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全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版22

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1、二零零二年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷 一試題 (2002年10月13日上午8:00—9:40) 一.選擇題(本小題滿分36分,每小題6分): 1.函數(shù)f(x)=log(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(3,+∞) 2.若實數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=142,則x2+y2的最小值為 A.2 B.1 C. D. 3.函數(shù)f(x)=- A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

2、B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 4.直線+=1與橢圓+=1相交于A、B兩點,該橢圓上點P,使得ΔPAB面積等于3.這樣的點P共有 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 5.已知兩個實數(shù)集合A={a1,a2,a3,…,a100},與B={b1,b2,…,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),則這樣的映射共有 A.C B.C C.C

3、 D.C 6.由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1;滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2,則 A.V1=V2 B.V1=V2 C.V1=V2 D.V1=2V2 二.填空題(本題滿分54分,每小題9分) 7.已知復(fù)數(shù)Z1、Z2滿足|Z1|=2,|Z2|=3,若它們所對應(yīng)的向量的夾角為60°,則= ; 8.將二項式的展開式按x 的降冪排列

4、,若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 個; 9.如圖,點P1、P2、…,P10分別是四面體頂點或棱的中點,那么在同一平面上的四點組(P1,Pi,Pj,Pk)(1

5、12.使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對于一切x?R恒成立的負數(shù)a的取值范圍是 ; 三.解答題(本題滿分60分,每小題20分): 13.已知點A(0,2)和拋物線y2=x+4上兩點B,C,使得AB⊥BC,求點C的縱坐標的取值范圍. 14.如圖,有一列曲線P0,P1,P2,…,已知P0是面積為1的等邊三角形,Pk+1是對Pk進行如下操作得到的:將Pk的每條邊三等分,以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形,再將中間部分的線段去掉(k=0,1,2,…).記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積. ⑴ 求數(shù)

6、列{Sn}的通項公式; ⑵ 求Sn. 15.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c?R,a≠0)滿足條件: ⑴ 當x?R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; ⑵ 當x?(0,2)時,f(x)≤; ⑶ f(x)在R上的最小值為0. 求最大的m(m>1),使得存在t?R,只要x?[1,m],就有f(x+t)≤x. 二試題 (本卷共三個大題,共150分,每題50分) 一.在ΔABC中,∠BAC=60°,AB>AC,點O為ΔABC的外心,兩條高BE、CF的交于點H,點M、N分別在線段BH與HF上,且滿足BM=CN. 求的值.

7、 二.實數(shù)a,b,c和正數(shù)λ使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個實根x1,x2,x3,且滿足 ⑴ x2-x1=λ; ⑵ x3>(x1+x2). 求的最大值. 三.在世界杯足球賽前,F(xiàn)國的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊員,準備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場,假設(shè)在比賽的任何時刻,這些隊員都有且只有一人在場上,并且A1、A2、A3、A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除,A5、A6、A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整

8、除.如果每場換人的次數(shù)不限,那么,按每名隊員上場的總時間計,共有多少種不同的情況? 2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 一試題 (2002年10月13日上午8:00—9:40) 一.選擇題(本小題滿分36分,每小題6分): 1.函數(shù)f(x)=log(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(3,+∞) 解:由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3. 在x∈(-∞,-1)時,u= x2-2x-3單調(diào)減,f(x)單調(diào)增;在x∈(3,+∞)時,u= x2-2x-3單調(diào)增,f(

9、x)單調(diào)減.故選A 2.若實數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=142,則x2+y2的最小值為 A.2 B.1 C. D. 解:令x+5=14cosθ,y-12=14sinθ,則x2+y2=196+28(5cosθ-12sinθ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1.選B. (亦可用幾何意義解:圓上點到原點距離平方的最小值) 3.函數(shù)f(x)=- A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)也不是偶函

10、數(shù) 解:f(x)定義域為(-∞,0)∪(0,+∞);f(x)-f(-x)= --+=-x=0. 即f(x)是偶函數(shù).選A. 4.直線+=1與橢圓+=1相交于A、B兩點,該橢圓上點P,使得ΔPAB面積等于3.這樣的點P共有 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解:直線與橢圓的交線長=5.直線方程3x+4y-12=0. 設(shè)點P(4cosθ,3sinθ). 點P與直線的距離d=, 當0≤θ≤時,d≤(-1),SABC≤6(-1)<3.即此時沒有三角形面積=3; 當<θ<2π時,d≤(+1),SAB

11、C≤6(+1).即此時有2個三角形面積=3.選B. 5.已知兩個實數(shù)集合A={a1,a2,a3,…,a100},與B={b1,b2,…,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),則這樣的映射共有 A.C B.C C.C D.C 解:不妨設(shè)b1≤b2≤…≤b50,在a1,a2,…,a100的每兩個數(shù)間有1個空檔,共99個空檔,其中任選49個空檔插入1條豎杠, 把a1,a2,…,a100分成50段,從前向后的第i段中的數(shù)映射到bi,即滿足要求. 共有C種插法,選D. 6.

12、由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1;滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2,則 A.V1=V2 B.V1=V2 C.V1=V2 D.V1=2V2 解:作平面y=h(0≤h≤4).與圖形⑴交于一個圓環(huán),圓環(huán)面積=π(42-x2)=π(16-4h); 與圖⑵交得一個圓環(huán),面積=π(16-h(huán)2)-π(4-(h-2)2)=π(16-h(huán)2-(-h(huán)2+4h))=π(16-4h). 說明該平面與兩個旋轉(zhuǎn)體截

13、得的面積相等.由祖暅原理知,V1=V2,選C. 二.填空題(本題滿分54分,每小題9分) 7.已知復(fù)數(shù)Z1、Z2滿足|Z1|=2,|Z2|=3,若它們所對應(yīng)的向量的夾角為60°,則= ; 解:由余弦定理知|Z1+Z2|==;|Z1-Z2|==, ∴==. 8.將二項式的展開式按x 的降冪排列,若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 個; 解:前三項系數(shù)為1,n,n(n-1),于是得n=1+n(n-1),解得,n=8,和n=1(舍去). 當n=8時,Tr+1=C()rx= C()rx,當r=0,4,8時x的指數(shù)為整數(shù),∴共有3個

14、. 9.如圖,點P1,P2,…,P10分別是四面體頂點或棱的中點,那么在同一平面上的四點組(P1,Pi,Pj,Pk)(1

15、+3)+2≥f(x+2)+3≥f(x+1)+4≥f(x)+5.比較前式得f(x+1)=f(x)+1. ∴ f(x)=x對一切x∈N*成立,∴ 對于x∈N*,g(x)=f(x)+1-x=x+1-x=1 ∴ g(2002)=1. 11.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,則|x|-|y|的最小值是 ; 解:x>-2y,x>2y,x2-4y2=4.由對稱性,只考慮x>0,y>0的情況. 令x=2secθ,y=tanθ,(0<θ<),u=x-y=表示點(0,2)與點(-cosθ,sinθ)連線的斜率,當直線與單位圓相切時,u最小為.即所求最小值為

16、. (或用判別式法解) 12.使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對于一切x?R恒成立的負數(shù)a的取值范圍是 ; 解:即(cosx-)2≤a2+()2,若(1-)2≤a2+()2,則a2+a-2≥0. ∴ a≤-2或a≥1,但a<0,故a≤-2. 三.解答題(本題滿分60分,每小題20分): 13.已知點A(0,2)和拋物線y2=x+4上兩點B,C,使得AB⊥BC,求點C的縱坐標的取值范圍. 解:設(shè)B(y02-4,y0),C(y12-4,y1).則 kAB==.kBC==. 由kAB·kBC=-1,得(y1+y0)(y0+

17、2)=-1. ∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0. ∴ △=(y1+2)2-4(2y1+1)=y12-4y1≥0, ∴ y1≤0,y1≥4. 當y1=0時,得B(-3,-1),當y1=4時,得B(5,-3)均滿足要求,故點C的縱坐標的取值范圍是(-∞,0]∪[4,+∞). 14.如圖,有一列曲線P0,P1,P2,…,已知P0是面積為1的等邊三角形,Pk+1是對Pk進行如下操作得到的:將Pk的每條邊三等分,以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形,再將中間部分的線段去掉(k=0,1,2,…).記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積. ⑴ 求數(shù)列{Sn}的通項公式; ⑵ 求

18、Sn. 解:⑴ 對P0操作后,每條邊變?yōu)?條邊,共有4×3條邊;對P1操作,也是每條邊變?yōu)?條邊,故P2共有42×3條邊,即Pk有3×4k條邊. S0=1,S1=S0+3×=1+,S2=S1+4×3×=1++;S3=1+++; 依此類推,得Sk=1+++…+=1+·=1+[1-()k]= -()k. 用數(shù)學(xué)歸納法易證上式正確. ⑵ Sn=. 15.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c?R,a≠0)滿足條件: ⑴ 當x?R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; ⑵ 當x?(0,2)時,f(x)≤; ⑶ f(x)在R上的最小值為0. 求最大的m(m>1),

19、使得存在t?R,只要x?[1,m],就有f(x+t)≤x. 解:由f(x-4)=f(2-x),知f(x)關(guān)于x=-1對稱.于是-=-1.Tb=2a.此時,f(x)有最小值0, ∴ a-b+c=0.Tc=a.f(x)=ax2+2ax+a. 由⑴ f(1)=4a≥1.由⑵ 4a≤1.∴ a=c=,b=.f(x)= (x+1)2. 若對于x∈[1,m],f(x+t)-x≤0,Tf(1+t)-1=(t+2)2-1≤0,得-4≤t≤0. f(m+t)-m≤0,Tm2+2(t-1)m+(t+1)2≤0.解得-(t-1)-2≤m≤-(t-1)+2. ∴m≤1-t+2≤9. 而當t=-4時,f(

20、x-4)-x=(x2-10x+9)= (x-1)(x-9)在x∈[1,9]時,恒有f(x-4)-x≤0成立. ∴ m的最大值為9. 二試題 (本卷共三個大題,共150分,每題50分) 一.在ΔABC中,∠BAC=60°,AB>AC,點O為ΔABC的外心,兩條高BE、CF的交于點H,點M、N分別在線段BH與HF上,且滿足BM=CN. 求 的值. 解:記∠ACB=α,連OB、OC,則∠BOC=∠BHC=120°, ∴ B、O、H、C四點共圓.設(shè)此圓的半徑為R', 則2R'= ==2R. HM+NH=(BH-BM)+(CN-CH)=BH-CH. 在ΔBCH中,∠CBH=90°

21、-α.∠HCB=90°-(120°-α)=α-30°, ∴HM+NH=BH-CH=2R(sin(α-30°)-sin(90°-α))=2R(sinαcos30°-cosαsin30°-cosα) =2Rsin(α-60°). 在ΔOCH中,OH=2Rsin∠HCO=2Rsin(α-30°-30°)=2Rsin(α-60°). ∴ =. 二.實數(shù)a,b,c和正數(shù)λ使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個實根x1,x2,x3,且滿足 ⑴ x2-x1=λ; ⑵ x3>(x1+x2). 求的最大值. 解:設(shè)x1=m-λ,x2=m+λ,x3=m+k (k>λ). a=-

22、(x1+x2+x3)=-(3m+k); b=x1x2+x1x3+x2x3=3m2+2mk-λ2; c=-x1x2x3=-m3-m2k+λ2m+λ2k. 則2a3+27c-9ab=-3(m+k)3+27(-m3-m2k+λ2m+λ2k)+9(3m+k)(3m2+2mk-λ2) =-2k3+λ2k. 令=t,則 (2a3+27c-9ab)=-2t3+t.取g(t)=-2t3+t. 則g'(t)=-6t2+,g"(t)=-12t. 令g'(t)=0,得t=±,而當t=時g"(t)<0. ∴ 當t=時,g(t)取得最大值g()=-2()3+()=. 若取λ=1,此時得,k=

23、. 令a=0,得m=-,代入b、c的表達式得b=-,c= 此時得f(x)=x3-x+滿足題意. 三.在世界杯足球賽前,F(xiàn)國的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊員,準備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場,假設(shè)在比賽的任何時刻,這些隊員都有且只有一人在場上,并且A1、A2、A3、A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除,A5、A6、A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除.如果每場換人的次數(shù)不限,那么,按每名隊員上場的總時間計,共有多少種不同的情況? 解:設(shè)各人上場時間分別為7t1,7t2,7t3,7t4,13t5,13t6,1

24、3t7,(ti為正整數(shù)). 得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3. 令t1+t2+t3+t4=x,t5+t6+t7=y,得方程7x+13y=270.即求此方程滿足4≤x≤38,3≤y≤20的整數(shù)解. 即6y≡4(mod 7),3y≡2(mod 7),y≡3(mod 7) ∴ y=3,10,17,相應(yīng)的x=33,20,7. t5+t6+t7=3的解只有1種,t5+t6+t7=10的解有C種,t5+t6+t7=17的解有C種; t1+t2+t3+t4=33的解有C種,t1+t2+t3+t4=20的解有C種,t1+t2+t3+t4=7的解有C種. ∴ 共有1·C+ C·C+ C·C=42244種.

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