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第28練 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質
訓練目標
(1)三角函數(shù)圖象的簡圖;(2)三角函數(shù)圖象的變換.
訓練題型
(1)“五點法”作簡圖;(2)已知函數(shù)圖象求解析式;(3)三角函數(shù)圖象變換;(4)三角函數(shù)圖象的應用.
解題策略
(1)y=Asin(ωx+φ)的基本畫法“五點法”作圖;(2)求函數(shù)解析式時φ可采用“代點法”;(3)三角函數(shù)圖象每一次變換只
3、針對“x”而言;(4)利用圖象可解決方程解的個數(shù)、不等式問題等.
一、選擇題
1.已知f(x)=sin 2x+cos 2x,在直角坐標系下利用“五點法”作f(x)在區(qū)間上的圖象,應描出的關鍵點的橫坐標依次是( )
A.0,,π,,2π
B.-,0,,,π
C.-,-,,,,
D.-,0,,π,,
2.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x+)
C.f(x)=2sin(2x+) D.f(x)=2sin(2x+)
3.已知f(x)
4、=cos(ω>0)的圖象與y=1的圖象的兩相鄰交點間的距離為π,要得到y(tǒng)=f(x)的圖象,只需把y=sin ωx的圖象( )
A.向左平移π個單位 B.向右平移π個單位
C.向左平移π個單位 D.向右平移π個單位
4.(20xx·長春三調)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位后關于原點對稱,則函數(shù)f(x)在上的最小值為( )
A.- B.-
C. D.
5.(20xx·南陽期中)如圖所示,M,N是函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象與x軸的交點,點P在M,N之間的圖象上運動,當△MPN的面積最大時·=0,則ω等于( )
A. B.
C. D.8
5、
6.(20xx·鄭州質檢)如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(1,0),∠PQR=,M(2,-2)為線段QR的中點,則A的值為( )
A.2 B.
C. D.4
7.(20xx·開封第一次摸底)已知函數(shù)f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ(x∈R),其中φ為實數(shù),且f(x)≤f對任意實數(shù)R恒成立,記p=f,q=f,r=f,則p、q、r的大小關系是( )
A.r
6、sin·cos的單調遞增區(qū)間為__________.
9.(20xx·陜西改編)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k,據此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為________.
10.關于x的方程sin 2x+cos 2x=k+1在內有兩相異實根,則k的取值范圍是__________.
11.(20xx·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin x+cosx,則下列命題正確的是__________.(寫出所有正確命題的序號)
①f(x)的最大值為2;②f(x)的圖象關于點對稱;③f(x)在區(qū)間上單調遞增;④若實數(shù)m使得方程f(x)=m在[0
7、,2π]上恰好有三個實數(shù)解x1,x2,x3,則x1+x2+x3=;⑤f(x)的圖象與g(x)=2sin的圖象關于x軸對稱.
答案精析
1.C [f(x)=2sin,當x∈時,2x+∈,當2x+=-,0,,π,,時,x的值分別為-,-,,,,,故選C.]
2.D [當x=0時,f(x)=1,代入驗證,排除A,B,C選項,故選D.]
3.A [由題意得ω=2,所以y=cos=sin=sin 2,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位即可得到函數(shù)y=cos的圖象.]
4.A [函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位得
y=sin=sin的圖象.
又其為奇
8、函數(shù),則+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-.
又|φ|<,令k=0,得φ=-,
∴f(x)=sin.
又∵x∈,
∴sin∈,
即當x=0時,f(x)min=-,故選A.]
5.A [由圖象可知,當P位于M、N之間函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)圖象的最高點時,△MPN的面積最大.又此時·=0,∴△MPN為等腰直角三角形,
過P作PQ⊥x軸于Q,∴PQ=2,
則MN=2PQ=4,∴周期T=2MN=8.
∴ω===.故選A.]
6.C [依題意得,點Q的橫坐標是4,R的縱坐標是-4,T==2PQ=6,ω=,
Asinφ=-4,f=Asin=A>0,
即sin=1.又
9、|φ|≤,≤+φ≤,因此+φ=,φ=-,Asin=-4,A=.]
7.C [f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ),
∴f(x)的最小正周期T=π.
∵f(x)≤f,∴f是最大值.
∴f(x)=sin,
∴p=sin ,q=sin ,r=sin ,
∴p
10、間水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.
10.[0,1)
解析 sin 2x+cos 2x=2sin,x∈,
令t=2x+∈,
作出函數(shù)y=2sin t,t∈和y=k+1的大致圖象如圖所示,
由圖象易知當1≤k+1<2,即0≤k<1時,方程有兩相異實根.
11.①③④⑤
解析 f(x)=sin x+cosx=2=2sin,
所以①正確;
因為將x=-代入f(x),
得f=2sin(-+)=1≠0,所以②不正確;
由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
所以f(x)在區(qū)間上單調遞增,所以③正確;
若實數(shù)m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三個實數(shù)解,結合函數(shù)f(x)=2sin及y=m的圖象可知,必有x=0,x=2π,此時f(x)=2sin=,另一解為x=,即x1,x2,x3滿足x1+x2+x3=,所以④正確;
因為f(x)=2sin=2sin=-2sin=-g(x),
所以⑤正確.