《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版42》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版42（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷 (2005年10月16日上午8∶00－9∶40) 一、選擇題： 1．使關(guān)于x的不等式+≥k有解的實(shí)數(shù)k的最大值是 ( ) A．－ B． C．+ D． 2．空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．則·的取值( ) A．只有一個(gè) B．有二個(gè) C．有四個(gè) D．有無(wú)窮多個(gè) 3．△ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于A1、B1、C1，則

2、的值為 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 4．如圖，ABCD－A￠B￠C￠D￠為正方體，任作平面α與對(duì)角線AC￠垂直，使得α與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則 ( ) A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值 C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值 5．方程+＝

3、1表示的曲線是 ( ) A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 6．記集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，將M中的元素按從大到小排列，則第2005個(gè)數(shù)是 ( ) A．+++ B．+++ C．+++ D．+++ 二、填空題： 7．將關(guān)于x?的

4、多項(xiàng)式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19?+x20表為關(guān)于y的多項(xiàng)式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，則a0+a1+…+a20＝ ； 8．已知f(x)是定義在(0，+∞)上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，則a的取值范圍是 ； 9．設(shè)α、β、γ滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若對(duì)于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，則γ－α＝ ； 10．如圖，四面體DABC的體積為，且滿足∠ACB＝45°，AD+B

5、C+＝3，則CD＝ ； 11．若正方形ABCD的一條邊在直線y＝2x－17上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y＝x2上，則該正方形面積的最小值為 ； 12．如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”．將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，則a5n＝ ． 三、解答題： 13．?dāng)?shù)列{an}滿足a0＝1，an+1＝，n∈N， 證明：⑴ 對(duì)任意n∈N，an為正整數(shù)； ⑵ 對(duì)任意n∈N，anan+1－1為完全平方數(shù)． 14．將編號(hào)為1，2，3，…，9

6、的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各放一個(gè)小球，設(shè)圓周上所有相鄰兩個(gè)球號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S，求使S達(dá)到最小值的放法的概率．(注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法) 15．過(guò)拋物線y＝x2上一點(diǎn)A(1，1)作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足＝λ1；點(diǎn)F在線段BC上，滿足＝λ2，且λ1+λ2＝1，線段CD與EF交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程． 加試卷 一、如圖，在△ABC中，設(shè)AB＞AC，過(guò)點(diǎn)A作△ABC的外接圓的切線l，又以點(diǎn)A為圓心，AC為

7、半徑作圓分別交線段AB于點(diǎn)D；交直線l于點(diǎn)E、F． 證明：直線DE、DF分別通過(guò)△ABC的內(nèi)心與一個(gè)旁心． 二、設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函數(shù)f(x，y，z)＝++的最小值． 三、對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義函數(shù)f(n)＝(其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，{x}＝x－[x])．試求f(k)的值． 嗚呼！不怕繁死人，就怕繁不成！ 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷 (2005年10月16日上午8∶00－9∶40) 一、選擇題： 1．使關(guān)于x的不等式+≥k有解的實(shí)數(shù)k的最大值是

8、 ( ) A．－ B． C．+ D． 選D． 解：3≤x≤6，令＝sinα(0≤α≤)，則x＝3+3sin2α，＝cosα． 故≥(sinα+cosα)≥．故選D． 2．空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．則·的取值( ) A．只有一個(gè) B．有二個(gè) C．有四個(gè) D．有無(wú)窮多個(gè) 選A． 解：+++＝． DA2＝2＝(++)2＝AB2+BC2+CD2+2(·+·+·) ＝AB2+BC2+CD2+2(·+·

9、－2)，(其中+＝，＝－) ＝AB2+BC2+CD2－2BC2+2(·)． 故2·＝DA2+BC2－AB2－CD2＝92+72－32－112＝0T·＝0．選A． 3．△ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于A1、B1、C1，則的值為 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 選A． 解：AA1·cos＝2sin(B+)cos＝sin(A+B)+sinB＝sinC+sinB．

10、 AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos＝2(sinA+sinB+sinC)．故原式＝2．選A． 4．如圖，ABCD－A￠B￠C￠D￠為正方體，任作平面α與對(duì)角線AC￠垂直，使得α與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則 ( ) A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值 C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值 選B． 解：設(shè)截面在底面內(nèi)的射影為EFBGHD，設(shè)AB＝1，AE＝x(0≤x≤)，則 l＝3[x+(1－x)]＝3為定值； 而S＝[1－

11、x2－(1－x)2]secθ＝(－x－x2)secθ(θ為平面α與底面的所成角)不為定值．故選B． 5．方程+＝1表示的曲線是 ( ) A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 選C． 解：由于+＞πT＞－＞－＞0Tcos(－)＜cos(－)Tsin－sin＞0； 又，0＜＜c＜πTcos－cos＞0，T曲線為橢圓． sin－sin－(cos－cos)＝[sin(－)－sin(－)]．而0＜－＜－＜T si

12、n－sin＜cos－cosT焦點(diǎn)在y軸上．故選C． 6．記集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，將M中的元素按從大到小排列，則第2005個(gè)數(shù)是 ( ) A．+++ B．+++ C．+++ D．+++ 選C． 解：M＝{(a1×73+a2×72+a3×7+a4)| ai∈T，i＝1，2，3，4}，a1×73+a2×72+a3×7+a4可以看成是7進(jìn)制數(shù)，(a1a2a3a4)7，其最大的數(shù)為(6666)7＝74－1＝24

13、00． 從而從大到小排列的第2005個(gè)數(shù)是2400－2004＝396，即從1起從小到大排的第396個(gè)數(shù)， 396＝73+72+4T(1104)7，故原數(shù)為+++．故選C． 二、填空題： 7．將關(guān)于x?的多項(xiàng)式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19?+x20表為關(guān)于y的多項(xiàng)式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，則a0+a1+…+a20＝ ； 填 解：f(x)＝a0+a1(x－4)2+a2(x－4)2+…+a20(x－4)20．令x＝5得f(5)＝1－5+52－53+…－519+520＝＝＝a0+a1+

14、…+a20． 8．已知f(x)是定義在(0，+∞)上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，則a的取值范圍是 ； 填(0，)∪(1，5)． 解：Ta∈(－∞，)∪(1，+∞)． 2a2+a+1＞3a2－4a+1Ta2－5a＜0T0＜a＜5． 故所求取值范圍為(0，)∪(1，5)． 9．設(shè)α、β、γ滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若對(duì)于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，則γ－α＝ ； 填π． 解：由f(x)≡0，得f(－α)＝f(－β)＝f(－γ)＝0： cos (β－α

15、)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1． 故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－， 由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{π，π}．從而γ－α＝π． 10．如圖，四面體DABC的體積為，且滿足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，則CD＝ ； 填． 解：V＝×AC×BCsin45°×h≤AC×BC×ADsin45°． 即AC×BC×ADsin45°≥1T×BC×AD≥1． 而3＝AD+BC+≥3＝3，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)AD＝BC＝＝1時(shí)成立， 故AC＝，且AD＝BC

16、＝1，AD⊥面ABC．TCD＝． 11．若正方形ABCD的一條邊在直線y＝2x－17上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y＝x2上，則該正方形面積的最小值為 ； 填80． 解：設(shè)正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在拋物線上，C、D在直線上． 設(shè)直線AB方程為y＝2x+b， ⑴ 求AB交拋物線y＝x2的弦長(zhǎng)：以y＝2x+b代入y＝x2，得 x2－2x－b＝0． △＝4+4bTl＝2． ⑵ 兩直線的距離＝． ⑶ 由ABCD為正方形得，2＝T100(b+1)＝b2+34b+289Tb2－66b+189＝0． 解得b＝3，b＝63． 正方形邊長(zhǎng)＝4或16T正方形

17、面積最小值＝80． 12．如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”．將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，則a5n＝ ． 填52000． 解：一位的吉祥數(shù)有7，共1個(gè)； 二位的吉祥數(shù)有16，25，34，43，52，61，70，共7個(gè)； 三位的吉祥數(shù)為x1+x2+x3＝7的滿足x1≥1的非負(fù)整數(shù)解數(shù)，有C＝28個(gè)(也可枚舉計(jì)數(shù))． 一般的，k位的吉祥數(shù)為x1+x2+…+xk＝7的滿足x1≥1的非負(fù)整數(shù)解數(shù)，令xi￠＝xi+1(i＝2，3，…，k)，有x1+x2￠+…+xk￠＝7+k－1．共有解C＝C組．

18、4位吉祥數(shù)中首位為1的有28個(gè)，2005是4位吉祥數(shù)中的第29個(gè)．故n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325． C+C+C+C+C＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥數(shù)的倒數(shù)第6個(gè)： 5位吉祥數(shù)從大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…． 三、解答題： 13．?dāng)?shù)列{an}滿足a0＝1，an+1＝，n∈N， 證明：⑴ 對(duì)任意n∈N，an為正整數(shù)； ⑵ 對(duì)任意n∈N，anan+1－1為完全平方數(shù)． 證明：⑴ a1＝5，且an單調(diào)遞增． 所給式即 (2an+1－7an)2＝45a－36Ta－7an+1an+a

19、+9＝0． ① 下標(biāo)加1： a－7an+2an+1+a+9＝0． ② 相減得： (an+2－an)(an+2－7an+1+an)＝0． 由an單調(diào)增，故an+2－7an+1+an＝0Tan+2＝7an+1－an． ③ 因a0、a1為正整數(shù)，且a1＞a0，故a2為正整數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法，可知，對(duì)任意n∈N，an為正整數(shù)． ⑵ 由①：a+2an+1an+a＝9(an+1an－1)Tan+1an－1＝()2 ④ 由于an為正

20、整數(shù)，故an+1an－1為正整數(shù)，從而()2為正整數(shù)．但an、an+1均為正整數(shù)，于是必為有理數(shù)，而有理數(shù)的平方為整數(shù)時(shí)，該有理數(shù)必為整數(shù)，從而是整數(shù)．即an+1an－1是整數(shù)的平方，即為完全平方數(shù)．故證． 原解答上有一段似無(wú)必要：記f(n)＝an+1an－()2， 則f(n)－f(n－1)＝(an+1an－anan－1)－(2an+an+1+an－1)(an+1－an－1)＝(an－1－an+1)(an+1－7an+an－1)＝0．即 f(n)＝f(n－1)＝…＝f(0)＝1，故④式成立． 故anan+1－1為完全平方數(shù)． 又證：由上證，得③式后：an+2－7an+1+an＝0．

21、 特征方程為 x2－7x+1＝0． 解得： x＝＝＝． 令 an＝α+β．由a0＝1，a1＝5解得 α＝，β＝； 得 an＝[+] ⑤ 注意到·＝1，+＝． 有， anan+1－1＝[+]·[+]－1 ＝[+++－5] ＝[+]2 由二項(xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法知+為k型數(shù)(k∈N*)，故anan+1－1為完

22、全平方數(shù)． (用數(shù)學(xué)歸納法證明：n＝0時(shí)，+＝2． 設(shè)當(dāng)n≤m(m∈N*)時(shí)，+＝kn(kn∈N*)，且k1＜k2＜…＜km． +＝[+]·[+]－[+]． ＝7km－km－1＝(7km－km－1)．由歸納假設(shè)知km+1＝7km－km－1∈N*，且km＜km+1成立． 得證． 14．將編號(hào)為1，2，3，…，9的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各放一個(gè)小球，設(shè)圓周上所有相鄰兩個(gè)球號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S，求使S達(dá)到最小值的放法的概率．(注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法) 解：9個(gè)有編號(hào)的小球放在圓周的九個(gè)九等分點(diǎn)上，考慮

23、鏡面反射的因素，共有種放法； 為使S取得最小值，從1到9之間應(yīng)按增序排列： 設(shè)從1到9之間放了k個(gè)球，其上的數(shù)字為x1，x2，…，xk，則|1－x1|+|x1－x2|+…+|xk－9|≥|1－x1+x1－x2+…+xk－9|＝8．當(dāng)且僅當(dāng)1－x1、x1－x2、…、xk－9全部同號(hào)時(shí)其和取得最小值，即1，x1，x2，…，xk，9遞增排列時(shí)其和最?。蔛≥2×8＝16． 當(dāng)S取得最小值時(shí)，把除1、9外的7個(gè)元素分成兩個(gè)子集，各有k及7－k個(gè)元素，分放1到9的兩段弧上，分法總數(shù)為C+C+…+C種，考慮鏡面因素，共有64種方法． 所求概率P＝＝． 15．過(guò)拋物線y＝x2上一點(diǎn)A(1，1)

24、作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足＝λ1；點(diǎn)F在線段BC上，滿足＝λ2，且λ1+λ2＝1，線段CD與EF交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y＝2x－1．交y軸于點(diǎn)B(0，－1)．AB與x軸交于點(diǎn)D(，0)．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為C(x0，y0)，＝λ，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)． 由＝λ1T＝1+λ1，同理，＝1+λ2； 而、、成等差數(shù)列(過(guò)A、B作CD的平行線可證)． 得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝．從而點(diǎn)P為△ABC的重心． x＝，y＝．y0＝x． 解得x0＝3x－1，y0＝3y，代入y0＝x

25、得，y＝(3x－1)2． 由于x0≠1，故x≠．所求軌跡方程為y＝(3x－1)2(x≠)． 又解：過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y＝2x－1．交y軸于點(diǎn)B(0，－1)．AB與x軸交于點(diǎn)D(，0)．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為C(t，t2)， CD方程為＝，即y＝(2x－1)． 點(diǎn)E、F坐標(biāo)為E(，)；F(，)．從而得EF的方程為： ＝． 化簡(jiǎn)得：[(λ2－λ1)t－(1+λ2)]y＝[(λ2－λ1)t2－3]x+1+t－λ2t2． ① 當(dāng)t≠時(shí)，直線CD方程為： y＝ ② 聯(lián)立①、②解得消去t，得點(diǎn)P的軌跡方程為y＝(3x

26、－1)2． 當(dāng)t＝時(shí)，EF方程為：－y＝(λ2－λ1－3)x+－λ2，CD方程為：x＝，聯(lián)立解得點(diǎn)(，)，此點(diǎn)在上述點(diǎn)P的軌跡上， 因C與A不能重合，故t≠1，x≠． 故所求軌跡為 y＝(3x－1)2 (x≠)． 加試卷 一、如圖，在△ABC中，設(shè)AB＞AC，過(guò)點(diǎn)A作△ABC的外接圓的切線l，又以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于點(diǎn)D；交直線l于點(diǎn)E、F． 證明：直線DE、DF分別通過(guò)△ABC的內(nèi)心與一個(gè)旁心． 證明：連DC、DE，作∠BAC的平分線交DE于點(diǎn)I，交CD于G． 由AD＝AC，∠DAI＝∠CAI，AI＝AIT△ADI≌△ACI． 故∠ADI

27、＝∠ACI， 但∠FAD＝∠ACB(弦切角)；∠FAD＝2∠ADE(等腰三角形頂角的外角) 所以∠FAD＝2∠ACIT∠ACB＝2∠ACI，即CI是∠ACB的平分線． 故點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心． 連FD并延長(zhǎng)交AI延長(zhǎng)線于點(diǎn)I￠，連CI￠． 由于AD＝AE＝AFT∠EDF＝90°T∠IDI￠＝90°． 而由△ADI≌△ACI知，∠AID＝∠AICT∠DII￠＝∠CII￠，又ID＝IC，II￠為公共邊．故△IDI￠≌△ICI￠，T∠ICI￠＝90°．由于CI是∠ACB的平分線，故CI￠是其外角的平分線，從而I￠為△ABC的一個(gè)旁心． 又證：⑴ 連DE、DC，作∠BAC的平分線分別交D

28、E于I，DC于G，連IC，則由AD＝AC，得AG⊥DC，ID＝IC． 又D、C、E在⊙A上，故∠IAC＝∠DAC＝∠IEC．故A、I、C、E四點(diǎn)共圓． 所以∠CIE＝∠CAE＝∠ABC，而∠CIE＝2∠ICD，故∠ICD＝∠ABC． 所以，∠AIC＝∠IGC+∠ICG＝90°+∠ABC，所以∠ACI＝∠ACB．故I為△ABC的內(nèi)心． ⑵ 連FD并延長(zhǎng)交∠ABC的外角平分線于I1，連II1，BI1、BI，則由⑴知，I為△ABC的內(nèi)心，故∠IBI1＝90°＝∠EDI1．故D、B、I1、I四點(diǎn)共圓． 故∠BII1＝∠BDI1＝90°－∠ADI＝(∠BAC+∠ADG)－∠ADI＝∠BAC+∠

29、IDG，故A、I、I1共線．所以，I1是△ABC的BC邊外的旁心． 二、設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函數(shù)f(x，y，z)＝++的最小值． 解：解方程組：得，由于x、y、z為正數(shù)，故T即以a、b、c為邊可以構(gòu)成銳角三角形．記邊a、b、c的對(duì)角分別為∠A、∠B、∠C． 則cosA＝x，cosB＝y(tǒng)，cosC＝z．(A、B、C為銳角) f(x，y，z)＝f(cosA，cosB，cosC)＝++． 令u＝cotA，v＝cotB，w＝cotC，則u，v，w∈R+，且uv+vw+wu＝1． 于是，(u+v)(u+w)＝u2+uv+uw+

30、vw＝u2+1．同理，v2+1＝(v+u)(v+w)，w2+1＝(w+u)(w+v)． cos2A＝sin2Acot2A＝＝，所以，＝＝＝ ＝u2－＝u2－≥u2－(+)． 同理≥v2－(+)，≥w2－(+)． 于是f≥u2+v2+w2－(++) ＝u2+v2+w2－(u2－uv+v2+v2－vw+w2+w2－wu+u2) ＝(uv+vw+wu)＝(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)u＝v＝w，即a＝b＝c，x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)成立．) 故知[f(x，y，z)]min＝． 又證：由約束條件可知 故 得，f(x，y，z)＝． ⑴ 顯然有a+b

31、－c＞0，a－b+c＞0，－a+b+c＞0．由Cauchy不等式有， ·[bc(b+c－a)+ca(c+a－b)+ab(a+b－c)]≥(a2+b2+c2)2． 故f(x，y，z)≥ ＝·． 下面證明≥1．即證 a4+b4+c4≥a3b+a3c+b3c+b3a+c3a+c3b－(a+b+c)abc． ⑵ 由于，a4－a3b－a3c+a2bc＝a2(a2－ab－ac－bc)＝a2(a－b)(a－c)．故⑵式即 a2(a－b)(a－c)+b2(b－a)(b－c)+c2(c－a)(c－b)≥0． 不妨設(shè)a≥b≥c．則 a2(a－b)(

32、a－c)+b2(b－a)(b－c)≥a2(a－b)(b－c)－b2(a－b)(b－c)＝(a2－b2)(a－b)(b－c)≥0， 又，c2(c－a)(c－b)≥0 于是a2(a－b)(a－c)+b2(b－a)(b－c)+ c2(c－a)(c－b)≥0成立．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)成立． 所以，f(x，y，z)≥，且f(，，)＝． 又證：令p＝(a+b+c)，⑴式即f(x，y，z)＝(由Cauchy不等式) ≥·＝·． 而a2+b2+c2＝2(p2－4Rr－r2)，ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2，abc＝4Rrp．(*) 故，f(x，y，z)≥·＝·． 而≥p

33、2?p4+16R2r2+r4－8p2Rr－2p2r2+8Rr3≥p4－8p2Rr+p2r2 ?16R2+8Rr+r2≥3p2?4R+r≥p． (**) 最后一式成立．故得結(jié)論． 關(guān)于(*)式：由△＝rp，得 r2＝＝＝ ＝＝； ① 又由△＝，得4Rr＝．故4Rr+r2＝－p2+(ab+bc+ca)． 就是 ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2； a2+b2+c2＝(a+b+c)2－2(ab+bc+ca)＝4p2－2p2

34、－8Rr－2r2＝2(p2－4Rr－r2)； abc＝4R△＝4Rrp． 關(guān)于(**)式：由r＝4Rsinsinsin，故 4R+r＝4R+4Rsinsinsin＝4R+4R(cosA+cosB+cosC－1)＝R(3+ cosA+cosB+cosC) ＝2R(cos2+cos2+cos2)． 而p=RsinA+RsinB+RsinC＝4R coscoscos． 故4R+r≥p?cos2+cos2+cos2≥2coscoscos． 又cos2+cos2+cos2≥3，而3≥2coscoscos ?≤? coscoscos≥? sin

35、A+sinB+sinC≤3sin．(由琴生不等式可證) 三、對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義函數(shù)f(n)＝(其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，{x}＝x－[x])．試求f(k)的值． 解：對(duì)于任意n(n不是完全平方數(shù))，存在k，滿足k2＜n＜(k+1)2，則1≤n－k2≤2k．此時(shí)＝k+{}． ＝＝＝． 由于2k＜2k+{}＜2k+1．故＜＜．從而在與之間沒(méi)有整數(shù)．即=．若記n－k2＝i(i＝1，2，…，2k)，又240＝152+15． 于是，f(k)＝+．由于k＜i≤2k時(shí)＝1故＝k．于是 f(k)＝+k＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+

36、96)+105＝768． 即所求值為768． 又解：為計(jì)算，畫(huà)一2k×2k的表格，在第i行中，凡i的倍數(shù)處填寫(xiě)*號(hào)，則這行的*號(hào)共有個(gè)，全表共有個(gè)．另一方面，第j列中的*號(hào)個(gè)數(shù)等于j的約數(shù)的個(gè)數(shù)T(j)，從而全表中的*號(hào)個(gè)數(shù)等于T(j)．故＝T(j)．以2k＝6為例： j i 1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 4 * 5 * 6 * 故f(a)＝T(j)＝n[T(1)+T(2)]+(n－1)[T(3)

37、+T(4)]+…+[T(2n－1)+T(2n)]． ③ 由此，f(k)＝(16－k)[T(2k－1)+T(2k)] ④ 記an＝T(2k－1)+T(2k)．可得ak的取值如下表(k＝1，2，…15)： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 f(k)＝(16－k)ak＝783． ⑤ 又當(dāng)k∈{241，242，…，255}時(shí)，設(shè)k＝152+r(r＝16，17，…30)．則 －15＝－15＝，從而＜＜，于是1≤＜＜＜2． 故，＝1，k∈{241，242，…，255}，又f(256)＝0， 所以f(k)＝783－15＝