《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版4（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試 1．選擇題(本題滿分40分，每小題答對(duì)得5分答錯(cuò)得0分，不答得1分) ⑴ 集合S={|argZ=α，α為常數(shù)}在復(fù)平面上的圖形是( ) A．射線argZ=2α B．射線argZ=－2α C．射線argZ=α D．上述答案都不對(duì) ⑵下列四個(gè)圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( ) ⑶ 對(duì)所有滿足1≤n≤m≤5的m，n，極坐標(biāo)方程ρ=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A．15 B．10 C．7 D

2、．6 ⑷ 方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．大于3 ⑸ 若a>0，a≠1，F(xiàn)(x)是一個(gè)奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)?( +)是 A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) D．奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān) ⑹ 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) A．F(－2－x)=－2－F(x) B．F(－x)=F() C．F(x－1)=F(x)

3、 D．F(F(x))=－x ⑺ 若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)以等角速度ω在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(－2xy，y2－x2)的運(yùn)動(dòng)方式是 A．以角速度ω在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) B．以角速度ω在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) C．以角速度2ω在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) D．以角速度2ω在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) ⑻ 若四面體的一條棱長(zhǎng)是x，其余棱長(zhǎng)都是1，體積是F(x)，則函數(shù)F(x)在其定義域上 A．是增函數(shù)但無(wú)最大值 B．是增函數(shù)且有最大值 C．不是增函數(shù)但無(wú)最大值 D．不是增函數(shù)但有最大值 2．填充題(本題滿分10分，每小題5分)

4、 ⑴ 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點(diǎn)D，作DC⊥AB，交圓周于C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x，0)，則當(dāng)x∈ 時(shí)，線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形． ⑵ 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24π)內(nèi)不相同的解有 個(gè)． 第二試 1．(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明．否則給出反例． ⑴ 若P、Q是直線l同側(cè)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則必存在兩個(gè)不同的圓，通過(guò)P、Q且與直線l相切； ⑵ 若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，則logab+logba≥2． ⑶ 設(shè)A、B是坐標(biāo)平

5、面上的兩個(gè)點(diǎn)集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若對(duì)任何r≥0，都有Cr∪AíCr∪B，則必有AíB． 2．(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線AA￠的長(zhǎng)度為d，在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A￠E=m，AF=n，求EF(A￠在直線a上，A在直線b上)． 3．(本題滿分15分)如圖，在△ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一個(gè)不小于 (SXY…Z表示多邊形XY…Z的面積)．

6、 4．(本題滿分15分) 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3…，試證：0.a1a2…an…是有理數(shù)． 5．(本題滿分15分) 設(shè)x1，x2，…，xn都是正數(shù)，求證：++…++≥x1+x2+…+xn． 1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答 第一試 1．選擇題(本題滿分40分，每小題答對(duì)得5分答錯(cuò)得0分，不答得1分) ⑴ 集合S={|argZ=α，α為常數(shù)}在復(fù)平面上的圖形是( ) A．射線argZ=2α B．射線argZ=－2α C．射線argZ=α D．上述答案都不對(duì) 解：由于argZ∈[0.2

7、π)，故不存在答案B．a(chǎn)rg=2π－α，故選D． ⑵下列四個(gè)圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( ) 解：當(dāng)0y2>x>0；當(dāng)x>1時(shí)，得y2>x>1．選D． ⑶ 對(duì)所有滿足1≤n≤m≤5的m，n，極坐標(biāo)方程ρ=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A．15 B．10 C．7 D．6 解：由e=C，若表示雙曲線，則e>1，由C>1，可得m、n的不同取值為C=5，C=10，C=4，C=6，C=3，C=2，共有6個(gè)不同的值，故選D． ⑷ 方程sinx=lgx

8、的實(shí)根個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．大于3 解：作y=sinx及y=lgx的圖象，當(dāng)x>10時(shí)，lgx>1．故二者只在(0，10)內(nèi)可能有交點(diǎn)．經(jīng)作圖可知，二者在(0，π)內(nèi)有一交點(diǎn)，在(2π，3π)內(nèi)有一交點(diǎn)．選C． ⑸ 若a>0，a≠1，F(xiàn)(x)是一個(gè)奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)?(+)是 A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) D．奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān) 解：G(x)=F(x)? ，故G(－x)=G(x)，且G(x)的定義域

9、是F(x)的定義域與{x|x≠0，x∈R}的交集，為以原點(diǎn)為對(duì)稱的區(qū)域，故選B． ⑹ 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) A．F(－2－x)=－2－F(x) B．F(－x)=F() C．F(x－1)=F(x) D．F(F(x))=－x 解：令t=，得x=，即F(t)=，經(jīng)一一驗(yàn)證，知F(－2－x)=－2－F(x)，選A． ⑺ 若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)以等角速度ω在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(－2xy，y2－x2)的運(yùn)動(dòng)方式是 A．以角速度ω在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) B．以角速度ω在單位圓上逆時(shí)

10、針運(yùn)動(dòng) C．以角速度2ω在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) D．以角速度2ω在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) 解：令x=cosωt，y=sinωt．則－2xy=－sin2ωt=cos(－2ωt) y2－x2=－cos2ωt=sin(－2ωt)．顯然－2ωt與ωt旋轉(zhuǎn)方向相反．故選C． ⑻ 若四面體的一條棱長(zhǎng)是x，其余棱長(zhǎng)都是1，體積是F(x)，則函數(shù)F(x)在其定義域上 A．是增函數(shù)但無(wú)最大值 B．是增函數(shù)且有最大值 C．不是增函數(shù)但無(wú)最大值 D．不是增函數(shù)但有最大值 解：定義域?yàn)?

11、題滿分10分，每小題5分) ⑴ 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點(diǎn)D，作DC⊥AB，交圓周于C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x，0)，則當(dāng)x∈ 時(shí)，線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形． 解：由對(duì)稱性，先考慮0≤x<1的情況，設(shè)AD=a，BD=b，CD=c，則a+b=2，ab=c2，且必有a≥c≥b，于是只要考慮c2+b2>a2，即(1－x)(1+x)+(1－x)2>(1+x)2，解得0≤x<－2． ∴ 2－

12、x=kπ，與x=mπ． 當(dāng)00，b>0，且a≠1，b≠1，則logab+logba≥2． ⑶ 設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若對(duì)任何r≥0，都有Cr∪AíCr∪B，則必有AíB． 解：⑴

13、若PQ∥l，則只能作出一個(gè)圓過(guò)P、Q且與直線l相切； ⑵ 若a>1，0

14、CE、S□PEAF中至少有一個(gè)不小于(SXY…Z表示多邊形XY…Z的面積)． 證明：如圖，三等分BC于M、N，若點(diǎn)P在BM上(含點(diǎn)M)，則由于PE∥AB，則△CPE∽△CBA．CP∶CB≥．于是S△PCE≥．同理，若P在NC上(含點(diǎn)N)，則S△BPF≥． 若點(diǎn)P在線段MN上．連EF，設(shè)=r(

15、試證：0.a1a2…an…是有理數(shù)． 解 由于12+22+…+n2的個(gè)位數(shù)字只與1到n的個(gè)位數(shù)字的平方和有關(guān)，故只要考慮這些數(shù)的個(gè)位數(shù)字的平方： 但12≡1．22≡4，32≡9，42≡6，52≡5，62≡6，72≡9，82≡4，92≡1，02≡0(mod 10) ∴ a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5， a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0． 由a20=0知，a20k+r=ar(k，r∈N，0≤r≤19，并記a0=0)，即0.a1a2…an…是一個(gè)循環(huán)節(jié)為20位數(shù)的循環(huán)小數(shù)，即為有理數(shù)．其一個(gè)循環(huán)節(jié)為“”． 5．(本題滿分15分) 設(shè)x1，x2，…，xn都是正數(shù)，求證：++…++≥x1+x2+…+xn． 證明 +x2≥2x1，+x3≥2x2，+x4≥2x3，…，+x1≥2x1． 上述各式相加即得．