11、請把你認為正確的答案填在 上．
⑴ 在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個橢圓，則這個橢圓的長軸長與短軸長之和是 ．
解：易得cosα==，于是橢圓長軸=13，短軸=12．所求和=25．
⑵ 已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程
f(f(f(x)))=x
的解的個數是 ．
解：f(f(x))=|1－2|1－2x||=
同樣f(f(f(x)))的圖象為8條線段，其斜率分別為±8，夾在y=0與y=1，x=0，x=
12、1之內．它們各與線段y=x (0≤x≤1)有1個交點．故本題共計8解．
⑶ 設f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ；
解 f(x)+f(1－x)= +=+=1． ⑴
以x=，，，…，代入⑴式，即得所求和=500．
⑷ 設x、y、z為非負實數，且滿足方程4－68′2+256=0，那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 ；
解：令2=t，則得，t2－68t+256=0，T(t－64)(t－4)=0，Tt=4，t=64．
=2T5x+9y+4z=4，T9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥；
4(x+y+
13、z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1Tx+y+z∈[，1]；
=6T5x+9y+4z=36，T9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，Tx+y+z≥4；
4(x+y+z)=36－x－5y≤36，Tx+y+z≤9．
故，所求最大值與最小值的乘積=′9=4．
第二試
1．(本題滿分17分)已知實數列a0，a1，a2，…，滿足
ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)
求證：對于任何自然數n，
P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-
14、x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
是一次多項式．
(本題應增加條件：a0≠a1)
證明：由已知，得ai+1－ai=ai－ai－1，T故{ai}是等差數列．設ai－ai－1=d≠0．則ak=a0+kd．
于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
= a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn
=a0[C(1-x)n+Cx(
15、1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn-1(1-x)+Cxn]
+d[Cx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+…+(n－1)Cxn-1(1-x)+nCxn] (由kC=nC)
=a0(1－x+x)n+ndx[C(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+…+Cxn-2(1-x)+Cxn－1]
=a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．
此為一次多項式．證畢．
2．(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求
16、證：AD，BE，CF是⊿ABC的三條高的充要條件是
S=(EF+FD+DE)．
式中S是三角形ABC的面積．
證明 連OA，則由C、E、F、B四點共圓，得DAFE=DC，又在⊿OAB中，DOAF=(180°-2DC)/2=90°-DC，∴OA⊥EF．
∴ SOEAF=EF·=·EF，
同理，SOFBD=·DF，SODCE=·DE，故得S=(EF+FD+DE)．
反之，由S=(EF+FD+DE）．得OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥ED，否則S<(EF+FD+DE）．
過A作⊙O的切線AT，則∠AFE=∠TAF=∠ACB，TB、F、E、D共圓，
同理，A、F、D、C共圓，A、E、
17、D、B共圓．T∠AFC=∠ADC，∠AEB=∠ADB．
∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90°，于是F、E為垂足，同理D為垂足．故證．
3．(本題16分)平面直角坐標系中，縱橫坐標都是整數的點稱為整點，請設計一種染色方法將所有的整點都染色，每一個整點染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得
⑴ 每一種顏色的點出現在無窮多條平行于橫軸的直線上；
⑵ 對任意白色A、紅點B和黑點C，總可以找到一個紅點D，使得ABCD為一平行四邊形．
證明你設計的方法符合上述要求．
證明：設任一點的坐標為(x，y)，把x+y≡1(mod
18、4)的點染白，x+y≡3(mod 4)的點染黑，x+y≡0或2(mod4)的點染紅．
顯然，這樣染色的點滿足要求．
首先，每條平行于x軸的直線上都有三種顏色的點．即每一種顏色的點出現在無窮多條平行于橫軸的直線上；其次，對于任一白點A(x1，y1)，任一紅點B(x2，y2)，與任一黑點C(x3，y3)，當點D(x4，y4)與之組成平行四邊形時，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4．而x1+y1+x3+y3≡0(mod 4)，于是x2+y2+x4+y4≡0(mod 4)，
故x4+y3≡0(當x2+y2≡0時)或2(當x2+y2≡2時)(mod 4)．即點D為紅點．
全國高中數學聯賽試題及解析 蘇教版6
