《高等數(shù)學教學教案§12 數(shù)列的極限》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學教學教案§12 數(shù)列的極限（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、六六老師數(shù)學網(wǎng)專用資料： http://y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 §1.2 數(shù)列的極限 授課次序02 教 學 基 本 指 標 教學課題 §1.2 數(shù)列的極限 教學方法 當堂講授，輔以多媒體教學 教學重點 數(shù)列極限的概念與性質 教學難點 概念的引入、極限的證明與性質的推導 參考教材 同濟大學編《高等數(shù)學（第6版）》 自編教材《高等數(shù)學習題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學》標準化作業(yè) 雙語教學 數(shù)列：sequence；極限：limit；極限值：limit value

2、；常量：constant quantity； 發(fā)散：diverge；收斂：converge 課堂教學目標 1． 了解數(shù)列極限的概念，知道極限的ε－Ν定義（對于給出的ε求N的題不作要求） 2． 理解數(shù)列極限的基本性質 教學過程 1．數(shù)列極限的定義（25min），（1）從幾個古典問題（芝洛悖論、截丈問題）入手引出從有限到無限人類思維過程中遇到的困難，（2）再從割圓術入手引出數(shù)列、數(shù)列極限的樸素定義；（3）通過對數(shù)列特征的觀察，逐步引出數(shù)列極限的定義； 2．應用定義證明極限（20min）介紹幾種重要的數(shù)列的極限的證明過程，讓學生明白基本過程。 3．收斂數(shù)列的性質（唯一性、有界性）（

3、45min） 本 節(jié) 課 程 設 計 1、極限概念 1. 背景知識與引入方法 極限概念是微積分理論中最核心的概念，極限方法是數(shù)學中最重要的思想方法，也是基本的推理工具. 可以說，沒有極限概念，就不可能有高等數(shù)學的嚴謹結構。理解極限概念，才能理解導數(shù)、微分、積分、級數(shù)等微積分中的其它核心內容。 極限的本質是用“變化”的思想和“逼近”的思想研究函數(shù)的變化性態(tài)。極限概念的建立是從常量過渡到變量、從有限過渡到無限、從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的關鍵。 極限思想源遠流長。 我國古代莊子（公元前355-275年，另一說為公元前369-286年）的“截杖說”，漢代劉徽

4、（公元三世紀）的“割圓術”,都體現(xiàn)出樸素的極限思想。劉徽是我國第一位用極限思想來考慮問題的科學家，他從圓內接六邊形開始，每次把邊數(shù)加倍，利用勾股定理求出正12邊形，24邊形，……，直到正192邊形的面積，求出了圓周率, 后來又計算到圓內接3072邊形面積，得到，奠定了中國科學家在數(shù)學史中的地位。 在歐洲古希臘時期就萌芽出了“窮竭法”。柏拉圖（Plato，公元前430-349年）的學生攸多克薩斯（Eudoxus,公元前408-355年）用“窮竭法”證明了一個極端重要的命題：“取去一半之量，再取去所余之一半，這樣繼續(xù)下去，可以使所余的量小于另一個任意給定的量”,這正是近代極限論的雛形。 盡管古

5、今中外的學者們曾經有意無意地使用了極限方法，但是極限概念的形成卻走過了一段相當漫長的艱苦歷程. 在十七世紀微積分誕生的初期，數(shù)學家們一直覺得極限概念玄妙而不可捉摸，什么是極限還十分模糊。自十七世紀中葉微積分建立之后，微積分飛速向前發(fā)展，十八世紀達到空前燦爛的程度，其內容之豐富，應用之廣泛，簡直令人眼花繚亂。她的進步如此快，使人們來不及梳理一下這門偉大科學的理論基礎，由于對極限概念的理解十分混亂，使微積分遭受到種種非難。十九世紀初，許多迫切問題基本上得到解決，數(shù)學家開始轉向重建數(shù)學基礎的工作。 十九世紀，法國數(shù)學家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版

6、了他的三部代表作: 《分析教程》( 1821年)、《無窮小分析教程概論》( 1823年) 和《微分計算教程》( 1829年). 1821年, 他在《分析教程》中給出了極限的定義：“當一個量逐次所取的值無限趨向于一個定值，最終使變量的值和該定值之差想要多小就有多小，這個值就叫所有其它值的極限。” 半個世紀后，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯( Weierstrass , 1815-1897)給出了的極限的 定義，從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的俗習，擺脫了“無限趨近”、“想要多小就有多小”等提法的不明確性,極限概念被嚴密化，成為微積分學的堅實的基礎工具。此定義仍普遍沿用，也就是我們今天教材中采用的定義。

7、 建議本節(jié)內容從樸素直觀的極限例子開始, 揭示極限思想,并不斷嚴密化、抽象化、數(shù)學化，提煉極限語言， 最后給出、 語言的極限定義。 2. 講解方法 方法１ 首先從具體例子引出函數(shù)極限的形象的、說明性的直觀定義，然后在將其逐漸完善，最終得到函數(shù)極限的定義．此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出． 方法２ 首先從具體的數(shù)列極限的例子出發(fā)，觀察數(shù)列的變化趨勢，從中找出數(shù)列{}以某個常數(shù)A為極限的特征．將形象的、說明性的直觀語言逐漸完善，最終得到數(shù)列的極限定義．此后再將數(shù)列極限拓廣到函數(shù)極限的定義．下面我們主要采用第2種方法． 3. 難點及解決方法 本知識點的難點：使用, ,定義證明,難點

8、在于理解的存在性在證明中所起的邏輯作用。 解決的主要方法：（1）首先要整理好思路，理順邏輯關系。不管進行了多么復雜的運算過程，要牢牢把握住四個關鍵詞：任給…，存在…，當…時，恒有…。只有這四個關鍵詞組成邏輯鎖鏈時，證明才算完成。（2）要特別注意所選擇的只能與有關，決不能與自變量有關。這樣，當給定時，自然也就存在了．（3）要注意的不唯一性，只要存在即可，不要追求最嚴格和最精確. 對不等式進行適當放大或縮小，可以大大簡化求解過程。養(yǎng)成放縮不等式的意識十分重要。（3）可以按例題的層次分成個幾個臺階，內容的組織注意逐步加深加難，有一個循序漸進和螺旋式上升的過程。 4．常見錯誤分析 最致命的

9、錯誤是對定義的邏輯關系理解不清，或者對語言不會表述，使證明不知所云。 另一種錯誤是在證明中不能把握不等式放大縮小的方向, 常常把不等號搞反；有時也會出現(xiàn)放大過度的現(xiàn)象。證明技巧的核心和水平的體現(xiàn)是在不等式的放縮上。 常見錯誤之一還有如例5中只取了, 而忘了限定。這雖然不是一種實質性錯誤，但是不夠嚴謹。要知道，在微積分學習之初培養(yǎng)嚴謹?shù)牧晳T和意識是極其重要的。 5．與其他知識點的關聯(lián) 微積分的一系列重要概念如連續(xù), 導數(shù), 定積分, 無窮級數(shù)等都是建立在極限的定義基礎之上的. 6．擴展知識 數(shù)列的上(下)極限 極限性質 1. 背景知識與引入方法 在已經給出數(shù)列極限、函數(shù)極限

10、的定義的基礎上，進一步研究極限的各種性質。表面上看好像對極限特性的學習是本小節(jié)的目的，其實逐步熟悉極限語言的論證方法也是學習本小節(jié)內容的重要目的，這一點是不容忽略的。應該明確地向學生提出這種要求。 2. 講解方法 總的來說是從幾何直觀出發(fā)，總結出樸素的思想，然后用，語言來給出證明。 方法１ 首先研究函數(shù)極限的性質，此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出． 方法２ 首先從研究數(shù)列極限的性質出發(fā)，然后將其拓廣到函數(shù)極限的情形．我們采用第2種方法． 定理1（極限的唯一性） 收斂數(shù)列的極限是唯一的． 首先將數(shù)列的各項在數(shù)軸上標示出來，于是數(shù)列的第n項就與數(shù)軸上的點建立了一一對應的關系

11、．從幾何直觀看數(shù)列收斂于A，就是除有限項以外其它的各項都進入到A點的鄰域中去了．可以考慮用反證法對定理進行證明．若假設數(shù)列同時收斂于兩個不同的常數(shù)A和B（不妨設）, 則在足夠大的N以后數(shù)列的所有項既都進入到A點的鄰域中，又都進入到B點的鄰域中．而這兩個集合的交為空集,于是得到矛盾．需要特別注意的是教會學生如何把腦子里所想到的事實用語言寫出來． 證明了定理1之后我們會發(fā)現(xiàn)，對于收斂數(shù)列，它的N以后的所有項都進入到某一點的鄰域中去了，故在數(shù)軸的其余地方只能有限多項．綜合以上兩條我們就可以得到收斂數(shù)列的有界性： 定理２（收斂數(shù)列的有界性） 若數(shù)列收斂， 則數(shù)列有界． 在數(shù)列中任意抽取無限多項并

12、保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）． 定理３（收斂數(shù)列與其子列間的關系） 若數(shù)列收斂于a， 則它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于相同的極限a． 以上三個定理都是數(shù)列收斂的必要條件．我們通常用其逆命題證明極限不存在．此外，我們可以很容易的將以上定理拓廣到函數(shù)極限的情況． 定理1’ （極限的唯一性） 定理２’（局部有界性） 定理４（局部保號性） 若，且A＞0（或A< 0），則存在點的某個去心鄰域，當x在該鄰域內時，有（或）. 定理４’ 若，則存在點的某個去心鄰域，當x在該鄰域內時，可以保證。 定理５（保號性）　若在點的某去心鄰

13、域內，而且，那么 在情況下有類似的相應結果． 注意1 定理１’, 定理2’, 定理4, 定理4’, 定理5考慮的都是函數(shù)的局部性質．例如對函數(shù)，有，當我們取時，函數(shù)在相應的區(qū)間內有界．而取時，函數(shù)在相應的區(qū)間內無界． 注意2 在定理5中若將換成，定理中的A依然是，而不能推出．事實上，在原點的去心鄰域內，且極限 存在，但是此時極限A = 0. 雖然函數(shù)極限與數(shù)列極限是分別定義的，但是本質上兩者卻可以互相轉化．海涅（Heine）定理就是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁． 定理６( Heine ) 3. 難點及解決方法 極限證明歷來是微積分課程中難點。學生最怕做證明題，常常一看

14、到證明就頭疼．極限的證明可以先從模仿開始，認真研讀教科書中的證明思路和證明手法，理解證明過程的邏輯關系，了解證明的直觀幾何意義，是突破這一難點的突破口。我們應引導學生從反復的認真讀題開始，弄清題目的真正含義以及幾何意義．先從幾何直觀上想明白題目怎么做；接下來再將想清楚的問題翻譯成，,語言．比如在例1中我們先考慮數(shù)列的兩個子列、都以a為極限，而＝{，},從而以a為極限．接下來的工作就是把這種想法翻譯成語言．我們還可以進一步推廣，若數(shù)列，，都以a為極限，則數(shù)列也以a為極限． 4. 常見錯誤分析 對于無界數(shù)列（或函數(shù)），有些學生會把它的極限不存在與極限是無窮大等同起來．事實上二者是不同的．通過例

15、2就可以清楚地看到，無界數(shù)列極限不存在時，不一定趨于無窮大；而以無窮大為極限的數(shù)列必定無界，無窮大只是數(shù)列極限不存在的一種情況． 5. 與其他知識點的關聯(lián) 數(shù)列或函數(shù)極限的某些基本性質可以拓展到二維或高維空間。 使用極限性質求極限或證明極限不存在是極限運算中的基本方法之一． 6. 擴展知識 二元函數(shù)的極限問題． 教 學 基 本 內 容 §1.2 數(shù)列的極限 一個實際問題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設有一圓, 首先作內接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內接正十六邊形

16、, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內接正多邊形的面積: A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × × 設想n 無限增大（記為n?￥, 讀作n 趨于窮大）, 即內接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個過程中, 內接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個確定的數(shù)值在數(shù)學上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當n ?￥時的極限. 數(shù)列的概念:如果按

17、照某一法則, 使得對任何一個正整數(shù)n 有一個確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, × × × , xn , × × × 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為{xn}, 其中第n 項xn 叫做數(shù)列的一般項. 數(shù)列的例子: {}: , , , × × × , × × ×; {2n}: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × ×; {}: , , , × × × , , × × × ; {(-1)n+1}: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × ×

18、× ; {}: 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個動點, 它依次取數(shù)軸上的點x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義:對于數(shù)列{xn}, 如果當n 無限增大時, 數(shù)列的一般項xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列{xn}的

19、極限, 或稱數(shù)列{xn}收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 例如 ,, ; 而{2n}, { (-1)n+1}, 是發(fā)散的. 對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價于|xn-a |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列{xn}與常a 有下列關系:對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對于n >N 時的一切xn, 不等式 |xn-a |

20、限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. ?"e >0, $N?N+, 當n>N時, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $?N+, 當n>N時, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對于"e >0, 要使|xn-0|0, $?N+, 當n>N時, 有 |xn-0|=, 所以.

21、 例3. 設|q |<1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0. 分析: 對于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=[log|q|e +1]。 證明: 因為對于任意給定的e >0, 存在N=[ log|q|e +1], 當n>N時, 有 | qn-1-0|=|q| n-1

22、明: 假設同時有及, 且a0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當n>N時, 同時有 |xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時有 及, 這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對于數(shù)列{xn}，如果存在著正數(shù)M，使得對一切xn都滿足 不等式 |xn|￡M, 則稱數(shù)列{xn}是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列{xn}是無界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 證明: 設數(shù)列{xn}收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對于e =1, 存在正整

23、數(shù)N, 使對于n>N 時的一切xn , 不等式|xn-a|N時, |xn|=|(xn -a)+a| ￡| xn-a|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |}, 那么數(shù)列{xn}中的一切xn都滿足不等式 |xn|￡ M.這就證明了數(shù)列{xn}是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整數(shù)N, 當n>N時, 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列

24、極限的定義, 對, $N?N+, 當n>N時, 有, 從而 . 推論 如果數(shù)列{xn}從某項起有xn30(或xn￡0), 且數(shù)列{xn}收斂于a, 那么a30(或a￡0). 證明 就xn30情形證明. 設數(shù)列{xn}從N1項起, 即當n>N 1時有xn30. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2?N+, 當n> N 2時, 有xn<0. 取N=max{ N 1, N 2 }, 當n>N時, 按假定有x n 30, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a 30. 子數(shù)列: 在數(shù)列{xn}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序,

25、 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列{xn}: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列為{x2n}: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × ×. 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系) 如果數(shù)列{xn}收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設數(shù)列是數(shù)列{xn}的任一子數(shù)列. 因為數(shù)列{xn}收斂于a, 所以"e >0, $N?N+, 當n>N時, 有|xn-a|K時, nk3k>K=N

26、. 于是|-a|N 時, 有|xn-a|