11、,每小題6分)
⑴ 在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若角A、B、C的大小成等比數(shù)列,且b2-a2=ac,則角B的弧度為等于 .
解:由余弦定理,b2-a2=c2-2accosB.故ac=c2-2accosB.即a=c-2acosB.TsinA=sin(A+B)-2sinAcosB.=sin(B-A).
∴ 由b>a,得B>A.TA=B-A,TB=2A,C=4A.
或A+B-A=π(不可能)
∴ B=π.
⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負(fù)整數(shù)解共有 組.
解:x1=1時(shí),x2
12、+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1,共有9解;
x1=0時(shí),x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3,共有9+A+C=9+72+84=165解.
∴ 共有174解.
⑶ 在已知數(shù)列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相鄰若干個(gè)數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 .
解:把這些數(shù)mod 11得1,4,-3,-1,5,-3,-1,3,-3,-1.
依次累加,得:1,5,2,1,6,3,2,5,2,1.其中相等的和有7對(duì)(3對(duì)1,3對(duì)2,1對(duì)5),這表示原數(shù)列中共有7組相鄰數(shù)之和能被11整除.
⑷ 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,
13、y,定義運(yùn)算x*y為x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c為常數(shù),等式右端中的運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)加法、乘法運(yùn)算.現(xiàn)已知1*2=3,2*3=4,并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有x*d=x,則d= .
解:ax+bd+cxd=x.取x=0,代入得,bd=0,但d≠0,故b=0
a+2b+2c=3,2a+3b+6c=4.Ta=5,c=-1.取x=1代入,得d=4.
經(jīng)驗(yàn)算:x*y=5x-xy,對(duì)于一切x,有x*4=5x-4x=x成立.故d=4.
第二試
(本試共有4題,每題滿分15分)
1.在直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,
14、y2)的坐標(biāo)均為一位的正整數(shù).OA與x軸正方向的夾角大于45°,OB與x軸正方向的夾角小于45°,B在x軸上的射影為B¢,A在y軸上的射影為A¢,△OBB¢的面積比△OAA¢的面積大33.5,由x1,y1,x2,y2組成的四位數(shù)
=x1?103+x2?102+y2?10+y1.試求出所有這樣的四位數(shù),并寫出求解過(guò)程.
解:x2y2-x1y1=67.x1y2.且x1,y1,x2,y2都是不超過(guò)10的正整數(shù).
∴ x2y2>67,T x2y2=72或81.但x2>y2,故x2y2=91舍去.∴ x2y2=72.x2=9,y2=8.
∴ x1y1=72-67=5.Tx1=1,y
15、1=5,∴ =1985.
2.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是BC中點(diǎn),F(xiàn)在AA1上,且A1F∶FA=1∶2.求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角.
解:設(shè)AB=1,則BE=,A1F=,故B1E=,B1F=,EF=.
∴ S=·=.
而△B1EF在平面A1C1上的射影面積=.
∴ cosθ=,即所求角=arc cos.
又解:設(shè)平面B1EF與平面AD1交于FG,(G在AD上),則由平面AD1∥平面BC1,得FG∥B1E.于是,延長(zhǎng)GF、D1A1交于P,則P為截面與平面A1C1的公共點(diǎn),故PB1為所求二面角的棱.AG=A1H=,A1P=,PB1=.
16、作GH⊥A1D1于H,則GH⊥平面A1C1.作HK⊥PB1,連GK.則∠GKH為所求二面角的平面角.
∵ HK?PB1=A1B1?HP.∴ HK=,tan∠GKH=.即所求角=arc tan.
3.某足球邀請(qǐng)賽有十六個(gè)城市參加,每市派出甲、乙兩個(gè)隊(duì),根據(jù)比賽規(guī)則,比賽若干天后進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)除A市甲隊(duì)外,其它各隊(duì)已比賽過(guò)的場(chǎng)數(shù)各不相同.問(wèn)A市乙隊(duì)已賽過(guò)多少場(chǎng)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
證明:用32個(gè)點(diǎn)表示這32個(gè)隊(duì),如果某兩隊(duì)比賽了一場(chǎng),則在表示這兩個(gè)隊(duì)的點(diǎn)間連一條線.否則就不連線.
由于,這些隊(duì)比賽場(chǎng)次最多30場(chǎng),最少0場(chǎng),共有31種情況,現(xiàn)除A城甲隊(duì)外還有31個(gè)隊(duì),這31個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng)次互不
17、相同,故這31個(gè)隊(duì)比賽的場(chǎng)次恰好從0到30都有.就在表示每個(gè)隊(duì)的點(diǎn)旁注上這隊(duì)的比賽場(chǎng)次.
考慮比賽場(chǎng)次為30的隊(duì),這個(gè)隊(duì)除自己與同城的隊(duì)外,與不同城有隊(duì)都進(jìn)行了比賽,于是,它只可能與比賽0場(chǎng)的隊(duì)同城;再考慮比賽29場(chǎng)的隊(duì),這個(gè)隊(duì)除與同城隊(duì)及比賽0場(chǎng)、1場(chǎng)(只賽1場(chǎng)的隊(duì)已經(jīng)與比賽30場(chǎng)的隊(duì)賽過(guò)1場(chǎng),故不再與其它隊(duì)比賽)的隊(duì)不比賽外,與其余各隊(duì)都比賽,故它與比賽1場(chǎng)的隊(duì)同城;依次類推,知比賽k場(chǎng)的隊(duì)與比賽30-k場(chǎng)的隊(duì)同城,這樣,把各城都配對(duì)后,只有比賽15場(chǎng)的隊(duì)沒有與其余的隊(duì)同城,故比賽15場(chǎng)的隊(duì)就是A城乙隊(duì).即A城乙隊(duì)比賽了15場(chǎng).
4.平面上任給5個(gè)點(diǎn),以λ表示這些點(diǎn)間最大的距離與最
18、小的距離之比,證明:λ≥2sin54°.
證明 ⑴ 若此五點(diǎn)中有三點(diǎn)共線,例如A、B、C三點(diǎn)共線,不妨設(shè)B在A、C之間,則AB與BC必有一較大者.不妨設(shè)AB≥BC.則≥2>2sin54°.
⑵ 設(shè)此五點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線的情況.
① 若此五點(diǎn)的凸包為正五邊形.則其五個(gè)內(nèi)角都=108°.五點(diǎn)的連線只有兩種長(zhǎng)度:正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線,而此對(duì)角線與邊長(zhǎng)之比為2sin54°.
② 若此五點(diǎn)的凸包為凸五邊形.則其五個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角≥108°.設(shè)∠EAB≥108°,且EA≥AB,則∠AEB≤36°,
∴= ≥=2cosE≥2cos36°=2sin54°.
③ 若此五點(diǎn)的凸包為凸四邊形ABCD,點(diǎn)E在其內(nèi)部,連AC,設(shè)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,則∠AEB、∠BEC、∠CEA中至少有一個(gè)角≥120°>108°,由上證可知,結(jié)論成立.
④ 若此五點(diǎn)的凸包為三角形ABC,則形內(nèi)有兩點(diǎn)D、E,則∠ADB、∠BDC、∠CDA中必有一個(gè)角≥120°,結(jié)論成立.
綜上可知,結(jié)論成立.