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1、 理想氣體的狀態(tài)方程 編稿：張金虎 審稿：李勇康 【學習目標】 1．知道什么是理想氣體，理想氣體分子的運動特點，氣體壓強產(chǎn)生的原因； 2．掌握理想氣體的狀態(tài)方程，知道理想氣體狀態(tài)方程的推出過程； 3．學會建立物理模型的研究方法； 4．利用理想氣體的狀態(tài)方程分析解決實際問題。 5．利用圖象形象直觀地表示氣體狀態(tài)及狀態(tài)的變化． 6．學會利用圖象和氣體實驗定律分析氣體的狀態(tài)變化。 7．在掌握圖象的特點的基礎(chǔ)上利用圖象解決實際問題． 8．進一步明確圖象上的一個點表示一定質(zhì)量的氣體的一個平衡狀態(tài)對應(yīng)著三個狀態(tài)參量，圖象上的某一條直線或曲線表示一定質(zhì)量氣體

2、狀態(tài)變化的一個過程． 【要點梳理】 要點一、理想氣體 1．理想氣體 嚴格遵從3個實驗定律的氣體稱為理想氣體． 在任何溫度、任何壓強下都嚴格遵從氣體實驗定律的氣體叫做理想氣體． 要點詮釋： 對理想氣體應(yīng)從以下幾個方面理解： （1）理想氣體是一種理想化模型，是對實際氣體的科學抽象． （2）實際氣體，特別是那些不容易液化的氣體，如氫氣、氧氣、氮氣、氦氣等，在壓強不太大（不超過大氣壓的幾倍），溫度不太低（不低于負幾十攝氏度）時，可以近似地視為理想氣體． （3）在微觀意義上，理想氣體分子本身大小與分子間的距離相比可以忽略不計，分子間

3、不存在相互作用的引力和斥力，所以理想氣體的分子勢能為零，理想氣體的內(nèi)能等于分子的總動能． 2．理想氣體的狀態(tài)方程 一定質(zhì)量的理想氣體，由初狀態(tài)（）變化到末狀態(tài)（）時，各量滿足： 或（為恒量）． 上面兩式都叫做一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程． 要點詮釋： （1）氣體的三個實驗定律是理想氣體狀態(tài)方程的特例： 當時，（玻意耳定律）． 當時，（查理定律）． 當時，（蓋—呂薩克定律）． （2）適用條件： 該方程是在理想氣體質(zhì)量不變的條件下才適用．是一定量理想氣體兩個狀態(tài)參量的關(guān)系，與變化過程無關(guān)．

4、 （3）中的恒量僅由氣體的種類和質(zhì)量決定，與其他參量無關(guān)． 要點二、應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程解題的一般思路 １．應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程解題的一般思路 （1）確定研究對象（某一部分氣體），明確氣體所處系統(tǒng)的力學狀態(tài)（是否具有加速度）． （2）弄清氣體狀態(tài)的變化過程（是單調(diào)變化還是非單調(diào)變化，是否會出現(xiàn)臨界狀態(tài)或極值點）． （3）確定氣體的初、末狀態(tài)及其狀態(tài)參量，并注意單位的統(tǒng)一． （4）根據(jù)題意，選用適當?shù)臍怏w狀態(tài)方程求解．若非純氣體熱學問題，還要綜合應(yīng)用力學等有關(guān)知識列輔助方程． （5）分析討論所得結(jié)果的合理性及其物理意義．

5、 2．“兩團氣”問題的一般解法 “兩團氣”問題涉及兩部分（或兩部分以上）的氣體，它們之間雖沒有氣體交換，但在壓強或體積這些量之間有一定的關(guān)系．分析清楚這些關(guān)系往往是解決問題的關(guān)鍵．解決此類問題的一般方法是： （1）分別選取每團氣體為研究對象，確定初、末狀態(tài)及其狀態(tài)參量，根據(jù)氣體狀態(tài)方程寫出狀態(tài)參量間的關(guān)系式． （2）認真分析兩團氣體的壓強或體積之間的關(guān)系，并寫出關(guān)系式． （3）多個方程聯(lián)立求解． 3．解決汽缸類問題的一般思路 （1）弄清題意，確定研究對象．一般來說，研究對象分兩類，一類是熱學研究對象（一定質(zhì)量的理想氣體），另一類是

6、力學研究對象（汽缸、活塞或某系統(tǒng)）． （2）分析清楚題目所求的物理過程，熱學研究對象的初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程，依氣體定律列出方程；對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據(jù)力學規(guī)律列出方程． （3）注意挖掘題目中的隱含條件，如幾何關(guān)系等，列出輔助方程． （4）多個方程聯(lián)立求解．對求解的結(jié)果，注意檢驗它們的合理性． 4．汽缸類問題的幾種常見類型 （1）氣體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，需綜合應(yīng)用氣體定律和物體的平衡條件解題． （2）氣體系統(tǒng)處于力學非平衡狀態(tài)，需要綜合應(yīng)用氣體定律和牛頓運動定律解題． （3）封閉氣體的容器（如汽缸、活塞、玻

7、璃管等）與氣體發(fā)生相互作用的過程中，如果滿足守恒定律的適用條件，可根據(jù)相應(yīng)的守恒定律解題． （4）兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關(guān)聯(lián)的問題，解答時應(yīng)分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規(guī)律，并寫出相應(yīng)的方程：還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關(guān)系式，最后聯(lián)立求解． 要點詮釋： 當選取力學研究對象進行分析時，研究對象的選取并不唯一，同學們可以靈活地選整體或部分為研究對象進行受力分析，列出平衡方程或動力學方程． 要點三、理想氣體狀態(tài)方程的推導 1．理想氣體狀態(tài)方程的推導 一定質(zhì)量理想氣體初態(tài)（）變化到末態(tài)（），因氣體遵從三個實驗定

8、律，我們可以從三個定律中任意選取其中兩個，通過一個中間狀態(tài)，建立兩個方程，解方程消去中間狀態(tài)參量便可得到氣態(tài)方程．組成方式有種，如圖所示。 我們選（1）先等溫、后等壓來證明． 從初態(tài)→中間態(tài)，由玻意耳定律得 ① 從中間態(tài)→末態(tài)，由蓋一呂薩克定律得 ② 由①②式得 。 其余5組大家可試證明一下． 2．克拉珀龍方程 某種理想氣體，設(shè)質(zhì)量為，摩爾質(zhì)量為，則該理想氣體狀態(tài)方程為。

9、 式中為摩爾氣體常量，在國際單位制中． 這就是任意質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程，也叫做克拉珀龍方程． 從上式可以看出在中的恒量由理想氣體的質(zhì)量、摩爾質(zhì)量和摩爾氣體常量決定． 3．氣體密度方程 對于一定質(zhì)量的氣體，在狀態(tài) 時密度為，則 ， 在狀態(tài) 時密度為，則 ， 將 、 代入狀態(tài)方程 ． 得 ． 此方程與質(zhì)量無關(guān)．可解決高質(zhì)量問題． ４．理想氣體狀態(tài)方程的分態(tài)式 ， 式中 是氣體終態(tài)的個部分的狀態(tài)參量．該方程根據(jù)質(zhì)量守恒和克拉珀龍方程可導出，當理想氣體發(fā)生狀態(tài)變化時，如伴隨著有氣體的遷移、分裝、混合等各種情況，使

10、用分態(tài)式會顯得特別方便． 要點三、氣體狀態(tài)變化的圖象 用圖象表示氣體狀態(tài)變化的過程及變化規(guī)律具有形象、直觀、物理意義明朗等優(yōu)點，另外，利用圖象對氣體狀態(tài)、狀態(tài)變化及規(guī)律進行分析，將給解答帶來很大的方便． 圖象上的一個點表示定質(zhì)量氣體的一個平衡狀態(tài)，它對應(yīng)著三個狀態(tài)參量；圖象上的某一條直線或曲線表示定質(zhì)量氣體狀態(tài)變化的一個過程． 1．定質(zhì)量氣體的等溫變化圖象 （1）在圖中，等溫線是以兩坐標軸為漸近線的一簇雙曲線（反比例函數(shù)），每一條雙曲線表示一個等溫變化過程．由定質(zhì)量理想氣體的狀態(tài)方程（恒量）可知： ①一定時，與成反比．故每一條等溫線都表示

11、在一定溫度下，氣體的壓強跟體積的反比變化關(guān)系； ②。過等溫線上任意一點作兩坐標軸的平行線圍成的“矩形面積”，表示該狀態(tài)下的值．“面積”越大，值就越大，對應(yīng)的值也越大，即溫度越高的等溫線離坐標軸越遠．在圖甲中，． （2）定質(zhì)量氣體的等溫變化過程，也可以用圖象來表示，如圖乙所示． （3）在圖中，等溫線是平行于軸的直線，如圖丙所示． （4）在圖中，等溫線是平行于軸的直線，如圖丁所示． 2．定質(zhì)量氣體的等容變化圖象 （1）在圖中，等容線是一簇延長線必定通過坐標原點的直線，如圖8-4-13

12、所示，對于質(zhì)量一定的理想氣體，由狀態(tài)方程（恒量）可知： ①一定時，。任一條等容線都表示氣體壓強與溫度的正比變化關(guān)系． ②圖線的斜率為．可見斜率越小，體積越大，體積越大的等容線離軸越近．在圖甲中。 （2）若橫坐標用攝氏溫度表示，則定質(zhì)量氣體的等容變化圖象如圖乙所示． （3）在圖中，等容線是平行于軸的直線，如圖丙所示。 （4）在圖中，等容線是平行于軸的直線，如圖丁所示。 3．定質(zhì)量氣體的等壓變化圖象 （1）在圖中，等壓線是一簇延長線必定通過坐標原點的直線，如圖8-4-17

13、所示，對于質(zhì)量一定的理想氣體，由狀態(tài)方程（恒量）可知： ①一定時，。任一條等壓線都表示氣體體積與溫度的正比變化關(guān)系． ②圖線的斜率為可見斜率越小，壓強越大，壓強越大的等壓線離軸越近．在圖甲中，。 （2）若橫坐標用攝氏溫度表示，則定質(zhì)量氣體的等壓變化圖象如圖乙所示． （3）在圖中，等壓線是平行于軸的直線，如圖丙所示。 （4）在圖中，等壓線是平行于軸的直線，如圖丁所示。 掌握以上氣體狀態(tài)變化圖象的特點，可以簡捷地判定氣體狀態(tài)變化是否為等值變化，還可以比較非等值變化過程中，不同狀態(tài)的溫

14、度的高低．壓強和體積的大小．其方法一般是通過所比較的點，定性作出相應(yīng)的等溫、等壓或等容圖象，比較其值、斜率tan的大小，就可以得出結(jié)論． 要點四、知識歸納總結(jié) 1．知識歸納 （1）理想氣體的定義及氣體實驗定律的適用范圍． （2）理想氣體的狀態(tài)方程 或（為恒量）． 2．方法歸納 （1）理想氣體狀態(tài)方程實質(zhì)上是三個實驗定律的推廣與拓展，它可以由三個實驗定律中的任意兩個而得到． （2）應(yīng)用狀態(tài)方程解決氣體問題時，往往比單純使用實驗定律要簡單．使用時首先確定好研究對象的始、末兩個狀態(tài)，然后確定好這兩個狀態(tài)對應(yīng)的狀態(tài)參量

15、，最后應(yīng)用狀態(tài)方程的表達式列方程．列方程時注意，公式兩邊的單位分別一致，不一定采用國際單位． （3）很多變質(zhì)量問題可以通過靈活選取研究對象轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題，從而能夠使用氣體實驗定律或理想氣體的狀態(tài)方程．研究力熱綜合問題時，要靈活地變換研究對象，以封閉氣體的液柱、活塞為研究對象，以壓強為媒介，列出平衡方程或應(yīng)用牛頓第二定律求解． 【典型例題】 類型一、理想氣體 例1．（2014 江蘇卷）下列對理想氣體的理解，正確的有（ ）． A．理想氣體實際上并不存在,只是一種理想模型 B．實只要氣體壓強不是很高就可視為理想氣體 C．一定質(zhì)量的某種理想氣體的內(nèi)能與溫度、體積

16、都有關(guān) D．在任何溫度、任何壓強下,理想氣體都遵循氣體實驗定律 【思路點撥】根據(jù)理想氣體的特點。 【答案】A、D 【解析】理想氣體是在忽略了實際氣體分子間相互作用力的情況下而抽象出的一種理想化模型，A正確；實際氣體能視為理想氣體的條件是溫度不太低、壓強不太大，B錯誤；理想氣體分子間無分子力作用，也就無分子勢能，故一定質(zhì)量的理想氣體，其內(nèi)能與體積無關(guān)，只取決于溫度，C錯誤；由理想氣體模型的定義可知D正確。 【總結(jié)升華】記住理想氣體的特點是解此類試題的關(guān)鍵。 舉一反三: 【變式】下列說法中正確的是（ ）． A．一定質(zhì)量的氣體被壓縮時，氣體壓

17、強不一定增大 B．一定質(zhì)量的氣體溫度不變壓強增大時，其體積也增大 C．氣體壓強是由氣體分子間的斥力產(chǎn)生的 D．在失重情況下，密閉容器內(nèi)的氣體對器壁沒有壓強 【答案】A 【解析】氣體質(zhì)量一定時，恒量，顯然，A對，B錯；由氣體壓強產(chǎn)生的原因知C錯；D中因為容器密閉，氣體對器壁有壓強，故D錯． 類型二、理想氣體狀態(tài)方程的應(yīng)用 例2．一活塞將一定質(zhì)量的理想氣體封閉在汽缸內(nèi)，初始時氣體體積為．用實驗系統(tǒng)測得此時氣體的溫度和壓強分別為和．推動活塞壓縮氣體，測得氣體的溫度和壓強分別為和． （1）求此時氣體的體積； （2）

18、保持溫度不變，緩慢改變作用在活塞上的力，使氣體壓強變?yōu)?，求此時氣體的體積． 【答案】見解析 【解析】（1）由理想氣體狀態(tài)方程得 ， 所以此時氣體的體積為 ． （2）由玻意耳定律得 ， 所以 ． 舉一反三: 【變式】分別以表示氣體的壓強、體積、溫度．一定質(zhì)量的理想氣體，其初始狀態(tài)表示為（）．若分別經(jīng)歷如下兩種變化過程： 從（）變?yōu)椋ǎ┑倪^程中，溫度保持不變（）； 從（）變?yōu)椋ǎ┑倪^程中，既不吸熱，也不放熱，在上述兩種變化過程中，如果，則（ ）． A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】

19、 解法一：依據(jù)理想氣體狀態(tài)方程．由已知條件，，則，又且為絕熱過程，則．綜上所述，故選項A正確． 解法二：由條件知，兩種過程的體積都是變大的，即單位體積內(nèi)分子個數(shù)減少，造成．對于等溫過程，則是氣體分子碰撞器壁時產(chǎn)生的“碰撞力”不變，而絕熱過程，溫度降低，可以認為單個氣體分子碰撞器壁的力減小，故可知，故選項A是正確的． 類型三、“兩團氣”問題 例3．光滑絕熱的活塞把密封的圓筒容器分成兩部分，這兩部分充有溫度相同的氣體，平衡時，現(xiàn)將中氣體加熱到，中氣體降低到，待重新平衡后，這兩部分氣體體積的比為（ ）． A． B． C． D． 【思路點撥】明確

20、其壓強和體積這些參量間的關(guān)系，結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程列方程求解。 【答案】B 【解析】 對部分氣體有 ．　　　　 ① 對部分氣體有 ． 　　　 ② 因為 所以將①式÷②式得 　　． 所以 ． 【總結(jié)升華】涉及兩團氣的問題出現(xiàn)時，明確其壓強和體積這些參量間的關(guān)系，結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程列方程求解是關(guān)鍵。 舉一反三: 【變式】用銷釘固定的活塞把容器分成兩部分，其容積之比，如圖所示，起初中有溫度為、壓強為的空氣，中有溫度為，壓強為的空氣，拔去銷釘，使活塞可以無摩擦地移動但不漏氣，由于容器壁緩慢導熱，最后都變成室溫活塞也停住

21、，求最后中氣體的壓強． 【答案】 【僻析】對氣體，初態(tài)： ，， ． 末態(tài)： ，，． 由氣態(tài)方程 得： ．　　　　 ① 對氣體，初態(tài)： ，，． 末態(tài)： ，，． 由氣態(tài)方程 得： ．　　　　 ② 又 ．　　　　　　　　 ③ 　?。　　　　　　　　　? ④ 　　．　　　　　　　　　　　　 ⑤ 由①②③④⑤得 ． 【總結(jié)升華】本題涉及兩部分氣體的狀態(tài)變化，解題時應(yīng)分別對兩部分氣體進行研究，挖掘出它們之間的相關(guān)條件——體積關(guān)系、壓強關(guān)系。 類型四、汽缸類問

22、題 例4．（2014 哈爾濱三中模擬）如圖所示，有一圓柱形汽缸，上部有一固定開口擋板，汽缸內(nèi)壁的高度是2L，一個很薄質(zhì)量為m = 0.4kg的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，活塞的面積為2cm2，開始時活塞處在離底部L高處，外界大氣壓為1.0 × 105Pa，溫度為27℃，現(xiàn)對氣體加熱，求： （1）活塞恰上升到氣缸上部擋板處時氣體的溫度是多少℃； （2）當加熱到427℃時，氣體的壓強（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。 【答案】（1）327℃；（2）1.40×105Pa? 【解析】（1）開始加熱活塞上升的過程封閉氣體做等壓變化。 設(shè)氣缸橫截面積為S，活塞恰上升到氣缸上部擋板處時氣體溫度為t

23、℃，則對于封閉氣體 狀態(tài)一：T1=27+273=300K，V1=LS； 狀態(tài)二：T2=（t+273）K，V2=2LS 由即 解得t=327℃ （2）設(shè)當加熱到4270C時氣體的壓強變?yōu)閜3，在此之前活塞已上升到氣缸上部擋板處。 對于封閉氣體，初狀態(tài)：T1=300K，V1=LS， 末狀態(tài)：T3=700K，V3=2LS，?? 由?，可得 代入數(shù)據(jù)得p3=1.40×105Pa? ? 類型五、氣體狀態(tài)變化的圖象問題 例5 一定質(zhì)量的理想氣體，封閉在帶活塞的汽缸中，氣體從狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)歷四個過程回到狀態(tài)，各過程的壓強與溫度的關(guān)系如圖所示，其中氣體不對外界做功，外界也不對氣體做功的過

24、程是（ ）． A．過程 B．過程 C．過程 D．過程 【思路點撥】明確圖象的物理意義和特點，區(qū)分清楚各個不同的物理過程。 【答案】A、C 【解析】氣體既不對外做功，外界也不對氣體做功的過程，就是等容過程．從圖象中看，一定質(zhì)量的氣體，在由狀態(tài)到狀態(tài)的過程滿足關(guān)系式，所以過程是等容過程．對于的過程，從圖可見，有等，所以過程也是等容過程．選項A、C正確． 【總結(jié)升華】明確圖象的物理意義和特點，區(qū)分清楚各個不同的物理過程是解題的關(guān)鍵。 舉一反三: 【變式】使一定質(zhì)量的理想氣體按圖甲中箭頭所示的順序變化，圖中段是以縱軸和橫軸為漸近線的雙

25、曲線． （1）已知氣體在狀態(tài)的溫度，求氣體在狀態(tài)和的溫度各是多少？ （2）將上述狀態(tài)變化過程在圖乙中畫成用體積和溫度表示的圖線（圖中要標明四點，并且要畫箭頭表示變化的方向）．說明每段圖線各表示什么過程． 【答案】見解析 【解析】 由圖中直觀地看出，氣體在各狀態(tài)下壓強和體積為． （1）根據(jù)氣體狀態(tài)方程，有 ， 可得 ， ， ． （2）由狀態(tài)到狀態(tài)為等溫變化，由玻意耳定律有，得 。 在圖上狀態(tài)變化過程的圖線由各狀態(tài)點依次連接（如圖），是等壓膨脹過程

26、，是等溫膨脹過程，是等壓壓縮過程． 例6 如圖所示為摩爾的某種氣體的壓強和溫度關(guān)系的圖線，表示個標準大氣壓，則在狀態(tài)時氣體的體積為（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 此氣體在時，壓強為標準大氣壓。所以它的體積應(yīng)為 ， 根據(jù)圖線所示，從到狀態(tài)，氣體是等容變化，狀態(tài)的體積為，溫度為 ， 從狀態(tài)到狀態(tài)為等壓變化，狀態(tài)的溫度為 ， 根據(jù)蓋一呂薩克定律 ， ． 類型六、綜合計算 例7．如圖所示，兩點代表一定質(zhì)量理想氣體的兩個不同的狀態(tài)，狀態(tài)的溫度為，狀態(tài)的溫度為．由圖可知（ ）

27、 A． B． C． D． 【思路點撥】明確初末狀態(tài)的參考量，，再列方程求解。 【答案】C 【解析】 從已知圖上可知．為確定它們之間的定量關(guān)系，可以從圖上的標度值代替壓強和體積的大小，代入理想氣體狀態(tài)方程 ，，． 【總結(jié)升華】理解理想氣體的狀態(tài)方程的實質(zhì)即一定質(zhì)量的理想氣體在狀態(tài)參量變化時的為常量。解題時應(yīng)明確初末狀態(tài)的參考量，而后再列方程求解。 舉一反三: 【變式1】房間的容積為，在溫度為、大氣壓強為時，室內(nèi)空氣質(zhì)量是．當溫度升高到，大氣壓強變?yōu)闀r，室內(nèi)空氣的質(zhì)量是多少？ 　　【答案】

28、【解析】 室內(nèi)氣體的溫度、壓強均發(fā)生了變化，原氣體的體積不一定再是，可能增大有氣體流出，可能減小有氣體流入。因此仍以原氣體為研究對象，通過計算才能確定． 氣體初態(tài)： 末態(tài)： 由狀態(tài)方程： ， ∴． 因，故有氣體從房間內(nèi)流出． 房間內(nèi)氣體質(zhì)量 ． 本題還可用密度公式來解決． ， 又 ， ∴。 【變式2】鋼筒內(nèi)裝有氣體，當溫度為時，壓強為，如果用掉氣體后溫度升高到，求筒內(nèi)氣體壓強． 【答案】 　【解析】 以鋼筒內(nèi)剩下的氣體為研究對象．設(shè)鋼管容積為，則該部分氣體在初狀態(tài)占有的體積為，末狀態(tài)時恰好充滿整個鋼筒． 由一定質(zhì)量理想氣體的狀態(tài)方程 得 。 【總結(jié)升華】 通過恰當?shù)剡x取研究對象，使變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問題，這是求解本題的關(guān)鍵。