《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 (10月15日上午8∶00—10∶00) 一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分)： 1．若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π] 3．對(duì)

2、任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x－l)與函數(shù)y=f(－x+l)的圖象恒( ) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于直線x=l對(duì)稱 C．關(guān)于直線x=－l對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱 4．以長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中任意3個(gè)為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．6 C．8 D．24 5．若 M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}， N={z| z=[cos(arcsint)+icos

3、(arccost)]，t∈R，|t|≤1}． 則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．4 6．集合 M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z} N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z} 的關(guān)系為 A．M=N B．M?N，N?M C．MN D．NM 三．填空題(本題滿分30分，每小題5分) 1．若loga<1，則a的取值范圍是 ． 2．已知直線l：2x+y=10，過(guò)點(diǎn)(－10，0

4、)作直線l￠⊥l，則l￠與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ． 3．設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 . 4．一個(gè)正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 ． 5．如果從數(shù)1，2，3，…，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足 a2－a1≥3，與a3－a2≥3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有 種． 6．當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則 (s+

5、5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2 所能達(dá)到的最小值為 ． 三．(本題滿分20分) 已知a1，a2，…，an是n個(gè)正數(shù)，滿足 a1?a2?…?an=1． 求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n． 四．(本題滿分20分) 已知正三棱錐S—ABC的高SO=3，底面邊長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)A向其所對(duì)側(cè)面SBC作垂線，垂足為O￠，在AO￠上取一點(diǎn)P，使=8，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積． 五．(本題滿分20分) 已知：對(duì)任意的n∈N*，有an>0，且 a=(aj)2．求證：an=n． 第二試 (上午10∶30—12∶

6、30) 一．(本題滿分35分) A B C E F 已知 在ΔABC中，AB>AC，DA的一個(gè)外角的平分線交ΔABC的外接圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AB，垂足為F． 求證 2AF=AB-AC． 二．(本題滿分35分) 已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，滿足 |xi|=1，xi=0， 求證：≤－ ． 三．(本題滿分35分) 有n×n（n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個(gè)方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，現(xiàn)將表內(nèi)n個(gè)兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個(gè)基本項(xiàng)．試證明：按

7、上述方式所填成的每一個(gè)方格表，它的全部基本項(xiàng)之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中k∈Z）． 1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 一．選擇題(本題滿分30分，每小題5分)： 1．若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：0°A>90°－B>0°，sinA>cosB，cosA

8、－sinA<0，sinB－cosA>0．點(diǎn)Z位于第二象限．選B 2．函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π] 解：因x∈[－1，1]，故arctanx∈[－，]，arcsinx∈[－，]，且f(－1)=－，f(1)= ．選D 3．對(duì)任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x－l)與函數(shù)y=f(－x+l)的圖象恒( ) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于直線x=l對(duì)稱 C．關(guān)于直線x=－l對(duì)稱 D．

9、關(guān)于y軸對(duì)稱 解：令x－1=t，則得f(t)=f(－t)，即f(t)關(guān)于t=0對(duì)稱，即此二圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．選B 4．以長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中任意3個(gè)為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．6 C．8 D．24 解：以不相鄰的4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的8個(gè)面都是銳角三角形．其余的三角形都不是銳角三角形．選C． 5．若 M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}， N={z| z=[cos(arcsint)+

10、icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}． 則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．4 解：M的圖象為雙曲線xy=1(x≠0，x≠1)N的圖象為x2+y2=2(x≥0)，二者無(wú)公共點(diǎn)．選A． 6．集合 M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z} N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z} 的關(guān)系為 A．M=N B．M?N，N?M C．MN D．NM 解：u=12m+8n+4l=4(3m+2n

11、+l)，由于3m+2n+l可以取任意整數(shù)值，故M表示所有4的倍數(shù)的集合． 同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全體4的倍數(shù)的集合．于是M=N． 三．填空題(本題滿分30分，每小題5分) 1．若loga<1，則a的取值范圍是 ． 解：若01，則得a>．故填(0，1)∪(，+∞) 2．已知直線l：2x+y=10，過(guò)點(diǎn)(－10，0)作直線l￠⊥l，則l￠與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ． 解：直線l￠方程為(x+10)－2y=0，解得交點(diǎn)為(2，6)． 3．設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)

12、=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 . 解 圖1是函數(shù)f0(x)=|x|的圖形，把此圖形向下平行移動(dòng)1個(gè)單位就得到函數(shù)f0(x)=|x|－1的圖形，作該圖形的在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形得出圖2，其中在x軸上方的部分即是f1(x)=|f0(x)–1|的圖象，再把該圖象向下平行移動(dòng)2個(gè)單位得到f0(x)=|x|－2的圖象，作該圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形得到圖3，其中x軸上方的部分即是f2(x)= |f1(x)–2|的圖象。易得所求面積為7。 4．一個(gè)正數(shù)，若其小數(shù)

13、部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 ． 解 設(shè)其小數(shù)部分為α(0<α<1)，整數(shù)部分為n(n∈N*)，則得，α(n+α)=n2， ∴ n20，知，a=．∴ 原數(shù)為． 5．如果從數(shù)1，2，3，…，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足 a2－a1≥3，與a3－a2≥3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有

14、 種． 解：令a1￠=a1，a2￠=a2－2，a3￠=a3－4，則得1≤a1￠

15、已知a1，a2，…，an是n個(gè)正數(shù)，滿足 a1?a2?…?an=1． 求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n． 證明：∵ 2+ai=1+1+ai≥3，(i=1，2，…，n) ∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an)≥3?3?…?3≥3n=3n． 證法2：(2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an 但a1+a2+…+an≥n=n=C， a1a2+a1a3+…

16、+an－1an≥C=C，……， ∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an ≥2n+C2n－1+C2n－2+…+C=(2+1)n=3n． 四．(本題滿分20分) 已知正三棱錐S—ABC的高SO=3，底面邊長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)A向其所對(duì)側(cè)面SBC作垂線，垂足為O￠，在AO￠上取一點(diǎn)P，使=8，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積． 解：正三棱錐S—ABC的高為SO，故AO⊥BC，設(shè)AO交BC于E，連SE．則可證BC⊥面AES．故面AES⊥面SBC．

17、 由AO￠⊥面SBC于O￠，則AO￠在面AES內(nèi)，O￠在SE上．AO￠與SO相交于點(diǎn)F． ∵ ABC為正三角形，AB=6，故AE=3，OE=． ∵ SO=3，∴ tan∠OES=，∠E=60°． ∴ O￠E=AEcos60°=． 作O￠G⊥平面ABC，則垂足G在AE上．O￠G=O￠Esin60°=． ∵ =8，∴ =，TPH=2． 設(shè)過(guò)P與底面平行的截面面積為s，截面與頂點(diǎn)S的距離=3－2=1． ∴ S△ABC=·62=9． ∴ =()2，故s=． 五．(本題滿分20分) 已知：對(duì)任意的n∈N*，有an>0，且 a=(aj)2．求證：an=n． 證明：由已知，a1

18、3=a12，a1>0，∴ a1=1． 設(shè)n≤k(k∈N，且k≥1)時(shí)，由a =(aj)2成立可證ak=k成立． 當(dāng)n=k+1時(shí)，a=(aj)2=(aj)2+2ak+1(aj)+a． 即 k2(k+1)2+a=k2(k+1)2+2ak+1·k(k+1)+a． ∴ a－ak+1－k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=－k或ak+1=k+1．由an>0知，只有ak+1=k+1成立． 即n=k+1時(shí)命題也成立．由數(shù)學(xué)歸納原理知對(duì)于一切n∈N*，an=n成立． 第二試 一．(本題滿分35分) 已知 在ΔABC中，AB>AC，DA的一個(gè)外角的平分線交Δ

19、ABC的外接圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AB，垂足為F． 求證 2AF=AB-AC． 證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB， 于是ΔAEG為等腰三角形，∴EG=EA． 又D3=180°－DEGA=180°－DEAG=180°－D5=D4． D1=D2．于是ΔEGB≌ΔEAC．∴BG=AC， 故證 二．已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，滿足 |xi|=1，xi=0， 求證：≤－ ． 證明：由已知可知，必有xi>0，也必有xj<0(i，j∈{1，2，…，n，且i≠j)． 設(shè)x，x，…，x為諸xi中所有>0的數(shù)，x，x，…，x為諸x

20、i中所有<0的數(shù)．由已知得 X= x+x+…+x=，Y= x+x+…+x=－． 于是當(dāng)>－時(shí)，=+≤x－x=－=－． 于是當(dāng)<－時(shí)，=－－≤－x－x=－=－． 總之，≤－ 成立． 三．有n×n（n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個(gè)方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，現(xiàn)將表內(nèi)n個(gè)兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個(gè)基本項(xiàng)．試證明：按上述方式所填成的每一個(gè)方格表，它的全部基本項(xiàng)之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中k∈Z）． 證明 基本項(xiàng)共有n!個(gè)，n>3，則基本項(xiàng)的個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)，設(shè)共有4m項(xiàng)． 其中每個(gè)數(shù)aij(=±1)都要在(n－1)!個(gè)基本項(xiàng)中出現(xiàn)，故把所有基本項(xiàng)乘起來(lái)后，每個(gè)aij都乘了(n－1)!次，而n>3，故(n－1)!為偶數(shù)，于是該乘積等于1．這說(shuō)明等于－1的基本項(xiàng)有偶數(shù)個(gè)，同樣，等于+1的基本項(xiàng)也有偶數(shù)個(gè)． 若等于－1的基本項(xiàng)有4l個(gè)，則等于+1的基本項(xiàng)有4m－4l個(gè)，其和為4m－4l－4l=4(m－2l)為4的倍數(shù)； 若等于－1的基本項(xiàng)有4l－2個(gè)，則等于+1的基本項(xiàng)有4m－4l+2個(gè)，其和為4m－4l+2－4l+2=4(m－2l+1)為4的倍數(shù)．故證．