③AD2=DF·DP;④∠EPC=∠APD,其中正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖,BC是半圓的直徑,O為圓心,P是BC延長線上一點,PA切半圓于點A,AD⊥BC于點D.
(1)若∠B=30°,問AB與AP是否相等?請說明理由;
(2)求證:PD·PO=PC·PB;
(3)若BD:DC=4:l,且BC=10,求PC的長.
8.如圖,已知PA切⊙O于點A,割線PBC交⊙O于
11、點B、C,PD⊥AB于點D,PD、AO的延長線相交于點E,連CE并延長交⊙O于點F,連AF.
(1)求證:△PBD∽△PEC;
(2)若AB=12,tan∠EAF=,求⊙O的半徑的長.
9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點B,PA交⊙O于點C,PF分別交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中為實數(shù))的兩根.
(1)求證:BE=BD;(2)若GE·EF=,求∠A的度數(shù).
10.如圖,△AB
12、C中,∠C=90°,O為AB上一點,以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB相交于點E,與AC相切于點D,已知AD=2,AE=1,那么BC= .
11.如圖,已知A、B、C、D在同一個圓上,BC=CD,AC與BD交于E,若AC=8,CD=4,且線段BE、ED為正整數(shù),則BD= .
12.如圖,P是半圓O的直徑BC延長線上一點,PA切半圓于點A,AH⊥BC于H,若PA=1,PB+PC=(>2),則PH=( )
A. B.
13、C. D.
13.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,弦EF經(jīng)過BC的中點D,且EF∥AB,若AB=2,則DE的長為( )
A. B. C. D.1
14.如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,延長BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,B
E交⊙O于F,AF交CE于P,求證:PE=PC.
15.已知:如圖,ABCD為正方形,以D點為圓心,AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點,連結(jié)AC、
14、AP、CP,并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點,連結(jié)OF.
(1)求證:△AEP∽△CEA;(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)求BH:HC
16.如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,PEC是一條割線,D是AB與PC的交點,若PE=2,CD=1,求DE的長.
17.如圖,⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根,P是⊙O外一點,過點P作⊙O 的切線PA和割線PBC,其中A為切點,點B、C是直線PBC與⊙O的交點,若PA、PB、PC的長都是正整數(shù),且PB的長不是合數(shù),求PA+PB+PC 的值.
參考答案
7