《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第13講 直線 圓的方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第13講 直線 圓的方程（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座13）—直線、圓的方程 一．課標(biāo)要求： 1．直線與方程 （1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素； （2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式； （3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系； 2．圓與方程 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。 二．命題走向 直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直

2、線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。 預(yù)測2007年對本講的考察是： （1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會是一個出題方向； （2）熱點(diǎn)問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。 三．要點(diǎn)精講 1．傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。 2．斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。 過兩點(diǎn)p1(x1,y1

3、),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900）。 4．直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。 名稱 方程 說明 適用條件 斜截式 y=kx+b k——斜率 b——縱截距 傾斜角為90°的直線不能用此式 點(diǎn)斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直線上 已知點(diǎn)，k——斜率 傾斜角為90°的直線不能用此式 兩點(diǎn)式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點(diǎn) 與兩坐標(biāo)軸平行的

4、直線不能用此式 截距式 +=1 a——直線的橫截距 b——直線的縱截距 過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分別為斜率、橫截距和縱截距 A、B不能同時為零 直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線。 5．圓的方程 圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。 圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。 二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①、項項的系數(shù)相同且不為0，即；②、沒有x

5、y項，即B=0；③、。 四．典例解析 圖 題型1：直線的傾斜角 例1．（1995全國，5）圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D 解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2、α3均為銳角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故應(yīng)選D。 點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。 例2．過點(diǎn)P（2，1）作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求的值最小時直線的方

6、程。 解析：依題意作圖，設(shè)∠BAO＝， 則， ， 當(dāng)，即時的值最小，此時直線的傾斜角為135°， ∴斜率。 故直線的方程為，即。 點(diǎn)評：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。 題型2：斜率公式及應(yīng)用 例3．（1）（05年江西高考）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最大值是___________。 （2）（1997全國文，24）已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn)。 （1）證明點(diǎn)C、

7、D和原點(diǎn)O在同一條直線上。 （2）當(dāng)BC平行于x軸時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。 解析：（1）如圖，實數(shù)x，y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分（包括邊界），而表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，此時，所以的最大值是。 點(diǎn)評：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費(fèi)周折。 （2）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x1＞1，x2＞1，點(diǎn)A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）. 因為A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以， 又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝＝3log8x1，lo

8、g2x2＝＝3log8x2， 所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為 。 由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一條直線上。 由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 將其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，log8）. 點(diǎn)評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力。 例4．（05年全國高考）當(dāng)時，函數(shù)的最小值是（ ） A．2 B． C．4

9、 D． 解析：原式化簡為，則y看作點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)的連線的斜率。 因為點(diǎn)B的軌跡是 即 過A作直線，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。 點(diǎn)評：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。 題型3：直線方程 例5．已知直線的點(diǎn)斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。 解析：（1）將移項、展開括號后合并，即得斜截式方程。 （2）因為點(diǎn)（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn)。 由兩點(diǎn)式方程得： 即

10、 （3）由知：直線在y軸上的截距 又令，得 故直線的截距式方程 點(diǎn)評：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時，要根據(jù)問題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問題解得簡捷、明了。 例6．直線經(jīng)過點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， ∵直線過點(diǎn)P（-5，-4），，即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 點(diǎn)評：要求的方程，須先求截

11、距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距； （3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。 總之，在求直線方程時，設(shè)計合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 題型3：直線方程綜合問題 例5．（2003北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ） A．95 B．91

12、 C．88 D．75 答案：B 解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個整數(shù)，x=1，y有10個，x=2或x=3時，y分別有9個，x=4時，y有8個，x=5或6時，y分別有7個，類推：x=13時y有2個，x=14或15時，y分別有1個，共91個整點(diǎn).故選B。 圖 解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個矩形.如圖所示。 對角線上共有6個整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有16×11=176.因此所求△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91（個

13、） 點(diǎn)評：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑。 例6．（2003京春理，22）已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上。 （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。 （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由； （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。 （Ⅰ）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x. 圖 解法二：設(shè)M（x，y），依題意有

14、|MP|=|MN|， 所以|x+1|=。化簡得：y2=4x。 （Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3。 所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=。 假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ① ② 由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－。 但y=－不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解。 因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形。 （ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△AB

15、C成鈍角三角形，由得y=2， 即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2。 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |AB|2=（）2=。 當(dāng)∠CAB為鈍角時，cosA=<0。 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>時，∠CAB為鈍角。 當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－時，∠CBA為鈍角。 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即。 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角。 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。 解法

16、二：以AB為直徑的圓的方程為（x－）2+（y+）2=（）2。 圓心（）到直線l：x=－1的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（－1，－）。 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角。 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角。 過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為。 令x=－1得y=。 過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2（x－3）。 令x=－1得y=－。 又由解得y=2， 所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形。

17、 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<－或y>（y≠2）。 點(diǎn)評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 題型4：圓的方程 例7．（1）已知△ABC的三個項點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圓的方程。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)

18、方程，將三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解法一：設(shè)所求圓的方程是 ① 因為A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上， 所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是 可解得 所以△ABC的外接圓的方程是。 解法二：因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。 ∵，，線段AB的中點(diǎn)為（5，－1），線段BC的中點(diǎn)為， 圖4－1 ∴A

19、B的垂直平分線方程為， ① BC的垂直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為Ｅ（1，－3）， 半徑。 故△ABC外接圓的方程是． 點(diǎn)評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。 （2）求過A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。 分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡捷。 解析：設(shè)圓的方程為 ① 因為三點(diǎn)A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是

20、方程①的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程①，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個三元一次方程組： ，解得。 所以，圓的方程是。 圓心是坐標(biāo)（1，－3），半徑為。 點(diǎn)評：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法．一般地，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。 例8．若方程。 （1）當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個圓。 （2）當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時，求圓心的軌跡方程。 解析：（1）由， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時， 即時，給定的方程表示一個圓。 （2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則（為參數(shù)）。 消去參

21、數(shù)，為所求圓心軌跡方程。 點(diǎn)評：圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。 題型5：圓的綜合問題 例9．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。 解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在△ABC中由正弦定理，有 。 其中R是△ABC的外接圓的半徑。 可見，當(dāng)R取得最小值時，∠ACB取得最大值。 在過A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時，半徑最小。故切點(diǎn)C即為所求。 由切割線定理，得： 所以 ，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，∠ACB取得最大值。 點(diǎn)評：圓是最簡單的

22、二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 例10．已知⊙O′過定點(diǎn)A(0，p)(p>0)，圓心O′在拋物線x2=2py上運(yùn)動，MN為圓O′截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。 （1）當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論； （2）求+的最大值，并求取得最大值的θ值。 解析：設(shè)O′(x0，y0)，則x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半徑|O′A|=，⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0

23、，并把x02=2py0代入得x2－2x0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p為定值。 （2）∵M(jìn)(x0-p，0) ，N(x0+p，0) ∴d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=， ∴+===2=2≤2=2。 當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=±p，y0=p時等號成立，∴+的最大值為2。 此時|O′B|=|MB|=|NB|（B為MN中點(diǎn)），又O′M=O′N， ∴△O′MN為等腰直角三角形，∠MO′N=90°，則θ=∠MO′N=45°。 點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方

24、法。 五．思維總結(jié) 抓好“三基”，把握重點(diǎn)，重視低、中檔題的復(fù)習(xí)，確保選擇題的成功率。 本講所涉及到的知識都是平面解析幾何中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.它們滲透到平面解析幾何的各個部分，正是它們構(gòu)成了解析幾何問題的基礎(chǔ)，又是解決這些問題的重要工具之一.這就要求我們必須重視對“三基”的學(xué)習(xí)和掌握，重視基礎(chǔ)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意基本方法的相互配合，注意平面幾何知識在解析幾何中的應(yīng)用，注重挖掘基礎(chǔ)知識的能力因素，提高通性通法的熟練程度，著眼于低、中檔題的順利解決。 在解答有關(guān)直線的問題時，應(yīng)特別注意的幾個方面： （1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍； （2

25、）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m倍（m＞0）”等時，采用截距式就會出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時最好采用點(diǎn)斜式或斜截式求解； （3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時，要注意防止由于“無斜率”，從而造成丟解.如在求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時，一般要分直線有無斜率兩種情況進(jìn)行討論； （4）首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問

26、題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座15）—算法的含義、程序框圖 一．課標(biāo)要求： 1．通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如，二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義； 2．通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達(dá)解決問題的過程。在具體問題的解決過程中（如，三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。 二．命題走向 算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，本章的重點(diǎn)是算法的概念和算法的三種邏

27、輯結(jié)構(gòu)。 預(yù)測2007年高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點(diǎn)是算法的概念。 三．要點(diǎn)精講 1．算法的概念 （1）算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等。 在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。 （2）算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無誤、“不重不漏”?！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務(wù)。②邏輯性：算法從開

28、始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制的持續(xù)進(jìn)行。 （3）算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。 2．程序框圖 （1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形； （2）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用 程序框 名稱 功能 起止框 表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的。 輸入、輸

29、出框 表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。 處理框 賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或“N”。 流程線 算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序 循環(huán)框 用來表達(dá)算法中重復(fù)操作以及運(yùn)算 連結(jié)點(diǎn) 連接另一頁或另一部分的框圖 注釋框 幫助編者或閱讀者理解框圖 （3）程序框圖的構(gòu)成 一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程序框

30、內(nèi)必要的說明文字。 3．幾種重要的結(jié)構(gòu) （1）順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。它是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。 A B 示意圖 輸入n flag=1 見示意圖和實例： 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。 p A B Y N （2）條件結(jié)構(gòu) 如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個判斷框，算法執(zhí)

31、行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框（A框、B框）。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作。 見示意圖 （3）循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一處理過程。重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。 ①當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A

32、框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 A 成立 不成立 P 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 成立 不成立 P A ②直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。 見示意圖 四．典例解析 題型1：算法概念 例1．下列說法正確的是（ ）

33、 A．算法就是某個問題的解題過程； B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果； C．解決某一個具體問題算法不同結(jié)果不同； D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實施。 解析：答案為選項B；選項B，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項A ，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項D，算法可以為很多次，但不可以無限次。 點(diǎn)評：算法一般是機(jī)械的，有時需要進(jìn)行大量的重復(fù)計算。只要按部就班去做，總能算出結(jié)果。通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”。數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計算機(jī)來完成；實際上處理任何問題都

34、需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評判準(zhǔn)則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評判準(zhǔn)則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……。 例2．下列語句中是算法的個數(shù)為（ ） ①從濟(jì)南到巴黎：先從濟(jì)南坐火車到北京，再坐飛機(jī)到巴黎； ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事； ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹； ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積。 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：正確選項為C，③中

35、我們對“樹的大小”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法完成任務(wù)，不是有效的算法構(gòu)造。①中，勾畫了從濟(jì)南到巴黎的行程安排，完成了任務(wù)；②中，節(jié)約時間，燒水泡茶完成了任務(wù)；④中，純數(shù)學(xué)問題，借助正、余弦定理解三角形，進(jìn)而求出三角形的面積。 點(diǎn)評：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結(jié)果。 題型2：經(jīng)典算法 例3．一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊。該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請設(shè)計算法？ 解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還

36、應(yīng)考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢，具體算法如下： 算法步驟： 第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回； 第二步：人帶一只狼過河，自己返回； 第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回； 第四步：人帶一只羊過河，自己返回； 第五步：人帶兩只狼過河。 點(diǎn)評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)?。這就要求我們在寫算法時應(yīng)精練、簡練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)實生活

37、中，很多較復(fù)雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。 例4．這是中國古代的一個著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？ 解析：求解雞兔的問題簡單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應(yīng)用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題。 第一步：設(shè)有小雞x只，小兔y只，則有 第二步：將方程組中的第一個方程兩變乘－2加到第二個方程中去，得到，得到y(tǒng)=7； 第三步：將y=7代入（1）得x=10。 點(diǎn)評：解決這些問題的基本思想并不復(fù)雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非

38、常多，有的計算量很大，有時候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計算機(jī)的長處，它能不厭其煩的枯燥的、重復(fù)的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。 題型3：順序結(jié)構(gòu) 例5．寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點(diǎn)的算法。 解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務(wù)。 算法分析： 第一步：從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP； 第二步：在射線上任取一個不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC； 第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC； 第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF

39、=AC； 第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC； 第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB； 第七步：連接DB； 第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個5等分點(diǎn)。 開始 從A點(diǎn)出發(fā)作一條與AB不平行射線AC 在射線上任取一個不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，取AC為單位線段， 再在AC上順次取點(diǎn)E、F、G、D，滿足CE=EF=FG=GD=AC 連結(jié)BD 過點(diǎn)C作BD的平行線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為5等分點(diǎn) 結(jié)束 程序框圖： 點(diǎn)評：這個算法步驟具有一般性，對

40、于任意自然數(shù)n，都可以按照這個算法的思想，設(shè)計出確定線段的n等分點(diǎn)的步驟，解決問題。 例6．有關(guān)專家建議，在未來幾年內(nèi)，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費(fèi)品的價格增長率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價格是10 000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格。 解析：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟： 2005年P(guān)=10000×（1+3%）=10300； 2006年P(guān)=10300×（1+3%）=10609； 2007年P(guān)=10609×（1+3%）=10927.27；

41、2008年P(guān)=10927.27×（1+3%）=11255.09； 因此，價格的變化情況表為： 年份 2004 2005 2006 2007 2008 鋼琴的價格 10000 10300 10609 10927.27 11255.09 程序框圖為： 開始 P=10000 P=10000×1.03=10300 P=10300×1.03=10609 P=10609×1.03=10927.27 P=10927.27×1.03=11255.09 結(jié)束 輸出P

42、 點(diǎn)評：順序結(jié)構(gòu)只須嚴(yán)格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學(xué)問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細(xì)化”就可以。“細(xì)化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖。 題型4：條件結(jié)構(gòu) 例7．設(shè)計算法判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，并畫出相應(yīng)的程序框圖。 解析：算法步驟如下： 第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c； 第二步：計算△的值； 第三步：判斷△≥0是否成立。若△≥0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”。結(jié)束算法。 相應(yīng)的程序框圖如下： Y N 結(jié) 束 開始 輸入a,b,c △≥0？ 輸出無實根 輸出有實根 △=b2－4ac

43、 點(diǎn)評：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計算判別式△的值。再分成兩種情況處理：（1）當(dāng)△≥0時，一元二次方程有實數(shù)根；（2）當(dāng)△＜0時，一元二次方程無實數(shù)根。該問題實際上是一個分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結(jié)果就不同。因而當(dāng)給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結(jié)構(gòu)是辦不到的，要對判別式的值進(jìn)行判斷，需要用到條件結(jié)構(gòu)。 例8．（1）設(shè)計算法，求的解，并畫出流程圖。 解析：對于方程來講，應(yīng)該分情況討論方程的解。 我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進(jìn)行

44、分類，分類如下： （1）當(dāng)a≠0時，方程有唯一的實數(shù)解是； （2）當(dāng)a=0，b=0時，全體實數(shù)都是方程的解； （3）當(dāng)a=0，b≠0時，方程無解。 聯(lián)想數(shù)學(xué)中的分類討論的處理方式?？傻萌缦滤惴ú襟E： 第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結(jié)果“解為”； 第二步：判斷a=0，b=0是否同時成立。若成立，輸出結(jié)果“解集為R”； 第三步：判斷a=0，b≠0是否同時成立。若成立，輸出結(jié)果“方程無解”，結(jié)束。 程序框圖： Y a≠0? a=0,b=0? a=0,b≠0? 開始 輸出解為 輸出解集為R 輸出方程無解 結(jié)束 Y N N N 輸入a，b

45、 Y （2）。設(shè)計算法，找出輸入的三個不相等實數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。 解析：算法步驟： 第一步：輸入a，b，c的值； 第二步：判斷a>b是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步； 第三步：判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束； 第四步：判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束。 程序框圖： 開始 a > b? 輸出a 結(jié)束 N a > c? Y 輸出c b >c?

46、 輸出b 輸出c Y Y N N 輸入a,b,c 點(diǎn)評：條件結(jié)構(gòu)嵌套與條件結(jié)構(gòu)疊加的區(qū)別是： （1）條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”、“條件2”、“條件3”……都進(jìn)行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對應(yīng)的操作。 （2）條件結(jié)構(gòu)的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支，……依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。 （3）條件結(jié)構(gòu)嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”……是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成立

47、”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復(fù)合。 題型5：循環(huán)結(jié)構(gòu) 例9．設(shè)計一個算法，求的值，并劃出程序框圖。。 解析：算法步驟： 第一步：sum=0； 第二步：i=0； 第三步：sum=sum+2i； 第四步：i=i+1； 第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結(jié)束；否則返回第三步重新執(zhí)行。 程序框圖： 結(jié) 束 開始 i>49？ 輸出sum sum=0,i=0 sum=sum+2i i=i+1 N Y 點(diǎn)評： 1．如果算法問題里涉及的運(yùn)算進(jìn)行了許多次重

48、復(fù)的操作，且先后參與運(yùn)算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運(yùn)算（我們稱之為循環(huán)變量），應(yīng)用于循環(huán)結(jié)構(gòu)。在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件設(shè)計合理的計數(shù)變量、累加和累乘變量及其個數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當(dāng)、精確。 2．累加變量的值初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。 例10．相傳古代的印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么。發(fā)明者說：陛下，在國際象棋的第一個格子里面放1粒麥子，在第二個格子里面放2粒麥子，第三個格子放4粒麥子，以后每個格子中的麥粒數(shù)都是他前一個格子中麥粒數(shù)的二倍，依此類推（國際象棋棋盤共有64個格子）。請將這些麥子賞給我，我將感激不盡。國王想這還不容易

49、，就讓人扛了一袋小麥，但不到一會兒就沒了，最后一算結(jié)果，全印度一年生產(chǎn)的糧食也不夠。國王很奇怪，小小的“棋盤”，不足100個格子，如此計算怎么能放這么多麥子？試用程序框圖表示一下算法過程。 解析：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，該問題就是來求的和 結(jié) 束 開始 i≥64？ 輸出sum sum=0,i=0 sum=sum+2i i=i+1 N Y 點(diǎn)評：對于開放探究問題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型（上面的題目要與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式聯(lián)系起來）和過程模型來分析好算法，通過設(shè)計算法以及

50、語言的描述選擇一些成熟的辦法進(jìn)行處理。像上面應(yīng)用到了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式。 五．思維總結(jié) 描述算法可以用不同的方式。例如：可以用自然語言和數(shù)學(xué)語言加以敘述，也可以借助形式語言（算法語言）給出精銳的說明，也可以用程序框圖直觀的顯示算法全貌。 1．自然語言 自然語言就是人們?nèi)粘Ｊ褂玫恼Z言，可以是人之間來交流的語言、術(shù)語等，通過分步的方式來表達(dá)出來的解決問題的過程。 其優(yōu)點(diǎn)為：好理解，當(dāng)算法的執(zhí)行都是先后順序時比較容易理解； 缺點(diǎn)是：表達(dá)冗長，且不易表達(dá)清楚步驟間的重復(fù)操作、分情況處理現(xiàn)象、先后順序等問題。 2．程序框圖 程序框圖是用規(guī)定的圖形符號來表達(dá)算法的具體過程。

51、 優(yōu)點(diǎn)是：簡捷形象、步驟的執(zhí)行方向直觀明了。 3．程序語言 程序語言是將自然語言和框圖所表達(dá)的解決問題的步驟用特定的計算機(jī)所識別的低級和高級語言編寫而成。特點(diǎn)：能在計算機(jī)上執(zhí)行，但格式要求嚴(yán)格。 程序框圖 1．學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各種圖形的形狀、作用以及使用規(guī)則 2．畫程序框圖的規(guī)則如下： （1）一個完整的程序框圖必須有起止框，用來表示程序的開始和結(jié)束。 （2）使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號表示操作，帶箭頭的流程線表示算法步驟的先后順序，框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。 （3）算法中間要處理數(shù)據(jù)或計算，可分別寫在不同的處理框中。 （4）如果一個流程由于紙面等原因需要分開畫。要在斷開處畫上連結(jié)點(diǎn)，并標(biāo)出連結(jié)的號碼。如圖一。實際上它們是同一點(diǎn)，只是化不才分開畫。用連結(jié)點(diǎn)可避免流程線的交叉或過長，使流程圖清晰。 （5）注釋框不是流程圖必需的部分，只是為了提示用戶一部分框圖的作用以及對某些框圖的操作結(jié)果進(jìn)行說明。它幫助閱讀流程圖的用戶更好的理解流程圖的來龍去脈。 （6）在圖形符號內(nèi)用于描述的語言要非常簡練清楚。 第 27 頁 共 27 頁