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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 g3.1093 二項(xiàng)式定理 一、知識(shí)梳理 1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ). 2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 3.利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計(jì)算等. 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 2.（2004年江蘇，7）（2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是 A.6 B.12 C.24

2、 D.48 3.（2004年全國(guó)Ⅰ，5）（2x3－）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 A.14 B.－14 C.42 D.－42 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答） 5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________. 三、例題分析 例1. 如果在（+）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng). 例2. 求式子（｜x｜+－2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 思考討論 （1）求（1+

3、x+x2+x3）（1－x）7的展開式中x4的系數(shù)； （2）求（x+－4）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)； （3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展開式中x3的系數(shù). 解：（1）原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）4C－ 1=14. （2）（x+－4）4==，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C·（－1）4=1120. （3）方法一：原式==. 展開式中x3的系數(shù)為C. 方法二：原展開式中x3的系數(shù)為 C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C. 評(píng)述：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵. 例3. 設(shè)an=1+q

4、+q2+…+q（n∈N*，q≠±1），An=Ca1+Ca2+…+Can. （1）用q和n表示An； （2）（理）當(dāng)－3

5、是 A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 3.（05浙江卷）在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( ) (A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 10 4.(05山東)如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D） 5.(05重慶卷)8. 若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為-5，則n等于( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。 6. (0

6、5重慶卷)在(1+2x)n展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于含x的項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于( ) (A) 5； (B) 7； (C) 9； (D) 11。 7.（05全國(guó)卷Ⅰ）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 。（用數(shù)字作答） 8.（2004年全國(guó)Ⅳ，13）（x－）8展開式中x5的系數(shù)為_____________. 9.（2004年湖南，理15）若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_____________. 10.已知（x+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，求x的值. 11.若（1+x）6（1－2

7、x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11. 求：（1）a1+a2+a3+…+a11； （2）a0+a2+a4+…+a10. 12.在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng). （1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求的范圍. 13.在二項(xiàng)式（+）n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng). 14.求證：2<（1+）n<3（n≥2，n∈N*）. 參考答案 基本訓(xùn)練: BCA 4. 35 5. 11 例1.解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，， 由題意得2×=1+，得n=8

8、. 設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8. 有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=. 評(píng)述：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r. 例2.解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號(hào)中全取－2，得（－2）3；②一個(gè)括號(hào)?。黿｜，一個(gè)括號(hào)取，一個(gè)括號(hào)?。?，得CC（－2）=－12， ∴常數(shù)項(xiàng)為（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x|+－2）3=（－）6. 設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， 則T=C·（－1）r·（）r·|x|=（－1）6·C·|x|，得6－2r=0

9、，r=3. ∴T3+1=（－1）3·C=－20. 例3.解：（1）因?yàn)閝≠1， 所以an=1+q+q2+…+q=. 于是An= C+ C+…+C =［（C+C+…+C）－（Cq+Cq2+…+Cqn）］ ={（2n－1）－［（1+q）n－1］} =［2n－（1+q）n］. （2）=［1－（）n］. 因?yàn)椋?

10、3b4c3的項(xiàng)為Ca3C·（－2b）4C（－3c）3=CCC（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù)為－CC×16×27. 同步練習(xí) 1—6 DCDCC A 7.672 8. 28 9. 9 10. 11. （1）-65； （2） -32. 12. 解：（1）設(shè)T=C（axm）12－r·（bxn）r=Ca12－rbrxm（12－r）+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項(xiàng). （2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)， ∴有 Ca8b4≥Ca9b3，

11、 ① Ca8b4≥Ca7b5. ② 由①得a8b4≥a9b3， ∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤. 由②得≥，∴≤≤. 13.解：前三項(xiàng)系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n2－9n+8=0， 解得n=8或n=1（舍去）. T=C（）8－r（2）－r=C··x. ∵4－∈Z且0≤r≤8，r∈Z， ∴r=0，r=4，r=8.∴展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9= x－2. 14.證明：（1+）n=C+C× +C（）2+…+C（）n=1+1+C×+C×+…+C×=2+×+×+…+×<2++ ++…+<2++++…+=2+=3－（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<（1+）n<3.