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全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版12

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1、1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷 第一試 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An,Bn兩點(diǎn),以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離,則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2.已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的一部分,則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 3.設(shè)四

2、面體四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,它們的最大值為S,記λ=(Si)/S,則λ一定滿足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別記為a,b,c(b11),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,則△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2

3、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 6.設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù),且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),則f(x)是 (A)偶函數(shù),又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (C)奇函數(shù),又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù),但不是周期函數(shù) 二、填空題(每小題5分共30分) 1.設(shè)x,y,z是實(shí)數(shù),3x,4y,5z成等比數(shù)列,且,,成等差

4、數(shù)列,則+的值是______. 2.在區(qū)間[0,p]中,三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是______. 3.從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條,使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線,則k的最大值是_____. 4.設(shè)z1,z2都是復(fù)數(shù),且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,則arg()3的值是______. 5.設(shè)數(shù)列a1,a2,L,an,L滿足a1=a2=1,a3=2,且對(duì)任何自然數(shù)n, 都有anan+1an+211,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+L+a100的值是____. 6.函數(shù)f(x)= -

5、的最大值是_____. 三、(20分)求證:16<<17. 四、(20分)設(shè)l,m是兩條異面直線,在l上有A,B,C三點(diǎn),且AB=BC,過(guò)A,B,C分別作m的垂線AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F(xiàn),已知AD=,BE=CF=,求l與m的距離. 五、(20分)設(shè)n是自然數(shù),fn(x)= (x10,±1),令y=x+. 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x),(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明: fn(x)= 第二試 一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為⊙O

6、的內(nèi)接四邊形,H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心.求證:H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,并定出該圓的圓心位置. 二、(35分) 設(shè)集合Sn={1,2,L,n}.若X是Sn的子集,把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0),若X的容量為奇(偶)數(shù),則稱X為的奇(偶)子集. 1.求證Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等. 2.求證:當(dāng)n≥3時(shí),Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.當(dāng)n≥3時(shí),求Sn的所有奇子集的容量

7、之和. 三、(35分)在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn),任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三點(diǎn)不在同一條直線上.試證:在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點(diǎn)的所有三角形中,必有一個(gè)三角形,它的面積不大于2. 1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An,Bn兩點(diǎn),以|AnBn|表示該兩

8、點(diǎn)的距離,則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解:y=((n+1)x-1)(nx-1),∴ |AnBn|=-,于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=,選B. 2.已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的一部分,則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 解:(x-)=0表示y軸右邊的半圓,(y+)=0表示x軸

9、下方的半圓,故選D. 3.設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,它們的最大值為S,記λ=(Si)/S,則λ一定滿足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 解: Si≤4S,故Si≤4,又當(dāng)與最大面相對(duì)的頂點(diǎn)向此面無(wú)限接近時(shí),Si接近2S,故選A. 4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別記為a,b,c(b11),且,都是方程logx=logb(4x-4)的根,則△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形

10、 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 解:x2=4x-4.根為x=2.∴ C=2A,TB=180°-3A,sinB=2sinA.Tsin3A=2sinA, T3-4sin2A=2.A=30°,C=60°,B=90°.選B. 5.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 解:=cos±isin.∴ |z2|=8,z1、z2的夾角

11、=60°.S=·4·8·=8.選A. 6.設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù),且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),則f(x)是 (A)偶函數(shù),又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (C)奇函數(shù),又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù),但不是周期函數(shù) 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函數(shù); ∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-

12、x))=-f(x).∴ 是奇函數(shù).選C. 二、填空題(每小題5分共30分) 1.設(shè)x,y,z是實(shí)數(shù),3x,4y,5z成等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則+的值是______. 解:16y2=15xz,y=,T16·4x2z2=15xz(x+z)2.由xz≠0,得=,T+=. 2.在區(qū)間[0,p]中,三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是 . 解:7x=5x+2kπ,或7x=-5x+2kπ,(k∈Z)Tx=kπ,x=kπ (k∈Z),共有7解. 3.從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條,使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線,則k的最大值是

13、 . 解:正方體共有8個(gè)頂點(diǎn),若選出的k條線兩兩異面,則不能共頂點(diǎn),即至多可選出4條,又可以選出4條兩兩異面的線(如圖),故所求k的最大值=4. 4.設(shè)z1,z2都是復(fù)數(shù),且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,則arg()3的值是______. 解:cos∠OZ1Z3==-.即∠OZ1Z3==120°, ∴ arg()=或. ∴ arg()3=π. 5.設(shè)數(shù)列a1,a2,L,an,L滿足a1=a2=1,a3=2,且對(duì)任何自然數(shù)n, 都有anan+1an+211,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+

14、L+a100的值是____. 解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 相減,得anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由anan+1an+211,得an+4=an. 又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得a4=4. ∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200. 6.函數(shù)f(x)= -的最大值是_____. 解:f(x)= -,表示點(diǎn)(x,x2)與點(diǎn)A(3,2)的距離及B(0,1)距離差的最

15、大值.由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè),故過(guò)此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于兩點(diǎn).對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn),到此二點(diǎn)距離之差大于|AB|=.即所求最小值為. 三、(20分)求證:16<<17. 證明:=<=2(-), 同時(shí)>=2(-). 于是得2(-)<<1+2(-) 即 16<<1+2(-1)<1+2(9-1)=17. 四、(20分)設(shè)l,m是兩條異面直線,在l上有A,B,C三點(diǎn),且AB=BC,過(guò)A,B,C分別作m的垂線AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F(xiàn),已知AD=,BE=CF=,求l與m的距離. 解:過(guò)m作平面α∥l,作AP⊥α于P,AP與l確定平面β,β∩α=l¢,l¢∩m=K. 作

16、BQ⊥α,CR⊥α,垂足為Q、R,則Q、R∈l¢,且AP=BQ=CR=l與m的距離d. 連PD、QE、RF,則由三垂線定理之逆,知PD、QE、RF都⊥m. PD=,QE=,RF=. 當(dāng)D、E、F在K同側(cè)時(shí)2QE=PD+RF, T=+.解之得d= 當(dāng)D、E、F不全在K同側(cè)時(shí)2QE=PD-RF,T=-.無(wú)實(shí)解. ∴ l與m距離為. 五、(20分)設(shè)n是自然數(shù),fn(x)= (x10,±1),令y=x+. 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x),(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明: fn(x)= 證明: ⑴ 由yfn(x)-fn-1(

17、x)= ==fn+1(x).故證. ⑵ f1(x)= x+,f2(x)=x2+1+x-2=(x+)2-1=y2-1.故命題對(duì)n=1,2 成立. 設(shè)對(duì)于n≤m(m≥2,m為正整數(shù)),命題成立,現(xiàn)證命題對(duì)于n=m+1成立. 1. 若m為偶數(shù),則m+1為奇數(shù).由歸納假設(shè)知,對(duì)于n=m及n=m-1,有 fm(x)= ym-Cym-2+C ym-4+…+(-1)iCym-2i+…+(-1)Cy ① fm-1(x)= ym-1-Cym-3+…+(-1)i-1Cym+1-2i+…+(-1)·Cy ② ∴ yfm(x)-fm-1(x)=ym+1-…+(-1)i(C+C)ym+

18、1-2i+…+(-1)(C+C)y = ym+1-Cym-1+…+(-1)iCym+1-2i+…+(-1)·Cy 即命題對(duì)n=m+1成立. 2.若m為奇數(shù),則m+1為偶數(shù),由歸納假設(shè)知,對(duì)于n=m及n=m-1,有 fm(x)= ym-1-Cym-2+…+(-1)i·Cym-2i+…+(-1)·C y ③ fm-1(x)= ym-1-Cym-3+…+(-1)i-1Cym+1-2i+…+(-1)C ④ 用y乘③減去④,同上合并,并注意最后一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為 -(-1)C=-(-1)C=(

19、-1). 于是得到y(tǒng)fm(x)-fm-1(x)=ym+1-Cm1ym-1+…+(-1),即仍有對(duì)于n=m+1,命題成立 綜上所述,知對(duì)于一切正整數(shù)n,命題成立. 第二試 一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為⊙O的內(nèi)接四邊形,H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心.求證:H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,并定出該圓的圓心位置. 證明:連A2H1,A1H2,取A3A4的中點(diǎn)M,連OM,由上證知A2H1∥OM,A2H1=2OM,A1H2∥OM, A1H2=2OM,從而H1H2A1A2是平行四邊形,故H1H2∥A1A2 ,

20、H1H2=A1A2. 同理可知,H2H3∥A2A3,H2H3=A2A3; H3H4∥A3A4,H3H4=A3A4; H4H1∥A4A1,H4H1=A4A1. 故 四邊形A1A2A3A4≌四邊形H1H2H3H4. 由四邊形A1A2A3A4有外接圓知,四邊形H1H2H3H4也有外接圓.取H3H4∥的中點(diǎn)M1,作M1O1⊥H3H4,且M1O1=MO,則點(diǎn)O1即為四邊形H1H2H3H4的外接圓圓心. 又證:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),⊙O的半徑為長(zhǎng)度單位建立直角坐標(biāo)系,設(shè)OA1、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為α、β、γ、d,則點(diǎn)A1、A2、A3

21、、A4的坐標(biāo)依次是(cosα,sinα)、(cosβ,sinβ)、(cosγ,sinγ)、(cosd,sind). 顯然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的外心都是點(diǎn)O,而它們的重心依次是 ((cosβ+cosγ+cosd),(sinβ+sinγ+sind))、((cosγ+cosd+cosα),(sinα+sind+sinγ))、 ((cosd+cosα+cosβ),(sind+sinα+sinβ))、((cosα+cosβ+cosγ),(sinα+sinβ+sinγ)). 從而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心依次是

22、 H1(cosβ+cosγ+cosd, sinβ+sinγ+sind)、H 2 (cosγ+cosd+cosα,sinα+sind+sinγ)、 H 3 (cosd+cosα+cosβ,sind+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ,sinα+sinβ+sinγ). 而H1、H2、H3、H4點(diǎn)與點(diǎn)O1(cosα+cosβ+cosγ+cosd,sinα+sinβ+sinγ+sind)的距離都等于1,即H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在以O(shè)1為圓心,1為半徑的圓上.證畢. 二、(35分)設(shè)集合Sn={1,2,L,n}.若X是Sn的子集,把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”

23、(規(guī)定空集的容量為0),若X的容量為奇(偶)數(shù),則稱X為的奇(偶)子集. 1.求證Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等. 2.求證:當(dāng)n≥3時(shí),Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.當(dāng)n≥3時(shí),求Sn的所有奇子集的容量之和. 證明:⑴ 對(duì)于Sn的每個(gè)奇子集A,當(dāng)1∈A時(shí),取B=A\{1},當(dāng)1?A時(shí),取B=A∪{1},則B為Sn的偶子集.反之,若B為Sn的偶子集,當(dāng)1∈B時(shí),取A=B\{1},當(dāng)1?B時(shí),取A=B∪{1},于是在Sn的奇子集與偶子集之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng),故Sn的奇子集與偶子集的個(gè)數(shù)相等. ⑵ 對(duì)于任一i∈Sn,i>1,含i的Sn的

24、子集共有2n-1個(gè),其中必有一半是奇子集,一半是偶子集,從而每個(gè)數(shù)i,在奇子集的和與偶子集的和中,i所占的個(gè)數(shù)是一樣的. 而對(duì)于元素1,只要把Sn的所有子集按是否含有3配對(duì)(即在上證中把1換成3來(lái)證),于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和,與所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每個(gè)元素在奇子集中都出現(xiàn)2n-2次,故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)×2n-2=n(n+1)×2n-3. 三、(35分) 在平面直角坐標(biāo)系中,任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿足: ⑴ |xi|≤2,|yi|≤2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三點(diǎn)不在一條直線

25、上. 試證明:在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點(diǎn)的所有三角形中,必有一個(gè)三角形的面積不大于2. 證明 如圖,滿足條件的格點(diǎn)只能是圖中A、B、…、Y這25個(gè)格點(diǎn)中的6個(gè).把這25個(gè)格點(diǎn)分成三個(gè)矩形:矩形AEFJ、KOWU、MNYX. 若所取的6個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在上述三個(gè)矩形中的某一個(gè)中,則此三點(diǎn)即滿足要求. 若三個(gè)矩形中均無(wú)所取6點(diǎn)中的3點(diǎn),則必是每個(gè)矩形中有所取的2個(gè)點(diǎn). ⑴ 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的點(diǎn),則此點(diǎn)與矩形MNYX中的兩點(diǎn)滿足要求; ⑵ 若上述7點(diǎn)均未取,則A、B、C、H、I、J中必有兩點(diǎn),此時(shí)若L、K中有所取的點(diǎn),則亦有三點(diǎn)滿足要求; ⑶ 若L、K亦未取,則必在P、Q、V、U中取了2點(diǎn),矩形ACHJ中取了2點(diǎn):此時(shí)取P、Q兩點(diǎn),或Q、V兩點(diǎn),或V、U兩點(diǎn),或U、P兩點(diǎn),或Q、U兩點(diǎn),則無(wú)論ACHJ中取任一點(diǎn),與之組成三角形面積均滿足要求. 若取P、V兩點(diǎn),則矩形ACHJ中必有一點(diǎn)異于C,取此點(diǎn)與P、V滿足要求. 綜上可知,必有滿足要求的3點(diǎn)存在.

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