《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版3（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 第一試 1．選擇題(本題滿分32分，每題答對者得4分，答錯(cuò)者得0分，不答得1分) ⑴ 設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么 A．甲是乙的充分而非必要條件 B．甲是乙的必要而非充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 ⑵ x=+的值是屬于區(qū)間 A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) ⑶ 已知等腰三角形ABC的底邊BC及高AD的長都是整數(shù)，

2、那么，sinA和cosA中 A．一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無理數(shù) B．兩個(gè)都是有理數(shù) C．兩個(gè)都是無理數(shù) D．是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)BC和AD的數(shù)值來確定 ⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要條件是 A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)≥1 D．0

3、．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D．－≤f(3)≤ ⑹ 設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)， P=+，Q=·，那么 A．P≥Q B．P≤Q C．P

4、 D．5個(gè) ⑻ 任意△ABC，設(shè)它的周長、外接圓半徑長與內(nèi)切圓半徑長分別為l、R與r，那么 A．l>R+r B．l≤R+r C．

5、 ． 第二試 1．(本題滿分8分)求證：arc sinx+arc cosx= ，其中x∈[－1，1] 2．(本題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1)．如果對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求證：|f(x1)－f(x2)|< ． 3．(本題滿分16分) 在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面積比是3∶4∶1，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三點(diǎn)共線．求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn)．

6、 4. (本題滿分16分)在在六條棱長分別為2，3，3，4，5，5的所有四面體中，最大體積是多少？證明你的結(jié)論． 5．(本題滿分18分) 函數(shù)F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B| 在 0≤x≤π上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān)，問A、B取什么值時(shí)，M為最小？證明你的結(jié)論． 1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 1．選擇題(本題滿分32分，每題答對者得4分，答錯(cuò)者得0分，不答得1分) ⑴ 設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么 A．甲是乙的充分

7、而非必要條件 B．甲是乙的必要而非充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q與p－q的奇偶性相同． ∴ p+q為偶數(shù)，Tp－q為偶數(shù)，Tp3－q3為偶數(shù)． p+q為奇數(shù)，Tp、q一奇一偶，Tp3－q3為奇數(shù)．故選C． ⑵ x=+的值是屬于區(qū)間 A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) 解：x=log32+log35=log3

8、10∈(2，3)，選D． ⑶ 已知等腰三角形ABC的底邊BC及高AD的長都是整數(shù)，那么，sinA和cosA中 A．一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無理數(shù) B．兩個(gè)都是有理數(shù) C．兩個(gè)都是無理數(shù) D．是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)BC和AD的數(shù)值來確定 解：tan為有理數(shù)，TsinA、cosA都是有理數(shù)．選B． ⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要條件是 A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)≥1 D．0

9、 解：M∩N=N的充要條件是圓x2+(y－a)2≤1在拋物線y=x2內(nèi)部(上方)．即a≥1，且方程 y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，Ta≥1，選A． ⑸ 已知函數(shù)f(x)=ax2－c，滿足 －4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5． 那么，f(3)應(yīng)滿足 A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D．－≤f(3)≤ 解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)， ∴ λ+4μ=9，λ+μ

10、=1．∴ λ=－，μ=．即f(3)=－f(1)+ f(2)． 但≤－f(1)≤，－≤f(2)≤， ∴－1≤－f(1)+ f(2)≤20.．選C． ⑹ 設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)， P=+，Q=·，那么 A．P≥Q B．P≤Q C．P

11、個(gè)數(shù)有 A．9個(gè) B．17個(gè) C．1個(gè) D．5個(gè) 解：如圖，以正方形的頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑作4個(gè)圓，其8個(gè)交點(diǎn)滿足要求，正方形的中心滿足要求，共有9個(gè)點(diǎn)．選A． ⑻ 任意△ABC，設(shè)它的周長、外接圓半徑長與內(nèi)切圓半徑長分別為l、R與r，那么 A．l>R+r B．l≤R+r C．

12、題滿分18分，每小題6分) ⑴ 在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于 ． 解：cosA=±，sinB=，但若cosA=－，則A>135°，cosB=60°，矛盾．故cosA=． ∴ cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－·+·=． ⑵ 三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形，共有 個(gè)． 解：設(shè)另兩邊為x，y，且x≤y．則得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作直線y=x，y=11，x=11，x+y=11，則所求三角形數(shù)等于由此四條直線圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)．(含y=11

13、，y=x上的整點(diǎn)，不含x+y=11上的整點(diǎn))共有122÷4=36個(gè)．即填36． ⑶ 一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長為a的正三角形，這樣兩個(gè)多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么積m?n是 ． 解：此六面體可看成是由兩個(gè)正四面體粘成．每個(gè)正四面體的高h(yuǎn)1=a，于是，利用體積可得Sh1=3Sr1，r1=a． 同樣，正八面體可看成兩個(gè)四棱錐粘成，每個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)2=a，又可得 a2h2=4×a2r2，r2=a． ∴ =，∴ m?n=6． 第二試 1．(本題滿分8分)求證：arc sinx+arc cosx=，其中x∈[－1，1] 證

14、明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx與arccosx有意義， sin(－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴ －arccosx∈[－，]． 故根據(jù)反正弦定義，有arcsinx=－arccosx．故證． 2．(本題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1)．如果對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求證：|f(x1)－f(x2)|<． 證明：不妨取0≤x1，

15、則x2－x1>,于是1－(x2－x1)<,即1－x2+x1－0<． 而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1－0|+|1－x2| =1－x2+x1－0<．故證. 3．(本題滿分16分) 在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面積比是3∶4∶1，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三點(diǎn)共線．求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn)． 證明 設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶ND=r(r>

16、0)， 則AM∶MC=r． 由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD =3∶4． 從而AE∶EC∶AC=3∶4∶7． SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，∴DB∶BE=7∶1． AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=AC，AE=AC， ∴EM=(－)AC=AC．MC=AC， ∴EM∶MC=．由Menelaus定理，知··=1，代入得 r·7·=1，即4r2－3r－1=0，這個(gè)方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N為CN中點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)． 4. (本題滿分16分)在在六條棱長分別為2，3，3，4，5，5的所有四面體中，

17、最大體積是多少？證明你的結(jié)論． 解：邊長為2的三角形，其余兩邊可能是： ⑴ 3，3；⑵ 3，4；⑶ 4，5；⑷ 5，5． 按這幾條棱的組合情況，以2為公共棱的兩個(gè)側(cè)面可能是： ① ⑴，⑷；② ⑴，⑶；③ ⑵，⑷． 先考慮較特殊的情況①：由于32+42=52，即圖中AD⊥平面BCD， ∴ V1=··2·4=； 情況②：由于此情況的底面與情況②相同，但AC不與底垂直，故高<4，于是得 V2

18、0≤x≤π上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān)，問A、B取什么值時(shí)，M為最?。孔C明你的結(jié)論． 解：F(x)=| sin(2x+ )+Ax+B|．取g(x)= sin(2x+ )，則g()=g()=．g()=－． 取h(x)=Ax+B，若A=0，B≠0，則當(dāng)B>0時(shí)，F(xiàn)()>，當(dāng)B<0時(shí)，F(xiàn)()<．從而M> ． 若A≠0，則當(dāng)h()<0時(shí)，F(xiàn)()>，當(dāng)h()≥0時(shí)，由于h(x)是一次函數(shù)，當(dāng)A>0時(shí)h(x)遞增，h()>h()>0，此時(shí)F()>；當(dāng)A<0時(shí)h(x)遞減，h()>h()>0，此時(shí)F()>．故此時(shí)M> ． 若A=B=0，顯然有M= ． 從而M的最小值為，這個(gè)最小值在A=B=0時(shí)取得．