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全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15

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1、1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 第一試 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1. 設(shè)等差數(shù)列{an }滿足3a8=5a13且a1>0,Sn為其前項之和,則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2. 設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1,Z2,…,Z20,則復(fù)數(shù)Z,Z,…,Z所對應(yīng)的不同的點的個數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大,則稱甲不亞于乙,

2、在100個小伙子中,如果某人不亞于其他99人,就稱他為棒小伙子,那么,100個小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1個 (B)2個 (C)50個 (D)100個 4. 已知方程|x-2n|=k (n∈N*)在區(qū)間(2n-1,2n+1]上有兩個不相等的實根,則k的取值范圍是( ) (A)k>0 (B)0

3、小關(guān)系是 (A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 (B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 (C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 (D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1 6. 設(shè)O是正三棱錐P—ABC底面三角形ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA,PB的延長線分別交于Q,R,則和式++

4、 (A)有最大值而無最小值 (B有最小值而無最大值 (C)既有最大值又有最小值,兩者不等 (D)是一個與面QPS無關(guān)的常數(shù) 二、填空題(每小題9分,共54分) 1. 設(shè)α,β為一對共軛復(fù)數(shù),若|α-β|=2,且為實數(shù),則|α|= . 2. 一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為 . 3. 用[x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù), 方程lg2x-[lgx]-2=0的實根個數(shù)是 . 4. 直角坐標平面上,滿足不等式組的整點個數(shù)是 . 5. 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩端點

5、異色,如果只有5種顏色可使用,那么不同的染色方法的總數(shù)是 . 6. 設(shè)M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且滿足條件:當x∈A時,15x?A,則A中元素的個數(shù)最多是 . 第二試 一、(25分) 給定曲線族2(2sinθ-cosθ+3)x2-(8sinθ+cosθ+1)y=0,θ為參數(shù),求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值. 二、(25分) 求一切實數(shù)p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個根均為正整數(shù). 三、(35分) 如圖,菱形A

6、BCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E,F(xiàn),G,H,在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求證: MQ∥NP. 四、(35分) 將平面上的每個點都以紅,藍兩色之一著色。證明:存在這樣兩個相似的三角形,它們的相似比為1995,并且每一個三角形的三個頂點同色. 1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(解答) 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1. 設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13且a1>0,Sn為其前項之和,則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20

7、 (D) S21 解:3(a+7d)=5(a+12d),Td=-a,令an=a-a (n-1)≥0,an+1= a-a n<0,得n=20.選C. 2. 設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1,Z2,…,Z20,則復(fù)數(shù)Z,Z,…,Z所對應(yīng)的不同的點的個數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 解:設(shè)z1=cosθ+isinθ,則zk=z1εk-1,其中ε=cos+isin.ε20=1.ε15=-i,ε10=-1,ε5=i. ∴ zk1995=(cos19

8、95θ+isin1995θ) ε1995(k-1)= (cos1995θ+isin1995θ)(-i)k-1. ∴ 共有4個值.選A. 3. 如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大,則稱甲不亞于乙,在100個小伙子中,如果某人不亞于其他99人,就稱他為棒小伙子,那么,100個小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1個 (B)2個 (C)50個 (D)100個 解:把身高按從高到矮排為1~100號,而規(guī)定二人比較,身高較高者體重較小,則每個人都是棒小伙子.故選D. 4. 已知方程|x-2n|=k(n∈N*)在區(qū)間(2n-1

9、,2n+1]上有兩個不相等的實根,則k的取值范圍是( ) (A)k>0 (B)00. 由圖象可得,x=2n+1時,k≤1.即k≤.故選B. 又解:y=(x-2n)2與線段y=k2x(2n-10.且(2n-1)2-(4n+k2)(2

10、n-1)+4n2>0,(2n+1)2-(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0,2n-1<2n+k2<2n+1.T k≤. 5. logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1的大小關(guān)系是 (A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 (B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 (C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 (D) logc

11、os1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1 解:<1<,故00,logcos1sin1>0, 設(shè)logsin1cos1=a,則得(sin1)a=cos11;logcos1sin1=b,則(cos1)b=sin1>cos1,0

12、進行比較),c

13、QRS=PQ·PR·PSsinαsinθ.(其中θ為PS與面PQR的夾角) ∴ d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)=PQ·PR·PSsinθ. ∴ ++=為定值.故選D. 二、填空題(每小題9分,共54分) 1. 設(shè)α,β為一對共軛復(fù)數(shù),若|α-β|=2,且為實數(shù),則|α|= . 解:設(shè)α=x+yi,(x,y∈R),則|α-β|=2|y|.∴y=±. 設(shè)argα=θ,則可取θ+2θ=2π,(因為只要求|α|,故不必寫出所有可能的角).θ=π,于是x=±1.|α|=2. 2. 一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為

14、. 解:設(shè)球半徑為R,其內(nèi)接圓錐的底半徑為r,高為h,作軸截面,則r2=h(2R-h(huán)). V錐=πr2h=h2(2R-h(huán))=h·h(4R-2h)≤=·πR3. ∴ 所求比為8∶27. 3. 用[x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù), 方程lg2x-[lgx]-2=0的實根個數(shù)是 . 解:令lgx=t,則得t2-2=[t].作圖象,知t=-1,t=2,及1

15、界上的整點.由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的整點數(shù)=1+2+3+…+101=5151個. 由x軸、y=x,x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=x上)內(nèi)的整點數(shù)(x=1,2,3時各有1個整點,x=4,5,6時各有2個整點,…,x=73,74,75時有25個整點,x=76,77,…,100時依次有25,24,…,1個整點.共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300.由對稱性,由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個整點. ∴所求區(qū)域內(nèi)共有5151-2600=2551個整點. 5. 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并

16、使同一條棱的兩端點異色,如果只有5種顏色可使用,那么不同的染色方法的總數(shù)是 . 解:頂點染色,有5種方法, 底面4個頂點,用4種顏色染,A=24種方法,用3種顏色,選 1對頂點C,這一對頂點用某種顏色染C,余下2個頂點,任選2色染,A種,共有CCA=48種方法;用2種顏色染: A=12種方法; ∴共有5(24+48+12)=420種方法. 6. 設(shè)M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且滿足條件:當x∈A時,15x?A,則A中元素的個數(shù)最多是 . 解:1995=15×133.故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù),共1862個,這此數(shù)均符合要求. 在所有15的

17、倍數(shù)的數(shù)中,152的倍數(shù)有8個,這此數(shù)又可以取出,這樣共取出了1870個.即|A|≥1870. 又{k,15k}(k=9,10,11,…,133)中的兩個元素不能同時取出,故|A|≤1995-133+8=1870. 第二試 一、(25分) 給定曲線族2(2sinθ-cosθ+3)x2-(8sinθ+cosθ+1)y=0,θ為參數(shù),求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值. 解:以y=2x代入曲線方程得x=0,x=. ∴ 所求弦長l=.故只要求|x|的最大值即可. 由(2x-8)sinθ-(x+1)cosθ=1-3x.T(2x-8)2+(x+1)2≥(1-3x)2,即x2+1

18、6x-16≤0. 解之得,-8≤x≤2.即|x|≤8(當sinθ=±,cosθ=?時即可取得最大值).故得最大弦長為8. 二、(25分) 求一切實數(shù)p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三個根均為正整數(shù). 解:x=1是方程的一個根.于是只要考慮二次方程 5x2-5px+66p-1=0 的兩個根為正整數(shù)即可. 設(shè)此二正整數(shù)根為u、v.則由韋達定理知, 消去p,得5uv-66(u+v)=-1.同乘以5:52uv-5×66u-5×66v=-5. ∴ (5u-66)(

19、5v-66)=662-5=4351=19×229.由于u、v均為整數(shù),故5u-66、5v-66為整數(shù). ∴ ∴ 其中使u、v為正整數(shù)的,只有u=17,v=59這一組值.此時p=76. 三、(35分) 如圖,菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E,F(xiàn),G,H,在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求證: MQ∥NP. 分析 要證MQ∥NP,因AB∥DC,故可以考慮證明∠AMQ=∠CPN.現(xiàn)∠A=∠C,故可證ΔAMQ∽ΔCPN.于是要證明AM∶AQ=CP∶CN. 證明 設(shè)∠ABC=2a,∠BNM=2b,∠BMN=2γ.則

20、 由ON平分∠ONM,得∠ONC=∠ONM=(180°-2b)=90°-b; 同理,∠OMN=∠OMA=90°-γ. 而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=b+a=90°-γ,于是ΔCON∽ΔAMO, ∴AM∶AO=CO∶CN,即AM·CN=AO2. 同理,AQ·CP=AO2,∴AM·CN=AQ·CP. ∴ΔAMQ∽ΔCPN,∴∠AMQ=∠CPN. ∴MQ∥NP. 四、(35分) 將平面上的每個點都以紅,藍兩色之一著色.證明:存在這樣兩個相似的三角形,它們的相似比為1995,并且每一個三角形的三個頂點同色. 證明:首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形.

21、 任取平面上的一條直線l,則直線l上必有兩點同色.設(shè)此兩點為P、Q,不妨設(shè)P、Q同著紅色.過P、Q作 直線l的垂線l1、l2,若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色,則存在紅色直角三角形.若l1、l2上除P、Q外均無紅色點,則在l1上任取異于P的兩點R、S,則R、S必著藍色,過R作l1的垂線交l2于T,則T必著藍色.△RST即為三頂點同色的直角三角形. 設(shè)直角三角形ABC三頂點同色(∠B為直角).把△ABC補成矩形ABCD(如圖).把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù),n>1,本題中取n=1995).連結(jié)對邊相應(yīng)分點,把矩形ABCD分成n2個小矩形. AB邊上的分點共有n+1個,由于n為奇數(shù)

22、,故必存在其中兩個相鄰的分點同色,(否則任兩個相鄰分點異色,則可得A、B異色),不妨設(shè)相鄰分點E、F同色.考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E¢、F¢,若E¢、F¢異色,則△EFE¢或△DFF¢為三個頂點同色的小直角三角形.若E¢、F¢同色,再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形,….這樣依次考察過去,不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色. 同樣,BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色,設(shè)為P、Q,則考察PQ所在的小矩形,同理,若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色,則存在三頂點同色的小直角三角形.否則,PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色. 現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩

23、形GHNM,如上述,M、H都與N同色,△MNH為頂點同色的直角三角形. 由n=1995,故△MNH∽△ABC,且相似比為1995,且這兩個直角三角形的頂點分別同色. 證明2:首先證明:設(shè)a為任意正實數(shù),存在距離為2a的同色兩點.任取一點O(設(shè)為紅色點),以O(shè)為圓心,2a為半徑作圓,若圓上有一個紅點,則存在距離為2a的兩個紅點,若圓上沒有紅點,則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色,但此六邊形邊長為2a.故存在距離為2a的兩個藍色點. 下面證明:存在邊長為a,a,2a的直角三角形,其三個頂點同色.如上證,存在距離為2a的同色兩點A、B(設(shè)為紅點),以AB為直徑作圓,并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF,若C、D、E、F中有任一點為紅色,則存在滿足要求的紅色三角形.若C、D、E、F為藍色,則存在滿足要求的藍色三角形. 下面再證明本題:由上證知,存在邊長為a,a,2a及1995a,1995a,1995′2a的兩個同色三角形,滿足要求. 證明3:以任一點O為圓心,a及1995a為半徑作兩個同心圓,在小圓上任取9點,必有5點同色,設(shè)為A、B、C、D、E,作射線OA、OB、OC、OD、OE,交大圓于A¢,B¢,C¢,D¢,E¢,則此五點中必存在三點同色,設(shè)為A¢、B¢、C¢.則DABC與DA¢B¢C¢為滿足要求的三角形.

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