《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試 一、選擇題(每小題6分，共36分) 1、設(shè)a，b，c是實數(shù)，那么對任何實數(shù)x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是 (A) a，b同時為0，且c>0 (B) =c (C) c 2、給出下列兩個命題：⑴ 設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2>c2，則a2+b2－c2>0；⑵設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2－c2>0，則a2+b2>c2．那么下述說法正確的是 (A)命題⑴正確，命題⑵也正確 (B)命題⑴正確，命題⑵錯誤

2、 (C)命題⑴錯誤，命題⑵也錯誤 (D)命題⑴錯誤，命題⑵正確 3、已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知0

3、) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) 6、在平面直角坐標(biāo)系中，方程+=1 (a，b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形 二、填空題(每小題9分，共54分) 1．已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-－1，1)和(2，2)，若直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是 ． 2．已知x，y∈[－，]，a∈R且則cos(x+2y) =

4、 ． 3．已知點(diǎn)集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，則點(diǎn)集A∩B中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為 ． 4．設(shè)0<θ<π，，則sin(1+cosθ)的最大值是 ． 5．已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于α，則sinα= ． 6．已知95個數(shù)a1，a2，a3，…，a95， 每個都只能取+1或－1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是

5、 ． 第二試 一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且z－4z2=16+20i，設(shè)這個方程的兩個根α、β，滿足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第1000項。 三、(本題滿分35分) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分線交圓O于E． 證明:(1) IO=AE； (2) 2R

6、 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個數(shù)記為m(G)． (1)求m(G)的最小值m0． (2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形． 1994年全國

7、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 一、選擇題(每小題6分，共36分) 1、設(shè)a，b，c是實數(shù)，那么對任何實數(shù)x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是 (A) a，b同時為0，且c>0 (B) =c (C) c 解：asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[－+c，+c]．故選C． 2、給出下列兩個命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2>c2，則a2+b2－c2>0．(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2－c2>0，則a2+b2>c2．那么下述說法正確的是 (

8、A)命題(1)正確，命題(2)也正確 (B)命題(1)正確，命題(2)錯誤 (C)命題(1)錯誤，命題(2)也錯誤 (D)命題(1)錯誤，命題(2)正確 解：⑴正確，⑵錯誤；理由：⑴a2+b2>c2，成立時，a2+b2與c2都是實數(shù)，故此時a2+b2－c2>0成立； ⑵ 當(dāng)a2+b2－c2>0成立時a2+b2－c2是實數(shù)，但不能保證a2+b2與c2都是實數(shù)，故a2+b2>c2不一定成立．故選B． 3、已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是

9、 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：(an+1－1)=－(an－1)，即{ an－1}是以－為公比的等比數(shù)列， ∴ an=8(－)n－1+1．∴ Sn=8·+n=6+n－6(－)n，T6·<，Tn≥7．選C． 4、已知0logbcosa>0． ∴ (s

10、ina)< (sina)< (cosa)即x

11、≥0，x－y≥0時，(一、四象限角平分線之間)：(a+b)x+(b－a)y=2ab； x+y≥0，x－y<0時，(一、二象限角平分線之間)：(b－a)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y≥0時，(三、四象限角平分線之間)：(a－b)x－(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y<0時，(二、三象限角平分線之間)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab． 四條直線在a≠b時圍成一個菱形(非正方形)．選D． 二、填空題(每小題9分，共54分) 1．已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-－1，1)和(2，2)，若直線l：x+my+m=0與

12、PQ的延長線相交，則m的取值范圍是 ． 解：即x+my+m=0與y=(x+1)+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)>2． ∴ x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．T－30，即f(t)在[－，]上單調(diào)增．∴ x=－2y． ∴ cos(x+2y)=1． 3．已知點(diǎn)集A={(x，y)|(x－3

13、)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，則點(diǎn)集A∩B中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為 ． 解：如圖可知，共有7個點(diǎn)，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點(diǎn)． 4．設(shè)0<θ<π，，則sin(1+cosθ)的最大值是 ． 解：令y= sin(1+cosθ) >0， 則y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3． ∴ y≤．當(dāng)tan=時等號成立． 5．已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于

14、α，則sinα= ． 解：12條棱只有三個方向，故只要取如圖中AA￠與平面AB￠D￠所成角即可．設(shè)AA￠=1，則A￠C=，A￠C⊥平面AB￠D￠，A￠C被平面AB￠D￠、BDC￠三等分．于是sinα=． 6．已知95個數(shù)a1，a2，a3，…，a95， 每個都只能取+1或－1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ． 解：設(shè)有m個+1，(95－m)個－1．則a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95 ∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(

15、a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0． 取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．為所求最小正值． . 第二試 一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且z－4z2=16+20i，設(shè)這個方程的兩個根α、β，滿足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值. 解：設(shè)m=a+bi(a，b∈R)．則△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．設(shè)△的平方根為u+vi．(u，v∈R) 即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]． |α－β|=2

16、，?|α－β|2=28，?|(4－a)+(5－b)i|=7，?(a－4)2+(b－5)2=72， 即表示復(fù)數(shù)m的點(diǎn)在圓(a－4)2+(b－5)2=72上，該點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最大值為7+，最小值為7－． 二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第1000項。 解：由105=3×5×7；故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有105×(1－)(1－)(1－)=48個。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個數(shù)是86． ∴ 所求數(shù)為2186。 三、(本題滿分35分) 如圖，設(shè)三角形

17、的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分線交圓O于E． 證明:(1) IO=AE； (2) 2R

18、∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R． 設(shè)∠OHI=α，則0<α<30°． ∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Rsin(α+45°) 又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2 R(+)/4=R(1+) 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個數(shù)記為m(

19、G)． (1)求m(G)的最小值m0． (2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色．證明存在一個染色方案,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形． 解：設(shè)G中分成的83個子集的元素個數(shù)分別為ni(1≤i≤83)，ni=1994．且3≤n1≤n2≤…≤n83． 則m(G)= C．即求此式的最小值． 設(shè)nk+1>nk+1．即nk+1－1≥nk+1．則C+ C－( C+ C)= C－C<0．這就是說，當(dāng)nk+1與nk的差大于1時，可用nk+1－1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的數(shù)不變．此時，m(G)的值變?。? 于是可知，只有當(dāng)各ni的值相差不超過1時，m(G)才能取得最小值． 1994=83×24+2．故當(dāng)81組中有24個點(diǎn)，2組中有25個點(diǎn)時，m(G)達(dá)到最小值． m0=81C+2C=81×2024+2×2300=168544． ⑵ 取5個點(diǎn)為一小組，按圖1染成a、b二色．這樣的五個小組，如圖2，每個小圓表示一個五點(diǎn)小組．同組間染色如圖1，不同組的點(diǎn)間的連線按圖2染成c、d兩色．這25個點(diǎn)為一組，共得83組．染色法相同．其中81組去掉1個點(diǎn)及與此點(diǎn)相連的所有線．即得一種滿足要求的染色．